【考綱要求】
1.了解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.
3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．
【考點(diǎn)預(yù)測】
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
3．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0．
【常用結(jié)論】
1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.
4.已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
【方法技巧】
1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．
3.向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來，引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體．
4.平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.
(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．
二、【題型歸類】
【題型一】平面向量基本定理的應(yīng)用
【典例1】在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b
C.－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D.－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
【解析】eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b.
故選C.
【典例2】在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，則t的值為________.
【解析】如圖所示.
∵A，M，Q三點(diǎn)共線，
∴eq \(CM,\s\up6(→))＝xeq \(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(x,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(CA,\s\up6(→))，
又∵eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝\f(1,3)t，,1－x＝\f(2,3)t，))解得t＝eq \f(3,4).
【典例3】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn).若eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，則λ＋μ等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
【解析】因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(NB,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))＋(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→)))＝2eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(MA,\s\up6(→))＝2eq \(AN,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(8,5)eq \(AN,\s\up6(→))－eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up6(→))，所以λ＝－eq \f(4,5)，μ＝eq \f(8,5)，所以λ＋μ＝eq \f(4,5).
故選D.
【題型二】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【典例1】已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))
【解析】∵a－2b＋3c＝0，
∴c＝－eq \f(1,3)(a－2b)．
∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，
∴c＝－eq \f(1,3)(a－2b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).
故選D.
【典例2】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(8,5) C．2 D.eq \f(8,3)
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則D(0,0)．
不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，
∴eq \(CA,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,2)，
∵eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))
故λ＋μ＝eq \f(8,5).
故選B.
【典例3】向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】以向量a和b的交點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長為1)，
則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，
c＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)，
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))
∴eq \f(λ,μ)＝eq \f(－2,－\f(1,2))＝4.
故選D.
【題型三】利用向量共線求參數(shù)
【典例1】已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b與b共線，則x的值為________．
【解析】∵a＝(2,1)，b＝(x，－1)，
∴a－b＝(2－x,2)，
又∵a－b與b共線，
∴(2－x)×(－1)－2x＝0，
∴x＝－2.
【典例2】已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
【解析】eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3).
故選A.
【題型四】利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)
【典例1】在△ABC中，已知點(diǎn)O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD與BC交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________．
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
所以點(diǎn)Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))，同理點(diǎn)Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2))).
設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，
則eq \(AM,\s\up6(→))＝(x，y－5)，而eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(7,2)))，
因?yàn)锳，M，D三點(diǎn)共線，所以eq \(AM,\s\up6(→))與eq \(AD,\s\up6(→))共線，
所以－eq \f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，
而eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y－\f(5,4)))，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－0，3－\f(5,4)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(7,4)))，
因?yàn)镃，M，B三點(diǎn)共線，所以eq \(CM,\s\up6(→))與eq \(CB,\s\up6(→))共線，
所以eq \f(7,4)x－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7x＋4y＝20，,7x－16y＝－20，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(12,7)，,y＝2，))
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,7)，2)).
【典例2】已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
【解析】法一 由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4，4λ).
又eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2，6)，
由eq \(AP,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝eq \f(3,4)，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OB,\s\up6(→))＝(3，3)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).
法二 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因?yàn)閑q \(OB,\s\up6(→))＝(4，4)，且eq \(OP,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))共線，所以eq \f(x,4)＝eq \f(y,4)，即x＝y(tǒng).
又eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，6)，且eq \(AP,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))共線，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解得x＝y(tǒng)＝3，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】已知在Rt△ABC中，A＝eq \f(π,2)，AB＝3，AC＝4，P為BC上任意一點(diǎn)(含B，C)，以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)eq \(AQ,\s\up6(→))＝aeq \(AB,\s\up6(→))＋beq \(AC,\s\up6(→))，則a＋b的最大值為( )
A.eq \f(13,12) B．eq \f(5,4)
C.eq \f(17,12) D．eq \f(19,12)
【解析】根據(jù)題設(shè)條件建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0，4)，B(3，0)，易知點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的區(qū)域?yàn)閳D中的兩條線段DE，GF與兩個(gè)半圓圍成的區(qū)域(含邊界)，由eq \(AQ,\s\up6(→))＝aeq \(AB,\s\up6(→))＋beq \(AC,\s\up6(→))＝(3a，4b)，設(shè)z＝a＋b，則b＝z－a，所以eq \(AQ,\s\up6(→))＝(3a，4z－4a)．設(shè)Q(x，y)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3a，,y＝4z－4a，))消去a，得y＝－eq \f(4,3)x＋4z，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線y＝－eq \f(4,3)x＋4z與圓相切時(shí)，直線的縱截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延長交每個(gè)圓的公切線于點(diǎn)R，則|AQ|＝eq \f(12,5)，|AR|＝eq \f(17,5)，所以點(diǎn)A到直線y＝－eq \f(4,3)x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距離為eq \f(17,5)，所以eq \f(|－12z|,\r(32＋42))＝eq \f(17,5)，解得z＝eq \f(17,12)，即a＋b的最大值為eq \f(17,12).
