知識梳理
1．兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
②當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.
(2)兩條直線垂直
①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
②當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.
2．兩直線相交
(1)交點：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標與方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應．
(2)相交?方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解．
(3)平行?方程組無解．
(4)重合?方程組有無數(shù)個解．
3．三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(2)點到直線的距離公式
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩平行直線間的距離公式
兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) .
題型歸納
題型1 兩直線的位置關系
【例1-1】若直線mx+2y﹣2＝0與直線x+（m﹣1）y+2＝0平行，則m的值為（ ）
A．﹣1B．1C．2或﹣1D．2
【例1-2】若直線l1：ax+3y﹣5＝0與l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，則實數(shù)a的值為 ．
【跟蹤訓練1-1】若直線x+（1+m）y﹣2＝0和直線mx+2y+4＝0平行，則m的值為（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣2D．
【跟蹤訓練1-2】已知直線l1：kx+y+3＝0，l2：x+ky+3＝0，且l1∥l2，則k的值 ．
【名師指導】
1．與兩直線的位置關系有關的常見題目類型
(1)判斷兩直線的位置關系．
(2)由兩直線的位置關系求參數(shù)．
(3)根據(jù)兩直線的位置關系求直線方程．
2．由一般式確定兩直線位置關系的方法
題型2 兩直線的交點及距離問題
【例2-1】若三條直線2x+3y+8＝0，x﹣y﹣1＝0和x+ky＝0交于一點，則k的值為（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．
【例2-2】點P（x，y）在直線x+y﹣2＝0上，O是坐標原點，則|OP|的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．2
【例2-3】直線3x+4y﹣3＝0與直線6x+my+9＝0平行，則它們的距離為（ ）
A．B．C．D．2
【跟蹤訓練2-1】若三條直線2x﹣y＝0，x+y﹣3＝0，mx+ny+5＝0相交于同一點，則點（m，n）到原點的距離的最小值為 ．
【跟蹤訓練2-2】點A（csθ，sinθ）到直線3x+4y﹣4＝0距離的最大值為（ ）
A．B．C．1D．
【跟蹤訓練2-3】若兩平行直線x+2y+m＝0（m＞0）與x﹣ny﹣3＝0之間的距離是，則m+n＝（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【名師指導】
1．點到直線的距離的求法
可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．
2．兩平行線間的距離的求法
(1)利用“轉化法”將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．
(2)利用兩平行線間的距離公式．
題型3 對稱問題
【例3-1】直線y＝4x﹣5關于點P（2，1）對稱的直線方程是（ ）
A．y＝4x+5B．y＝4x﹣5C．y＝4x﹣9D．y＝4x+9
【例3-2】點P（2，4）與點Q關于直線l：y＝﹣x+1對稱，則點Q的坐標為（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，﹣3）C．（2，0）D．（﹣3，﹣1）
【例3-3】已知直線l：x+y+3＝0，直線m：2x﹣y+6＝0，則m關于l對稱的直線方程為（ ）
A．x+6y+3＝0B．x﹣6y+3＝0C．2x+y+6＝0D．x﹣2y+3＝0
【跟蹤訓練3-1】與直線l：2x﹣3y+1＝0關于y軸對稱的直線的方程為（ ）
A．2x+3y+1＝0B．2x+3y﹣1＝0C．3x﹣2y+1＝0D．3x+2y+1＝0
【跟蹤訓練3-2】點（﹣2，0）關于直線x﹣y+1＝0對稱的點的坐標為（ ）
A．（2，0）B．（0，2）C．（1，1）D．（﹣1，﹣1）
【跟蹤訓練3-3】與直線3x﹣4y+5＝0關于坐標原點對稱的直線方程為（ ）
A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0
【名師指導】
1.點關于點對稱的求解方法
若點M(x1，y1)和點N(x，y)關于點P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進而求解．
2.點關于直線對稱的解題方法
若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點P1關于直線l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
3．線關于點對稱的求解方法
(1)在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；
(2)求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
4．線關于點對稱的實質(zhì)
“線關于點的對稱”其實質(zhì)就是“點關于點的對稱”，只要在直線上取兩個點，求出其對稱點的坐標即可，可統(tǒng)稱為“中心對稱”．直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1與l2垂直的充要條件
A1A2＋B1B2＝0
l1與l2平行的充分條件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1與l2相交的充分條件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1與l2重合的充分條件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)

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