【考綱要求】
1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中項(xiàng)
若三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d或Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2).
3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．
【常用結(jié)論】
1.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)
①若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②若項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
2.兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(an,bn).
【方法技巧】
1.等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．
(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．
2.等差數(shù)列的判定與證明方法
3.如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am＝eq \f(1,2)(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．
4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an；
(3)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
5.求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法

二、【題型歸類】
【題型一】等差數(shù)列的基本運(yùn)算
【典例1】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝________.
【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.
解得d＝1.
所以S10＝10×(－2)＋eq \f(10×9,2)×1＝25.
【典例2】將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為__________.
【解析】法一(觀察歸納法) 數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2n－1))的各項(xiàng)為1，3，5，7，9，11，13，…；數(shù)列{3n－2}的各項(xiàng)為1，4，7，10，13，….現(xiàn)觀察歸納可知，兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)為1，7，13，…，是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，則an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
故前n項(xiàng)和為Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)
＝eq \f(n（1＋6n－5）,2)＝3n2－2n.
法二(引入?yún)⒆兞糠? 令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，則2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必為奇數(shù).
令m＝2t－1，則n＝3t－2(t＝1，2，3，…).
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.
以下同法一.
【典例3】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8＝a8＝8，則公差d＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.1 D.2
【解析】∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，
∴S7＝7a4＝0，則a4＝0.
∴d＝eq \f(a8－a4,8－4)＝2.
故選D.
【題型二】等差數(shù)列的判定與證明
【典例1】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】①③?②.
已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d＝n2a1.
因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以eq \r(Sn)＝neq \r(a1)，
所以eq \r(Sn＋1)－eq \r(Sn)＝(n＋1)eq \r(a1)－neq \r(a1)＝eq \r(a1)(常數(shù))，所以數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列．
①②?③.
已知{an}是等差數(shù)列，{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d＝eq \f(1,2)n2d＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
因?yàn)閿?shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列，所以數(shù)列{eq \r(Sn)}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則a1－eq \f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③?①.
已知數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
設(shè)數(shù)列{eq \r(Sn)}的公差為d，d>0，
則eq \r(S2)－eq \r(S1)＝eq \r(4a1)－eq \r(a1)＝d，得a1＝d2，
所以eq \r(Sn)＝eq \r(S1)＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是關(guān)于n的一次函數(shù)，且a1＝d2滿足上式，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
【典例2】已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，記bn＝lg2(an＋1)．
(1)判斷{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解析】(1){bn}是等差數(shù)列，理由如下：
b1＝lg2(a1＋1)＝lg22＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn－bn－1＝lg2(an＋1)－lg2(an－1＋1)
＝lg2eq \f(an＋1,an－1＋1)＝lg2eq \f(2an－1＋2,an－1＋1)＝1，
∴{bn}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＋1＝＝2n，
∴an＝2n－1.
【典例3】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)證明數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式．
【解析】(1)由題意可得a2－2a1＝4，
則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，
所以a3＝15.
(2)由已知得eq \f(nan＋1－?n＋1?an,n?n＋1?)＝2，
即eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝2，
所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是首項(xiàng)為eq \f(a1,1)＝1，公差為d＝2的等差數(shù)列，
則eq \f(an,n)＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n2－n.
【題型三】等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
【典例1】設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且4＋a5＝a6＋a4，則S9等于( )
A．72 B．36 C．18 D．9
【解析】∵a6＋a4＝2a5，
∴a5＝4，
∴S9＝eq \f(9?a1＋a9?,2)＝9a5＝36.
故選B.
【典例2】在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－eq \f(1,2)a8的值為( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，又a6＋a8＝2a7，
∴a7＝eq \f(1,2)a6＋eq \f(1,2)a8，
即a7－eq \f(1,2)a8＝eq \f(1,2)a6＝8.
選C.
【典例3】已知數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，則a3＋a4等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】因?yàn)?an＝an－1＋an＋1，
所以{an}是等差數(shù)列，
由等差數(shù)列性質(zhì)可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，
a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
所以a3＋a4＝3＋4＝7.
故選B.
【題型四】等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用
【典例1】已知等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為30，它的前30項(xiàng)和為210，則前20項(xiàng)和為( )
A．100 B．120
C．390 D．540
【解析】設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為30，前30項(xiàng)和為210，
所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
故選A.
【典例2】在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 018，其前n項(xiàng)和為Sn，若eq \f(S12,12)－eq \f(S10,10)＝2，則S2 018的值等于( )
A．－2 018 B．－2 016
C．－2 019 D．－2 017
【解析】由題意知，數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，其公差為1，所以eq \f(S2 018,2 018)＝eq \f(S1,1)＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.
所以S2 018＝－2 018.
故選A.
【典例3】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699塊 B．3 474塊
C．3 402塊 D．3 339塊
【解析】設(shè)每一層有n環(huán)，由題意可知，從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成公差為d＝9，首項(xiàng)為a1＝9的等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，則9n2＝729，解得n＝9，
則三層共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq \f(27×26,2)×9＝3 402(塊)．
故選C.