故選C.

【訓(xùn)練二】(多選)已知向量e1，e2是平面α內(nèi)的一組基向量，O為α內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于α內(nèi)任意一點(diǎn)P，當(dāng)eq \(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2時(shí)，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)．若點(diǎn)A，B的廣義坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，關(guān)于下列命題正確的是( )
A．線段AB的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))
B．A，B兩點(diǎn)間的距離為eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)
C．向量eq \(OA,\s\up6(→))平行于向量eq \(OB,\s\up6(→))的充要條件是x1y2＝x2y1
D．向量eq \(OA,\s\up6(→))垂直于eq \(OB,\s\up6(→))的充要條件是x1x2＋y1y2＝0
【解析】由中點(diǎn)的意義知A正確；
只有在e1，e2互相垂直時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式B才正確，B錯(cuò)誤；
由向量平行的充要條件得C正確；
只有e1，e2互相垂直時(shí)，eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))垂直的充要條件為x1x2＋y1y2＝0，D不正確．
故選AC.
【訓(xùn)練三】已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD為角平分線．
(1)求AD的長度；
(2)過點(diǎn)D作直線交AB，AC的延長線于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(AC,\s\up6(→))，求eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的值，并說明理由．
【解析】(1)根據(jù)角平分線定理：eq \f(DB,DC)＝eq \f(AB,AC)＝2，所以eq \f(BD,BC)＝eq \f(2,3)，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))2＝eq \f(4,9)－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(4,9)，所以AD＝eq \f(2,3).
(2)因?yàn)閑q \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3x)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(2,3y)eq \(AF,\s\up6(→))，
因?yàn)镋，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以eq \f(1,3x)＋eq \f(2,3y)＝1，所以eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3.
【訓(xùn)練四】如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線．
(1)設(shè)eq \(PG,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→))，將eq \(OG,\s\up6(→))用λ，eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))表示；
(2)設(shè)eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(OB,\s\up6(→))，求證：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)是定值．
【解析】(1)解 eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(PG,\s\up6(→))
＝eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(PQ,\s\up6(→))
＝eq \(OP,\s\up6(→))＋λ(eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))
＝(1－λ)eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(OQ,\s\up6(→)).
(2)證明 由(1)得eq \(OG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(OQ,\s\up6(→))
＝(1－λ)xeq \(OA,\s\up6(→))＋λyeq \(OB,\s\up6(→))，
因?yàn)镚是△OAB的重心，
所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)).
又eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共線，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(?1－λ?x＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝3，即eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)為定值．
【訓(xùn)練五】如圖，在△OBC中，點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上一個(gè)靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AO,\s\up6(→))＝b.
(1)用向量a與b表示向量eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)若eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))，判斷C，D，E三點(diǎn)是否共線，并說明理由．
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上一個(gè)靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BO,\s\up6(→)).因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AO,\s\up6(→))＝b，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－a－b，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BO,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→)))＝eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(5,3)a＋eq \f(1,3)b.
(2)C，D，E三點(diǎn)不共線．理由如下：
因?yàn)閑q \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))，
所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(3,5)eq \(AO,\s\up6(→))＝a＋b－eq \f(3,5)b＝a＋eq \f(2,5)b，
由(1)知eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(5,3)a＋eq \f(1,3)b，
所以不存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(CE,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→)).
所以C，D，E三點(diǎn)不共線．
【訓(xùn)練六】如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，三個(gè)單位向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))滿足條件：eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為α，且tan α＝7，eq \(OB,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為45°.若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，求m＋n的值.
【解析】以O(shè)為原點(diǎn)，eq \(OA,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
由tan α＝7知α為銳角，
則sin α＝eq \f(7\r(2),10)，cs α＝eq \f(\r(2),10)，
故cs(α＋45°)＝－eq \f(3,5)，sin(α＋45°)＝eq \f(4,5).
∴點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),10)，\f(7\r(2),10)))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),10)，\f(7\r(2),10))).
又eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),10)，\f(7\r(2),10)))＝m(1，0)＋neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－\f(3,5)n＝\f(\r(2),10)，,\f(4,5)n＝\f(7\r(2),10)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(5\r(2),8)，,n＝\f(7\r(2),8).))
∴m＋n＝eq \f(5\r(2),8)＋eq \f(7\r(2),8)＝eq \f(3\r(3),2).
