【考綱要求】
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
2.能利用單位圓中的對稱性推導(dǎo)出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.
【考點預(yù)測】
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商數(shù)關(guān)系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
【常用結(jié)論】
1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.
3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號.
【方法技巧】
1.利用sin2α＋cs2α＝1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角α所在象限確定符號；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化．
2.應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α這三個式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
3.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
4.誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了．
②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．
5.含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算．如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
6.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形；注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．
二、【題型歸類】
【題型一】“知一求二”問題
【典例1】已知α是第四象限角，且tan α＝－eq \f(3,4)，則sin α＝( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
【典例2】已知α是三角形的內(nèi)角，且tan α＝－eq \f(1,3)，則sin α＋cs α的值為________．
【典例3】已知cs α＝－eq \f(5,13)，則13sin α＋5tan α＝ .
【題型二】sin α，cs α的齊次式問題
【典例1】已知eq \f(tan α,tan α－1)＝－1，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)；
(2)sin2α＋sin αcs α＋2.
【典例2】已知sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，則tan θ＝ .
【典例3】已知tan α＝eq \f(1,2)，則eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝ ；sin2α＋sin αcs α＋2＝ .
【題型三】sin α±cs α，sin αcs α之間的關(guān)系
【典例1】已知α∈(－π，0)，sin α＋cs α＝eq \f(1,5).
(1)求sin α－cs α的值；
(2)求eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)的值．
【典例2】已知tan α＝－eq \f(3,4)，則sin α(sin α－cs α)＝( )
A.eq \f(21,25) B.eq \f(25,21)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
【題型四】誘導(dǎo)公式
【典例1】已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值為( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
【典例2】eq \f(tan?π－α?cs?2π－α?sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs?－α－π?sin?－π－α?)的值為( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的圖象過定點P，且角α的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過點P，則eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin?－π－α?)等于( )
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
【題型五】基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
【典例1】已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是( )
A．eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(3\r(7),7)
C．eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(1,3)
【典例2】已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）).
①化簡f(α)；
②若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值；
③若α＝－420°，求f(α)的值．
【典例3】已知tan(－2 019π＋θ)＝－2，則2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝( )
A．－2 B．eq \f(2\r(3)＋1,5)
C．eq \f(2\r(3)＋3,5) D．eq \f(3,5)
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】已知α為第二象限角，則cs αeq \r(1＋tan2α)＋sin αeq \r(1＋\f(1,tan2α))＝________.
【訓(xùn)練二】如圖是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的內(nèi)角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是eq \f(1,25)，則sin2θ－cs2θ的值是________.
【訓(xùn)練三】(多選)已知f(α)＝eq \f(2sin αcs α－2,sin α＋cs α＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤α≤\f(π,2)))，則下列說法正確的是( )
A．f(α)的最小值為－eq \r(2)
B．f(α)的最小值為－1
C．f(α)的最大值為eq \r(2)－1
D．f(α)的最大值為1－eq \r(2)
【訓(xùn)練四】已知關(guān)于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的兩根分別是sin θ和cs θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的兩根及此時θ的值．
【訓(xùn)練五】已知sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))，求sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1的取值范圍．
【訓(xùn)練六】在△ABC中，
(1)求證：cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2 eq \f(C,2)＝1；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
求證：△ABC為鈍角三角形．
四、【強化測試】
【單選題】
1. 已知α∈(0，π)，cs α＝－eq \f(3,5)，則tan α＝( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
2. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
3. lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)))的值為( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
4. 若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \f(π,2)，πeq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,))，則sin(π－2α)＝( )
A．－eq \f(24,25) B．－eq \f(12,25)
C.eq \f(12,25) D.eq \f(24,25)
5. 若eq \f(1＋cs α,sin α)＝2，則cs α－3sin α＝( )
A．－3 B．3
C．－eq \f(9,5) D.eq \f(9,5)
6. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
7. 已知sin 2α＝eq \f(2,3)，則tan α＋eq \f(1,tan α)＝( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．3 D．2
8. 已知α∈R，sin α＋2cs α＝eq \f(\r(10),2)，則tan 2α＝( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
【多選題】
9. 在△ABC中，下列結(jié)論正確的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
10. 已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，則( )
A.eq \f(π,2)

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