【題型五】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
【典例1】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時(shí)n的值為( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】方法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋5d＋a1＋7d＝6，,a1＋6d＋a1＋7d＋a1＋8d＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝15，,d＝－2.))所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值時(shí)n的值是8，故選D.
方法二：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋5d＋a1＋7d＝6，,a1＋6d＋a1＋7d＋a1＋8d＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝15，,d＝－2，))則Sn＝15n＋eq \f(n（n－1）,2)×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以當(dāng)n＝8時(shí)，Sn取得最大值，故選D.
【典例2】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，則滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為( )
A．6 B．7
C．12 D．13
【解析】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中a1＞0，a6a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，所以S12＞0，S13＜0，所以滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為12.
故選C.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】（多選）已知定義：在數(shù)列{an}中，若aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p為常數(shù))，則稱{an}為等方差數(shù)列．下列命題正確的是( )
A．若{an}是等方差數(shù)列，則{aeq \\al(2,n)}是等差數(shù)列
B．{(－1)n}是等方差數(shù)列
C．若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}(k∈N*，k為常數(shù))不可能還是等方差數(shù)列
D．若{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列
【解析】若{an}是等方差數(shù)列，則aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝p，故{aeq \\al(2,n)}是等差數(shù)列，故A正確；an＝(－1)n時(shí)，aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，故B正確；若{an}是等方差數(shù)列，則由A知{aeq \\al(2,n)}是等差數(shù)列，從而{aeq \\al(2,kn)}(k∈N*，k為常數(shù))是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則有aeq \\al(2,kn)－aeq \\al(2,k（n－1）)＝d，由定義知{akn}是等方差數(shù)列，故C不正確；若{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝p，an－an－1＝d，所以aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝(an－an－1)(an＋an－1)＝d(an＋an－1)＝p，若d≠0，則an＋an－1＝eq \f(p,d).又an－an－1＝d，解得an＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,d)＋d))，{an}為常數(shù)列；若d＝0，該數(shù)列也為常數(shù)列，故D正確．
故選ABD.
【訓(xùn)練二】多環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，學(xué)生鐘愛的快餐油炸食品中會(huì)產(chǎn)生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一類多環(huán)芳香烴，長期食用會(huì)致癌．下面是一組多環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：
由此推斷并十苯的分子式為________．
【解析】因?yàn)槎喹h(huán)芳香烴的分子式中C的下標(biāo)分別是10，14，18，…，H的下標(biāo)分別是8，10，12，…，所以多環(huán)芳香烴的分子式中C的下標(biāo)是公差為4的等差數(shù)列，設(shè)C的下標(biāo)構(gòu)成的等差數(shù)列為{an}，其公差為d1，則a4＝18，d1＝4，故an＝4n＋2，所以a10＝42.多環(huán)芳香烴的分子式中H的下標(biāo)是公差為2的等差數(shù)列，設(shè)H的下標(biāo)構(gòu)成的等差數(shù)列為{bn}，其公差為d2，則b4＝12，d2＝2，故bn＝2n＋4.所以b10＝24，所以并十苯的分子式為C42H24.
【訓(xùn)練三】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq \f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“精致數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“精致數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為________．
【解析】設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，由eq \f(Sn,S2n)為常數(shù)，設(shè)eq \f(Sn,S2n)＝k且b1＝1，得n＋eq \f(1,2)n(n－1)d＝keq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋\f(1,2)×2n(2n－1)d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，上式恒成立，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d(4k－1)＝0，,(2k－1)(2－d)＝0，))解得d＝2，k＝eq \f(1,4)，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1(n∈N*)．
【訓(xùn)練四】定義向量列a1，a2，a3，…，an從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常向量(即坐標(biāo)都是常數(shù)的向量)，即an＝an－1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d為常向量，則稱這個(gè)向量列{an}為等差向量列．這個(gè)常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}滿足a1＝(1,1)，a2＋a4＝(6,10)，則向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝____________________.
【解析】因?yàn)橄蛄烤€性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算，是向量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別進(jìn)行對(duì)應(yīng)的線性運(yùn)算，則等差數(shù)列的性質(zhì)在等差向量列里面也適用，由等差數(shù)列的等差中項(xiàng)的性質(zhì)知2a3＝a2＋a4＝(6,10)，解得a3＝(3,5)，
則等差向量列{an}的公差向量為d＝eq \f(a3－a1,2)＝eq \f(?3，5?－?1，1?,2)＝eq \f(?3－1，5－1?,2)＝eq \f(?2，4?,2)＝(1,2)，
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得等差向量列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d
＝(1,1)＋(n－1)(1,2)＝(1,1)＋(n－1,2n－2)
＝(1＋n－1,1＋2n－2)＝(n，2n－1)，
由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得等差向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)
＝eq \f(n[?1，1?＋?n，2n－1?],2)＝eq \f(n?1＋n，2n?,2)
＝eq \f(?n＋n2，2n2?,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋n2,2)，n2)).
【訓(xùn)練五】在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè){bn}＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，
解得a1＝1，d＝eq \f(2,5)，
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(2n＋3,5).
(2)由(1)知，bn＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2n＋3,5)))，
當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，1≤eq \f(2n＋3,5)

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