四、【強(qiáng)化測試】
【單選題】
1. 已知向量a，b滿足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2，1)，則b＝( )
A．(1，2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(－1，－2)
【解析】因?yàn)閍－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2，1)②，所以②－①得3b＝(－3，6)，所以b＝(－1，2)．
故選C.
2. 設(shè)向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，若向量a＝－3e1－e2與b＝e1－λe2共線，則λ＝( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．－3 D．3
【解析】方法一：因?yàn)閍與b共線，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．
故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－eq \f(1,3).
故選B.
方法二：因?yàn)橄蛄縠1，e2是平面內(nèi)的一組基底，
故由a與b共線可得，eq \f(1,－3)＝eq \f(－λ,－1)，解得λ＝－eq \f(1,3).
故選B.
3. 已知OB是平行四邊形OABC的一條對(duì)角線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若點(diǎn)E滿足eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))
【解析】易知eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，則C(－1，－1)，設(shè)E(x，y)，則3eq \(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).
故選A.
4. 已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．3 D．2eq \r(3)
【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，
因?yàn)椤螪AB＝60°，所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，eq \r(3)m)(m≠0)．
eq \(AD,\s\up6(→))＝(m，eq \r(3)m)＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq \f(\r(3),2)m，
所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(2\r(3),3).
故選A.
5. 設(shè)向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且a與b的方向相反，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．m的值不存在
【解析】向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，因?yàn)閍∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或m＝1.當(dāng)m＝1時(shí)，a＝(1,2)，b＝(1,2)，a與b的方向相同，舍去；當(dāng)m＝－2時(shí)，a＝(－2,2)，b＝(1，－1)，a與b的方向相反，符合題意.
故選A.
6. 如圖，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))＝3eq \(CE,\s\up6(→))，則eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,4)b－eq \f(1,3)a B.eq \f(5,12)a－eq \f(3,4)b
C.eq \f(3,4)a－eq \f(1,3)b D.eq \f(5,12)b－eq \f(3,4)a
【解析】eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(5,12)b－eq \f(3,4)a.
故選D.
7. 已知等邊三角形ABC的邊長為4，O為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，則△AOB的面積是( )
A.4eq \r(3) B.eq \f(8\r(3),3)
C.eq \f(4\r(3),3) D.2eq \r(3)
【解析】根據(jù)題意，設(shè)AB邊的中點(diǎn)為D，
因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，則CD⊥AB.
由AB的中點(diǎn)為D，得eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))，
又由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \(OD,\s\up6(→))，則O是CD的中點(diǎn)，又△ABC的邊長為4，則AD＝2，CD＝2eq \r(3)，則OD＝eq \r(3)，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)×4×eq \r(3)＝2eq \r(3).
故選D.
8. 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分別是AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足2|eq \(AM,\s\up6(→))|＋|eq \(AN,\s\up6(→))|＝1，設(shè)eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AM,\s\up6(→))＋yeq \(AN,\s\up6(→))，則2x＋3y的最小值為( )
A.48 B.49 C.50 D.51
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，
B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).
設(shè)M(m，0)，N(0，n)，因?yàn)?|eq \(AM,\s\up6(→))|＋|eq \(AN,\s\up6(→))|＝1，
所以2m＋n＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤m≤\f(1,2)，0≤n≤1)).
因?yàn)閑q \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AM,\s\up6(→))＋yeq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
所以x＝eq \f(4,m)，y＝eq \f(3,n)，
所以2x＋3y＝eq \f(8,m)＋eq \f(9,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,m)＋\f(9,n)))(2m＋n)＝25＋eq \f(8n,m)＋eq \f(18m,n)≥25＋24＝49，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(8n,m)＝eq \f(18m,n)，即m＝eq \f(2,7)，n＝eq \f(3,7)時(shí)取等號(hào).
故選B.
【多選題】
9. 已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是( )
A．－2 B．eq \f(1,2)
C．1 D．－1
【解析】各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，若A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形．因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，則A，B，C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形.
故選ABD.
10. 已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段OA的中點(diǎn)，則eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)) B．eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))
C．eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→)) D．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
【解析】如圖所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)).
故選AC．
11. 設(shè)a是已知的平面向量且a≠0，關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題(向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線)，則真命題是( )
A．給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c
B．給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc
C．給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc
D．給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc
【解析】∵向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，
∴b≠0，c≠0，
給定向量a和b，只需求得其向量差a－b，
即為所求的向量c，
故總存在向量c，使a＝b＋c，故A正確；
當(dāng)向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時(shí)，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；
取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，
無論λ取何值，向量λb都平行于x軸，而向量μc的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μc的縱坐標(biāo)一定為4，
故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)棣撕挺虨檎龜?shù)，所以λb和μc代表與原向量同向的且有固定長度的向量，
這就使得向量a不一定能用兩個(gè)單位向量的組合表示出來，
故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D錯(cuò)誤．
故選AB.
