【考綱要求】
1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).
2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.
3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.
【考點預(yù)測】
1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規(guī)則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
【常用結(jié)論】
1.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長為a，球的半徑為R，
(1)若球為正方體的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
(2)若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；
(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
2.長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
3.正四面體的外接球的半徑R＝eq \f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq \f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長).
4.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形.
【方法技巧】
1.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.
(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.
2.在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”
3.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：
S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形.
4.幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.
5.空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.
6.求空間幾何體的體積的常用方法
(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解；
(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體；
(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.
7.求解多面體的外接球時，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
8.求解球的內(nèi)接正方體、長方體等問題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對角線.
9.“切”的問題處理規(guī)律
(1)找準切點，通過作過球心的截面來解決.
(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.
二、【題型歸類】
【題型一】基本立體圖形
【典例1】(多選)下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是( )
A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
C.長方體是直平行六面體
D.存在每個面都是直角三角形的四面體
【解析】A中，當頂點在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐，不正確；
B中，當平面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；
C正確；
D正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形.
故選CD.
【典例2】一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于( )
A.eq \f(\r(2),4)a2 B.2eq \r(2)a2 C.eq \f(\r(2),2)a2 D.eq \f(2\r(2),3)a2
【解析】根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(2),2)·S＝eq \f(\r(2),4)S.可以提出一個平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝eq \f(\r(2),4)S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積S＝eq \f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq \r(2)a2.
故選B.
【典例3】如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處.若該小蟲爬行的最短路程為4eq \r(3) m，則圓錐底面圓的半徑等于______ m.
【解析】圓錐頂點記為O，把圓錐側(cè)面沿母線OP展開成如圖所示的扇形，
由題意OP＝4，PP′＝4eq \r(3)，
則cs ∠POP′＝eq \f(42＋42－（4\r(3)）2,2×4×4)＝－eq \f(1,2)，
又∠POP′為△POP′一內(nèi)角，
所以∠POP′＝eq \f(2π,3).
設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝eq \f(2π,3)×4，
所以r＝eq \f(4,3).
【題型二】表面積與體積
【典例1】如圖，四面體的各個面都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在一個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面的圓心，則圓柱的表面積是( )
A.eq \f(?\r(2)＋2?π,3) B.eq \f(?9\r(2)＋8?π,12)
C.eq \f(2?\r(2)＋1?π,3) D.eq \f(?\r(2)＋2?π,2)
【解析】如圖所示，過點P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點E為等邊三角形ABC的中心，連接AE并延長，交BC于點D.
AE＝eq \f(2,3)AD，AD＝eq \f(\r(3),2)，
∴AE＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)，
∴PE＝eq \r(PA2－AE2)＝eq \f(\r(6),3).
設(shè)圓柱底面半徑為r，則r＝AE＝eq \f(\r(3),3)，
∴圓柱的側(cè)面積S1＝2πr·PE＝2π×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(2\r(2)π,3)，
底面積S2＝πr2×2＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2×2＝eq \f(2π,3)，
∴圓柱的表面積S＝S1＋S2＝eq \f(2\r(2)π,3)＋eq \f(2π,3)
＝eq \f(2?\r(2)＋1?π,3).
故選C.
【典例2】如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq \r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為________．
【解析】由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺上面挖去一個圓錐的組合體．如圖，過C作CE⊥AD交AD的延長線于E，過C作AB的垂線，垂足為F.
則∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，
EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cs 45°＝2，
CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝eq \r(32＋42)＝5.
故圓臺的上底面半徑r＝2，
下底面半徑R＝5，高h＝4，母線長l2＝5.
圓錐底面半徑r＝2，高h＝2，母線長l1＝2eq \r(2).
所以圓臺側(cè)面積
S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π，
圓錐側(cè)面積
S2＝eq \f(1,2)×2πr×l1＝eq \f(1,2)×2π×2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)π，
圓臺下底面面積S3＝πR2＝25π.
故該幾何體的表面積
S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4eq \r(2)π＋25π
＝(60＋4eq \r(2))π.
【典例3】正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4，側(cè)棱長為2，則其體積為( )
A．20＋12eq \r(3) B．28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
【解析】作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，
因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2,4，側(cè)棱長為2，
所以該棱臺的高h＝eq \r(22－?2\r(2)－\r(2)?2)＝eq \r(2)，
下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，
所以該棱臺的體積V＝eq \f(1,3)h(S1＋S2＋eq \r(S1S2))＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(16＋4＋eq \r(64))＝eq \f(28\r(2),3).
