【考綱要求】
1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
【考點(diǎn)預(yù)測】
1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中項(xiàng)
若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d或Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2).
3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．
【常用結(jié)論】
1.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)
①若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②若項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
2.兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(an,bn).
【方法技巧】
1.等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程思想．
(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．
2.等差數(shù)列的判定與證明方法
3.如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項(xiàng)時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am＝eq \f(1,2)(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．
4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an；
(3)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
5.求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法

二、【題型歸類】
【題型一】等差數(shù)列的基本運(yùn)算
【典例1】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝________.
【典例2】將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為__________.
【典例3】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8＝a8＝8，則公差d＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.1 D.2
【題型二】等差數(shù)列的判定與證明
【典例1】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分．
【典例2】已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，記bn＝lg2(an＋1)．
(1)判斷{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【典例3】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)證明數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式．
【題型三】等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
【典例1】設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且4＋a5＝a6＋a4，則S9等于( )
A．72 B．36 C．18 D．9
【典例2】在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－eq \f(1,2)a8的值為( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【典例3】已知數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，則a3＋a4等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【題型四】等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用
【典例1】已知等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為30，它的前30項(xiàng)和為210，則前20項(xiàng)和為( )
A．100 B．120
C．390 D．540
【典例2】在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 018，其前n項(xiàng)和為Sn，若eq \f(S12,12)－eq \f(S10,10)＝2，則S2 018的值等于( )
A．－2 018 B．－2 016
C．－2 019 D．－2 017
【典例3】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699塊 B．3 474塊
C．3 402塊 D．3 339塊
【題型五】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
【典例1】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時n的值為( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【典例2】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，則滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為( )
A．6 B．7
C．12 D．13
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】（多選）已知定義：在數(shù)列{an}中，若aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p為常數(shù))，則稱{an}為等方差數(shù)列．下列命題正確的是( )
A．若{an}是等方差數(shù)列，則{aeq \\al(2,n)}是等差數(shù)列
B．{(－1)n}是等方差數(shù)列
C．若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}(k∈N*，k為常數(shù))不可能還是等方差數(shù)列
D．若{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列
【訓(xùn)練二】多環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，學(xué)生鐘愛的快餐油炸食品中會產(chǎn)生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一類多環(huán)芳香烴，長期食用會致癌．下面是一組多環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：
由此推斷并十苯的分子式為________．
【訓(xùn)練三】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq \f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“精致數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“精致數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為________．
【訓(xùn)練四】定義向量列a1，a2，a3，…，an從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常向量(即坐標(biāo)都是常數(shù)的向量)，即an＝an－1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d為常向量，則稱這個向量列{an}為等差向量列．這個常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}滿足a1＝(1,1)，a2＋a4＝(6,10)，則向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝____________________.
【訓(xùn)練五】在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè){bn}＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
【訓(xùn)練六】等差數(shù)列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Tn為數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值.
四、【強(qiáng)化測試】
【單選題】
1. 已知公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝aeq \\al(2,6)，則a10＝( )
A.eq \f(5,2) B.5 C.10 D.40
2. 已知數(shù)列{an}滿足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，則lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝( )
A.－3 B.3 C.－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
3. 在數(shù)列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，則k＝( )
A.10 B.9 C.8 D.7
4. 已知等差數(shù)列{an}滿足a3＋a6＋a8＋a11＝12，則2a9－a11的值為( )
A．－3 B．3 C．－12 D．12
5. 中國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之(等差數(shù)列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給．則第一等人(得金最多者)得金斤數(shù)是( )
A.eq \f(37,26) B.eq \f(37,27)
C.eq \f(52,39) D.eq \f(56,39)
6. 已知等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為( )
A．28 B．29
C．30 D．31
7. 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9＋3a11

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