12. 如圖，B是AC的中點(diǎn)，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn)，且eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．當(dāng)x＝0時(shí)，y∈[2,3]
B．當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(5,2)
C．若x＋y為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段
D．當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，x＝1，y＝2
【解析】當(dāng)eq \(OP,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(OB,\s\up6(→))時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，故1≤y≤3，故A中結(jié)論錯(cuò)誤；
當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(EP,\s\up6(→))＝3eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝3eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(－2eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝3eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(－2eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(5,2)eq \(OB,\s\up6(→))，故B中結(jié)論正確；
當(dāng)x＋y為定值1時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線，又P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn)，故P的軌跡是一條線段，故C中結(jié)論正確；
因?yàn)閑q \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，
則eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，
所以x＝－1，y＝2，D錯(cuò)誤．
故選BC.
【填空題】
13. 設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.
【解析】由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb.
因?yàn)閍＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))
14. 已知點(diǎn)A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且點(diǎn)P在直線x－2y＝0上，則λ的值為________．
【解析】設(shè)P(x，y)，則由eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又點(diǎn)P在直線x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq \f(2,3).
15. 在△AOB中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))，D為OB的中點(diǎn)，若eq \(DC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，則λμ的值為________．
【解析】因?yàn)閑q \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，因?yàn)镈為OB的中點(diǎn)，所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(4,5)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(3,10)eq \(OB,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(4,5)，μ＝－eq \f(3,10)，則λμ的值為－eq \f(6,25).
16. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－2，－1)，若2eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，則|eq \(OP,\s\up6(→))|＝________.
【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)，由2eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－2＝－3，,2y－4＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))故|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq \f(\r(2),2).
【解答題】
17. 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．
【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b與a＋2b共線，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).
(2)方法一 ∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq \f(3,2).
方法二 eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq \f(3,2).
18. 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；
(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．
【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)方法一 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
方法二 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
又a＝mb＋nc，
∴mb＋nc＝－b－c，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)
＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．
19. 如圖，在△ABC中，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)求△ABM與△ABC的面積之比；
(2)若N為AB中點(diǎn)，eq \(AM,\s\up6(→))與eq \(CN,\s\up6(→))交于點(diǎn)P，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，求x＋y的值.
【解析】(1)在△ABC中，
由eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
得4eq \(AM,\s\up6(→))－3eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
即3(eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))，即3eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))，
即點(diǎn)M是線段BC上的靠近B的四等分點(diǎn)，
∴△ABM與△ABC的面積之比為eq \f(1,4).
(2)∵eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))
＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，
eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴設(shè)eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3λ,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝eq \f(3λ,2)eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \f(λ,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
∵N，P，C三點(diǎn)共線，∴eq \f(3λ,2)＋eq \f(λ,4)＝1，
解得λ＝eq \f(4,7)，x＝eq \f(3λ,4)＝eq \f(3,7)，y＝eq \f(1,4)λ＝eq \f(1,7)，
故x＋y＝eq \f(4,7).
20. 如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
【解析】方法一 如圖，作平行四邊形OB1CA1，
則eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB1,\s\up6(—→))＋eq \(OA1,\s\up6(—→))，
因?yàn)閑q \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
所以|eq \(OB1,\s\up6(—→))|＝2，|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以|eq \(OA1,\s\up6(—→))|＝|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
方法二 以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
C(3，eq \r(3))．
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.))
所以λ＋μ＝6.
21. 已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0，2)，B(4，6)，eq \(OM,\s\up6(→))＝t1eq \(OA,\s\up6(→))＋t2eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；
(2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線．
【解析】(1)eq \(OM,\s\up6(→))＝t1eq \(OA,\s\up6(→))＋t2eq \(AB,\s\up6(→))＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
點(diǎn)M在第二或第三象限?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4t2＜0，,2t1＋4t2≠0，))
解得t2＜0且t1＋2t2≠0.
故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)證明：當(dāng)t1＝1時(shí)，由(1)知eq \(OM,\s\up6(→))＝(4t2，4t2＋2)．
因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4，4)，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2eq \(AB,\s\up6(→))，
所以A，B，M三點(diǎn)共線．
22. 已知點(diǎn)A，B為單位圓O上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為單位圓O所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))不共線．
(1)在△OAB中，點(diǎn)P在AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；
(2)已知點(diǎn)P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))(m為常數(shù))，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值．
【解析】(1)因?yàn)閑q \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，
又因?yàn)閑q \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，
所以r＝eq \f(2,3)，s＝－eq \f(2,3)，所以r＋s＝0.
(2)因?yàn)樗倪呅蜲ABP為平行四邊形，
所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
又因?yàn)閑q \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋(m＋1)eq \(OA,\s\up6(→))，
依題意eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))是非零向量且不共線，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.

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