【題型三】與球有關(guān)的切、接問題
【典例1】圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為________．
【解析】截面圖如圖所示，下底面半徑為5，圓周直徑為10.
則圓臺的下底面位于圓周的直徑上，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠OO′C＝eq \f(π,2)，
則圓臺的高為3，V＝eq \f(1,3)h(S1＋eq \r(S1S2)＋S2)＝25π＋16π＋20π＝61π.
【典例2】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．
【解析】圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓．在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點，AB＝2，E為切點，則PD＝2eq \r(2)，△PEO∽△PDB，
故eq \f(PO,PB)＝eq \f(OE,DB)，即eq \f(2\r(2)－r,3)＝eq \f(r,1)，
解得r＝eq \f(\r(2),2)，
故內(nèi)切球的體積為eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(\r(2),3)π.
【典例3】已知正三棱錐S－ABC的側(cè)棱長為4eq \r(3)，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________．
【解析】如圖，過點S作SE⊥平面ABC于點E，記球心為O.
∵在正三棱錐S－ABC中，底面邊長為6，
側(cè)棱長為4eq \r(3)，
∴BE＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×6＝2eq \r(3)，
∴SE＝eq \r(SB2－BE2)＝6.
∵球心O到四個頂點的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑R，
∴OB＝R，OE＝6－R.
在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，
解得R＝4，
∴外接球的表面積為S＝4πR2＝64π.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】(多選)沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的eq \f(2,3)(細管長度忽略不計)，假設(shè)該沙漏每秒鐘漏0.02 cm3的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，以下結(jié)論正確的是(π≈3.14)( )
A．沙漏中的細沙體積為eq \f(1 024π,81) cm3
B．沙漏的體積是128π cm3
C．細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4 cm
D．該沙漏的一個沙時大約是1 985秒
【解析】A項，根據(jù)圓錐的截面圖可知，細沙在上部時，細沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細沙的高與圓錐的高之比，所以細沙的底面半徑r＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)(cm)，
所以體積V＝eq \f(1,3)·πr2·eq \f(2h,3)＝eq \f(1,3)·eq \f(64π,9)·eq \f(16,3)
＝eq \f(1 024π,81)(cm3)；
B項，沙漏的體積V＝2×eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2×h
＝2×eq \f(1,3)×π×42×8＝eq \f(256π,3)(cm3)；
C項，設(shè)細沙流入下部后的高度為h1，根據(jù)細沙體積不變可知，
eq \f(1 024π,81)＝eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2×h1，
所以eq \f(1 024π,81)＝eq \f(16π,3)h1，所以h1≈2.4(cm)；
D項，因為細沙的體積為eq \f(1 024π,81) cm3，
沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，
所以一個沙時為eq \f(\f(1 024π,81),0.02)≈eq \f(1 024×3.14,81)×50
≈1 985(秒)．
故選ACD.
【訓(xùn)練二】若E，F(xiàn)是三棱柱ABC－A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，則四棱錐A－BEFC的體積為________.
【解析】如圖所示，連接AB1，AC1.
因為B1E＝CF，所以梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積.
又四棱錐A－BEFC的高與四棱錐A－B1EFC1的高相等，
所以VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝eq \f(1,2)VA－BB1C1C.
又VA－A1B1C1＝eq \f(1,3)S△A1B1C1·AA1，
VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1＝m，
所以VA－A1B1C1＝eq \f(m,3)，
所以VA－BB1C1C＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝eq \f(2m,3)，
所以VA－BEFC＝eq \f(1,2)×eq \f(2m,3)＝eq \f(m,3)，
即四棱錐A－BEFC的體積是eq \f(m,3).
【訓(xùn)練三】在半徑為15的球O內(nèi)有一個底面邊長為12eq \r(3)的內(nèi)接正三棱錐A－BCD，則此正三棱錐的體積為________.
【解析】①如圖所示，
顯然OA＝OB＝OC＝OD＝15.
設(shè)H為△BCD的中心，
則A，O，H三點在同一條直線上.
∵HB＝HC＝HD＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×12eq \r(3)＝12，
∴OH＝eq \r(OB2－HB2)＝9，
∴正三棱錐A－BCD的高h＝9＋15＝24.
又S△BCD＝eq \f(\r(3),4)×(12eq \r(3))2＝108eq \r(3)，
∴VA－BCD＝eq \f(1,3)×108eq \r(3)×24＝864eq \r(3).
