知識梳理
1．焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin＝eq \f(2b2,a).
2．AB為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則
(1)弦長l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
(2)直線AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
題型歸納
題型1 直線與橢圓的位置關(guān)系
【例1-1】直線y＝kx+k與焦點在y軸上的橢圓+＝1總有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
【例1-2】已知橢圓C的兩個焦點分別是F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點（1，）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當(dāng)m取何值時，直線y＝x+m與橢圓C：有兩個公共點；只有一個公共點；沒有公共點？
【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知直線l：y＝2x+m，橢圓C：+＝1，試問：當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C，
（1）有兩個不重合的公共點；
（2）有且只有一個公共點；
（3）沒有公共點？
【名師指導(dǎo)】
判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法
(1)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù)．
(2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點．
題型2 弦長問題
【例2-1】已知橢圓C的焦點為F1（）和F2（），長軸長為6，設(shè)直線y＝x+2交橢圓C于A、B兩點．求：
（1）橢圓C的標準方程；
（2）弦AB的中點坐標及弦長．
【例2-2】已知橢圓C：的離心率為，短軸長為4．
（1）求橢圓方程；
（2）過P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】橢圓＝1，過原點O斜率為的直線與橢圓交于C，D，若|CD|＝4，則橢圓的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知橢圓＝1的離心率為，以橢圓的2個焦點與1個短軸端點為頂點的三角形的面積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，斜率為k的直線l過橢圓的右焦點F，且與橢圓交與A，B兩點，以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長度為，求直線l的方程．
【名師指導(dǎo)】
1．弦長的求解方法
(1)當(dāng)弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解．
(2)當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：
①|(zhì)AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|；
②|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)；
③|AB|＝ eq \r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])；
④|AB|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[?y1＋y2?2－4y1y2]).
2．弦長公式的運用技巧
弦長公式的運用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計算量的大?。覀兊慕?jīng)驗是：若直線經(jīng)過的定點在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程y＝kx＋b便于運算，即“定點落在縱軸上，斜截式幫大忙”；若直線經(jīng)過的定點在橫軸上，一般設(shè)為my＝x－a可以減小運算量，即“直線定點落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”．
題型3 中點弦問題
【例3-1】已知：橢圓+＝1，求：
（1）以P（2，﹣1）為中點的弦所在直線的方程；
（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程．
【例3-2】已知中心在原點的橢圓C的一個焦點F恰為圓F：的圓心，直線l：y＝3x﹣2截C所得弦AB的中點的橫坐標為，則C的短軸長為 ．
【例3-3】設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點，點A，B分別為橢圓C的右頂點和下頂點，且點F1關(guān)于直線AB的對稱點為M．若MF2⊥F1F2，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知斜率為k1（k1≠0）的直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB的中點為C，直線OC（O為坐標原點）的斜率為k2，則k1?k2＝（ ）
A．B．﹣4C．D．﹣2
【跟蹤訓(xùn)練3-2】已知橢圓C以坐標軸為對稱軸，以坐標原點為對稱中心，橢圓的一個焦點為F（1，0），點在橢圓上，
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）斜率為k的直線l過點F且不與坐標軸垂直，直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的左焦點為F，A、B兩點是橢圓E上關(guān)于y軸對稱的點，若△ABF能構(gòu)成一個內(nèi)角為的等腰三角形，則橢圓E的離心率e＝（ ）
A．B．C．﹣1D．2﹣
【名師指導(dǎo)】
1.處理中點弦問題常用的求解方法
(1)點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式可求得斜率．
(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解．
2.求解橢圓上對稱問題的常用方法
（1）將對稱兩點所在的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由Δ＞0建立不等關(guān)系，再由對稱兩點的中點在所給直線上，建立相等關(guān)系，由相等關(guān)系消參，由不等關(guān)系確定范圍．
（2）用參數(shù)表示中點坐標，利用中點在橢圓內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式得參數(shù)范圍．
題型4 橢圓與向量的綜合問題
【例4-1】設(shè)點M和N分別是橢圓C：＝1（a＞0）上不同的兩點，線段MN最長為4．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線MN過點Q（0，2），且＞0，線段MN的中點為P，求直線OP的斜率的取值范圍．
【例4-2】已知P（2，0）為橢圓C：＝1（a＞b＞0）的右頂點，點M在橢圓C的長軸上，過點M且不與x軸重合的直線交橢圓C于A，B兩點，當(dāng)點M與坐標原點O重合時，直線PA，PB的斜率之積為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若＝2，求△OAB面積的最大值．
【跟蹤訓(xùn)練4-1】已知O為橢圓C的中心，F(xiàn)為C的一個焦點，點M在C外，＝3，經(jīng)過M的直線l與C的一個交點為N，△MNF是有一個內(nèi)角為120°的等腰三角形，則C的離心率為（ ）
A．B．C．﹣1D．
【跟蹤訓(xùn)練4-2】在直角坐標系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的離心率，直線與圓x2+（y﹣2）2＝4交x軸上方于A，B兩點，有下列三個結(jié)論：
①；
②存在最大值；
③．
正確結(jié)論有 ．（填序號）
【名師指導(dǎo)】
解決橢圓中與向量有關(guān)問題的方法
(1)將向量條件用坐標表示，再利用函數(shù)、方程知識建立數(shù)量關(guān)系．
(2)利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相關(guān)的等量關(guān)系．

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