【考綱要求】
1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義.
2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.
3.能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶).
【考點(diǎn)預(yù)測】
1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α?β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函數(shù)f(α)＝asin α＋bcs α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
【常用結(jié)論】
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β).
2.降冪公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
【方法技巧】
1.兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．
2.運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．
3.常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
二、【題型歸類】
【題型一】和差公式的直接應(yīng)用
【典例1】已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，則sin α＝( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
【解析】因?yàn)?cs 2α－8cs α＝5，所以3(2cs2α－1)－8cs α＝5，所以6cs2α－8cs α－8＝0，所以3cs2α－4cs α－4＝0，解得cs α＝2(舍去)或cs α＝－eq \f(2,3)，因?yàn)棣痢?0，π)，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),3).
故選A.
【典例2】已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，則tan(α－β)的值為( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
【解析】因?yàn)閟in α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
因?yàn)閠an(π－β)＝eq \f(1,2)＝－tan β，
所以tan β＝－eq \f(1,2)，
則tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝－eq \f(2,11).
故選A.
【典例3】已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
【解析】(1)因?yàn)棣痢蔱q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sin eq \f(π,4)cs α＋cs eq \f(π,4)sin α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))＝cs eq \f(5π,6)cs 2α＋sin eq \f(5π,6)sin 2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(4＋3\r(3),10).
【題型二】三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用
【典例1】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，則cs C的值為( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
【解析】由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝eq \f(3π,4)，則C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).
故選B.
【典例2】已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________．
【解析】因?yàn)閟in α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1 ①，
cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0 ②，
①②兩式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
【典例3】已知sin 2α＝eq \f(1,3)，則cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
【解析】cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
故選D.
【題型三】三角函數(shù)公式中變“角”
【典例1】(多選)若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝2eq \r(3)，則( )
A．tan α＝eq \f(\r(3),13) B．tan α＝eq \f(\r(3),7)
C．tan 2α＝eq \f(23\r(3),7) D．tan 2α＝eq \f(7\r(3),23)
【解析】tan α＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)－\f(π,3)))＝
eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－tan \f(π,3),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))tan \f(π,3))＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7)，tan 2α＝eq \f(\f(2\r(3),7),1－\f(3,49))＝eq \f(7\r(3),23).
故選BD.
【典例2】已知α，β都是銳角，cs(α＋β)＝eq \f(5,13)，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，則cs 2α＝________．
【解析】因?yàn)棣?，β都是銳角，所以0

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