②如圖所示，同理，可得正三棱錐A－BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝108eq \r(3)，
∴VA－BCD＝eq \f(1,3)×108eq \r(3)×6＝216eq \r(3).
綜上，正三棱錐A－BCD的體積為864eq \r(3)或216eq \r(3).
【訓(xùn)練四】我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖，將底面直徑都為2b，高皆為a的半橢球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且與平面β任意距離d處的平面截這兩個幾何體，可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面．可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，短半軸長為1，長半軸長為3的橢球體的體積是________．
【解析】因為S圓＝S環(huán)總成立，所以半橢球體的體積為πb2a－eq \f(1,3)πb2a＝eq \f(2,3)πb2a，
所以橢球體的體積V＝eq \f(4,3)πb2a.
因為橢球體的短半軸長為1，長半軸長為3.
所以橢球體的體積V＝eq \f(4,3)πb2a＝eq \f(4,3)π×12×3＝4π.
【訓(xùn)練五】我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》第八卷“商功”第五章撰述：“芻蕘(chú rá )：倍下長，加上長，以廣乘之，又以高乘，用六歸之．如屋脊：上斜下平．”劉徽注曰：止斬方亭兩邊，合之即“芻甍”之形也．即將方臺的兩邊切下來合在一起就是“芻甍”，是一種五面體(如圖)：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則此幾何體的表面積為______，體積為______．
【解析】由題意知該五面體的表面積S＝S矩形ABCD＋2S△ADE＋2S梯形ABFE＝2×4＋2×eq \f(1,2)×2×eq \r(22－12)＋2×eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(22－12)＝8＋8eq \r(3).過點F作FO⊥平面ABCD，垂足為O，取BC的中點P，連接PF，過點F作FQ⊥AB，垂足為Q，連接OQ.因為△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，所以O(shè)P＝eq \f(1,2)(AB－EF)＝1，PF＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，OQ＝eq \f(1,2)BC＝1，所以O(shè)F＝eq \r(PF2－OP2)＝eq \r(2)，采用分割的方法，分別過點F，E作與平面ABCD垂直的平面，這兩個平面把幾何體分割成三部分，如圖，包含一個三棱柱EMN-FQH，兩個全等的四棱錐E-AMND，F(xiàn)-QBCH，所以這個幾何體的體積V＝VEMN-FQH＋2VF-QBCH＝S△QFH×MQ＋2×eq \f(1,3)S矩形QBCH×FO＝eq \f(1,2)×2×eq \r(2)×2＋2×eq \f(1,3)×1×2×eq \r(2)＝eq \f(10\r(2),3).
【訓(xùn)練六】在半徑為15的球O內(nèi)有一個底面邊長為12eq \r(3)的內(nèi)接正三棱錐A－BCD，求此正三棱錐的體積．
【解析】①如圖所示，顯然OA＝OB＝OC＝OD＝15.
設(shè)H為△BCD的中心，
則A，O，H三點在同一條直線上．
∵HB＝HC＝HD＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×12eq \r(3)＝12，
∴OH＝eq \r(OB2－HB2)＝9，
∴正三棱錐A－BCD的高h＝9＋15＝24.
又S△BCD＝eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12\r(3)))2＝108eq \r(3)，
∴VA－BCD＝eq \f(1,3)×108eq \r(3)×24＝864eq \r(3).
②如圖所示，同理，可得正三棱錐A－BCD的高h′＝15－9＝6，
S△BCD＝108eq \r(3)，
∴VA－BCD＝eq \f(1,3)×108eq \r(3)×6＝216eq \r(3).
綜上，正三棱錐A－BCD的體積為864eq \r(3)或216eq \r(3).
四、【強化測試】
【單選題】
1. 下列說法中，正確的是( )
A.棱柱的側(cè)面可以是三角形
B.若棱柱有兩個側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形
C.正方體的所有棱長都相等
D.棱柱的所有棱長都相等
【解析】棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A錯誤；其他側(cè)面可能是平行四邊形，B錯誤；棱柱的側(cè)棱與底面邊長并不一定相等，D錯誤；易知C正確.
故選C.
2. 一個菱形的邊長為4 cm，一內(nèi)角為60°，用斜二測畫法畫出的這個菱形的直觀圖的面積為( )
A.2eq \r(3) cm2 B.2eq \r(6) cm2
C.4eq \r(6) cm2 D.8eq \r(3) cm2
【解析】直觀圖的面積為eq \f(\r(2),4)×eq \f(\r(3),2)×42＝2eq \r(6)(cm2).
故選B.
3. 現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓錐的側(cè)面積為( )
A.3π B.eq \f(3π,2) C.eq \f(\r(5)π,2) D.eq \r(5)π
【解析】設(shè)底面圓的半徑為R，圓柱的高為h，
依題意2R＝h＝2，∴R＝1.
∴圓錐的母線l＝eq \r(h2＋R2)＝eq \r(22＋1)＝eq \r(5)，
因此S圓錐側(cè)＝πRl＝1×eq \r(5)π＝eq \r(5)π.
故選D.
4. 在我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個問題中，葛藤長的最小值為( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
【解析】如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊(即圓木的高)長24尺，另一條直角邊長5×2＝10(尺)，因此葛藤長的最小值為eq \r(242＋102)＝26(尺)，即為2丈6尺．
故選C.
5. 在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，則將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為( )
A．(5＋eq \r(2))π
B．(4＋eq \r(2))π
C．(5＋2eq \r(2))π
D．(3＋eq \r(2))π
【解析】如圖所示，梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱挖去一個底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐，
∴該幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq \r(12＋12)＝(5＋eq \r(2))π.
故選A.
6. 玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被稱為“六器”，是古人用于祭祀神祇的一種禮器．《周禮》中載有“以玉作六器，以禮天地四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文．如圖為齊家文化玉琮，該玉琮中方內(nèi)空，形狀對稱，圓筒內(nèi)徑2.0 cm，外徑2.4 cm，筒高6.0 cm，方高4.0 cm，則其體積約為(單位：cm3)( )
A．23.04－3.92π B．34.56－3.92π
C．34.56－3.12π D．23.04－3.12π
【解析】由題圖可知，組合體由圓柱、長方體構(gòu)成，
組合體的體積為V＝2×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2.4,2)))2＋4×2.4×2.4－π×12×6＝23.04－3.12π.
故選D.
7. 已知表面積為12π的圓柱的上下底面的中心分別為O1，O2.若過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是正方形，則O1O2＝( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(2) C．eq \r(3) D．eq \r(2)
【解析】因為圓柱的軸截面是正方形，設(shè)底面半徑為r，則母線長為2r，所以圓柱的表面積為2πr2＋2πr·2r＝12π，解得r＝eq \r(2)，所以O(shè)1O2＝2r＝2eq \r(2)，
故選B．
8. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，D1B與DC所成的角是60°，則長方體的外接球的表面積是( )
A．16π B．8π
C．4π D．4eq \r(2)π
【解析】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，因為DC∥AB，所以相交直線D1B與AB所成的角是異面直線D1B與DC所成的角．
連接AD1，由AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥AD1，所以在Rt△ABD1中，∠ABD1就是D1B與DC所成的角，即∠ABD1＝60°，又AB＝2，AB＝BD1cs 60°，
所以BD1＝eq \f(AB,cs 60°)＝4，設(shè)長方體ABCD-A1B1C1D1外接球的半徑為R，則由長方體的體對角線就是長方體外接球的直徑得4R2＝D1B2＝16，則R＝2，
所以長方體外接球的表面積是4πR2＝16π.
故選A．
【多選題】
9. 下列結(jié)論中正確的是( )
A．由五個面圍成的多面體只能是三棱柱
B．正棱臺的對角面一定是等腰梯形
C．圓柱側(cè)面上的直線段都是圓柱的母線
D．各個面都是正方形的四棱柱一定是正方體
【解析】由五個面圍成的多面體可以是四棱錐，所以A選項錯誤．B，C，D說法均正確．
故選BCD.
10. 已知A，B，C三點均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq \f(1,3)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．球O的表面積為6π
B．球O的內(nèi)接正方體的棱長為1
C．球O的外切正方體的棱長為eq \f(4,3)
D．球O的內(nèi)接正四面體的棱長為2
【解析】設(shè)球O的半徑為r，△ABC的外接圓圓心為O′，半徑為R.易得R＝eq \f(2\r(3),3).因為球心O到平面ABC的距離等于球O半徑的eq \f(1,3)，所以r2－eq \f(1,9)r2＝eq \f(4,3)，得r2＝eq \f(3,2).所以球O的表面積S＝4πr2＝4π×eq \f(3,2)＝6π，選項A正確；球O的內(nèi)接正方體的棱長a滿足eq \r(3)a＝2r，顯然選項B不正確；球O的外切正方體的棱長b滿足b＝2r，顯然選項C不正確；球O的內(nèi)接正四面體的棱長c滿足c＝eq \f(2\r(6),3)r＝eq \f(2\r(6),3)×eq \f(\r(6),2)＝2，選項D正確．
故選AD.
11. 將正三棱錐P-ABC置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐”P-ABC-Q，如圖．下列關(guān)于該“倒影三棱錐”的說法中，正確的有( )
A．PQ⊥平面ABC
B．若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上
C．若該“倒影三棱錐”存在外接球，則AB＝eq \r(2)PA
D．若AB＝eq \f(\r(6),2)PA，則PQ的中點必為“倒影三棱錐”外接球的球心
【解析】由“倒影三棱錐”的幾何特征可知PQ⊥平面ABC，A正確；當P，A，B，C在同一球面上時，若△ABC的外接圓不是球的最大圓，則點Q不在該球面上，B錯誤；若該“倒影三棱錐”存在外接球，則三棱錐P-ABC的外接球的半徑與等邊三角形ABC外接圓的半徑相等，設(shè)其為R，則AB＝eq \r(3)R，PA＝eq \r(2)R，則AB＝eq \f(\r(6),2)PA，C錯誤；由C的推導(dǎo)可知該“倒影三棱錐”外接球的球心為△ABC的中心，即PQ的中點，D正確.
故選AD.
12. 已知圓錐的頂點為P，母線長為2，底面半徑為eq \r(3)，A，B為底面圓周上兩個動點(A與B不重合)，則下列說法正確的是( )
A．圓錐的體積為π
B．三角形PAB為等腰三角形
C．三角形PAB面積的最大值為eq \r(3)
D．直線PA與圓錐底面所成角的大小為eq \f(π,6)
【解析】如圖所示，點O為點P在圓錐底面上的射影，連接OA，OB.PO＝eq \r(22－（\r(3)）2)＝1，圓錐的體積V＝eq \f(1,3)×π×(eq \r(3))2×1＝π，A正確；PA＝PB＝2，B正確；易知直線PA與圓錐底面所成的角為∠PAO＝eq \f(π,6)，D正確；取AB中點C，連接PC，設(shè)∠PAC＝θ，則θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，S△PAB＝2sin θ·2cs θ＝2sin 2θ，當θ＝eq \f(π,4)時，△PAB面積取得最大值2，C錯誤．
故選ABD.
【填空題】
13. 一個六棱錐的體積為2eq \r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．
【解析】設(shè)六棱錐的高為h，則V＝eq \f(1,3)Sh，
所以eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×4×6h＝2eq \r(3)，解得h＝1.
設(shè)六棱錐的斜高為h′，
則h2＋(eq \r(3))2＝h′2，故h′＝2.
所以該六棱錐的側(cè)面積為eq \f(1,2)×2×2×6＝12.
14. 已知△ABC是面積為eq \f(9\r(3),4)的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為________．
【解析】如圖所示，過球心O作OO1⊥平面ABC，
則O1為等邊三角形ABC的外心．
設(shè)△ABC的邊長為a，
則eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(9\r(3),4)，解得a＝3，
∴O1A＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×3＝eq \r(3).
設(shè)球O的半徑為r，則由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.
在Rt△OO1A中，OO1＝eq \r(OA2－O1A2)＝1，
即O到平面ABC的距離為1.
15. 如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形的邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.
【解析】螺帽的底面正六邊形的面積
S＝6×eq \f(1,2)×22×sin 60°＝6eq \r(3)(cm2)，
正六棱柱的體積V1＝6eq \r(3)×2＝12eq \r(3)(cm3)，
圓柱的體積V2＝π×0.52×2＝eq \f(π,2)(cm3)，
所以此六角螺帽毛坯的體積
V＝V1－V2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3.
16. 如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________．
【解析】如圖，連接OD，交BC于點G，
由題意知，OD⊥BC，OG＝eq \f(\r(3),6)BC.
設(shè)OG＝x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，則BC＝2eq \r(3)x，DG＝5－x，
三棱錐的高h＝eq \r(DG2－OG2)＝eq \r(25－10x＋x2－x2)＝eq \r(25－10x)，
S△ABC＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)x×3x＝3eq \r(3)x2，
則三棱錐的體積V＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \r(3)x2·eq \r(25－10x)＝eq \r(3)·eq \r(25x4－10x5).
令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，
則f′(x)＝100x3－50x4.
令f′(x)＝0，得x＝2.當x∈(0,2)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))時，f′(x)

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