知識梳理
1．焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長lmin＝eq \f(2b2,a).
2．AB為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則
(1)弦長l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
(2)直線AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
題型歸納
題型1 直線與橢圓的位置關(guān)系
【例1-1】直線y＝kx+k與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+＝1總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【分析】求出直線恒過的定點(diǎn)，利用直線y＝kx+k與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+＝1總有兩個(gè)公共點(diǎn)，列出不等式組求解即可．
【解答】解：直線y＝kx+k恒過（﹣1，0），直線y＝kx+k與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+＝1總有兩個(gè)公共點(diǎn)，
可得：解得m∈（1，4）．
故答案為：（1，4）．
【例1-2】已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)m取何值時(shí)，直線y＝x+m與橢圓C：有兩個(gè)公共點(diǎn)；只有一個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？
【分析】（1）設(shè)出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用交點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，），列出方程組，即可解出a，b的值，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立橢圓方程與直線y＝x+m，利用△的值即可求出直線y＝x+m與橢圓C：有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn)時(shí)m的值．
【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1，（a＞b＞0），
由題意可得：，解得，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＝1；
（2）聯(lián)立，消去y得：7x2+8mx+4m2﹣12＝0，
則△＝64m2﹣4×7×（4m2﹣12）＝336﹣48m2，
①當(dāng)△＞0，即﹣時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴直線y＝x+m與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，
②當(dāng)△＝0，即m＝時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴直線y＝x+m與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，
③當(dāng)△＜0，即m或m時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，∴直線y＝x+m與橢圓C沒有公共點(diǎn)．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知直線l：y＝2x+m，橢圓C：+＝1，試問：當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C，
（1）有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；
（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）沒有公共點(diǎn)？
【分析】直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)即可．
【解答】解：由，消去y化為：9x2+8mx+2m2﹣4＝0，
計(jì)算△＝64m2﹣36（2m2﹣4）＝﹣12m2+144，
令△＝0，得m2＝12，
解得m＝±2；
（1）當(dāng)﹣2＜m＜2時(shí)，△＞0，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，直線與橢圓有2個(gè)不重合的公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)m＝﹣2或m＝2時(shí)，△＝0，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，直線與橢圓只有1個(gè)公共點(diǎn)；
（3）當(dāng)m＜﹣2或m＞2時(shí)，△＜0，方程有無實(shí)根，直線與橢圓沒有公共點(diǎn)．
【名師指導(dǎo)】
判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法
(1)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)．
(2)對于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn)．
題型2 弦長問題
【例2-1】已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（）和F2（），長軸長為6，設(shè)直線y＝x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．求：
（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長．
【分析】（1）由橢圓C的焦點(diǎn)為F1（）和 F2（），長軸長為6，能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB線段的中點(diǎn)為M（x0，y0），由，得10x2+36x+27＝0，故，，由此能求出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長．
【解答】解：（1）∵橢圓C的焦點(diǎn)為F1（）和 F2（），長軸長為6，
∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c＝2，a＝3，∴b＝1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
AB線段的中點(diǎn)為M（x0，y0）
由，消去y，得10x2+36x+27＝0，
∴，，
∴，∵，
∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
＝
＝．
【例2-2】已知橢圓C：的離心率為，短軸長為4．
（1）求橢圓方程；
（2）過P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a，b，c即可；
（2）設(shè)以點(diǎn)P（2，1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法求出k，然后求出直線方程，聯(lián)立解方程組，求出A，B，再求出|AB|．
【解答】解：（1）由橢圓C：的離心率為＝，2b＝4得b＝2，
設(shè)a＝2k，，b＝k＝2，所以a＝4，
所以橢圓方程為．
（2）設(shè)以點(diǎn)p（2，1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2＝4，則y1+y2＝2，
分別代入橢圓的方程得，，，兩式相減可得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
∴4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）＝0，所以k＝＝﹣，
∴點(diǎn)P（2，1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為x+2y﹣4＝0，
由，得y（y﹣2）＝0，所以y＝0，x＝4；y＝2，x＝0，
所以|AB|＝．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】橢圓＝1，過原點(diǎn)O斜率為的直線與橢圓交于C，D，若|CD|＝4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），則D（﹣m，﹣n），由弦長公式可知|CD|＝＝4，由兩點(diǎn)間距離公式可知|CD|＝＝4，從而解得|m|＝1，|n|＝，代入橢圓方程求出b2的值即可得解．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），則D（﹣m，﹣n），
由弦長公式可知，|CD|＝＝＝4，∴|m|＝1，
由兩點(diǎn)間距離公式可知，|CD|＝＝4．
∴|n|＝，
代入橢圓方程有，，∴．
∴橢圓的方程為．
故選：D．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知橢圓＝1的離心率為，以橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)與1個(gè)短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，斜率為k的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長度為，求直線l的方程．
【分析】（1）由題意可得：＝，?2cb＝2，a2＝b2+c2．聯(lián)立解得：a2，b2，c．可得橢圓的方程．
（2）設(shè)直線l方程為：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)為：M（x0，y0）．與橢圓方程聯(lián)立化為（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，|AB|＝|x1﹣x2|＝．可得x0＝，點(diǎn)M到直線x＝1的距離為d＝|x0﹣1|＝．以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長度為，得﹣d2＝，代入解出即可得出．
【解答】解：（1）由題意可得：＝，?2cb＝2，a2＝b2+c2．
聯(lián)立解得：a2＝6，b2＝2，c＝2．
∴橢圓的方程為：+＝1．
（2）設(shè)直線l方程為：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)為：M（x0，y0）．
聯(lián)立，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
|AB|＝|x1﹣x2|＝＝．
∴x0＝，點(diǎn)M到直線x＝1的距離為d＝|x0﹣1|＝|﹣1|＝．
以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長度為，得﹣d2＝，∴﹣＝，
解得k＝±1．
∴直線l的方程為：y＝±（x﹣2）．
【名師指導(dǎo)】
1．弦長的求解方法
(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長公式的常見形式有如下幾種：
①|(zhì)AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|；
②|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)；
③|AB|＝ eq \r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])；
④|AB|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[?y1＋y2?2－4y1y2]).
2．弦長公式的運(yùn)用技巧
弦長公式的運(yùn)用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計(jì)算量的大小．我們的經(jīng)驗(yàn)是：若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程y＝kx＋b便于運(yùn)算，即“定點(diǎn)落在縱軸上，斜截式幫大忙”；若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在橫軸上，一般設(shè)為my＝x－a可以減小運(yùn)算量，即“直線定點(diǎn)落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”．
題型3 中點(diǎn)弦問題
【例3-1】已知：橢圓+＝1，求：
（1）以P（2，﹣1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；
（2）斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程．
【分析】（1）設(shè)弦的端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），可得：+＝1，+＝1，相減化簡再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．
（2）設(shè)直線方程為：y＝2x+m，弦的端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），中點(diǎn)M（x，y）．與橢圓方程聯(lián)立化為：17x2+16mx+4m2﹣16＝0，由△＞0，化為：m2＜68．再利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
【解答】解：（1）設(shè)弦的端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），可得：+＝1，+＝1，
相減可得：+＝0，
把＝2，＝﹣1，k＝代入可得：k＝．
∴以P（2，﹣1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為：y+1＝（x﹣2），化為：x﹣2y﹣4＝0．
（2）設(shè)直線方程為：y＝2x+m，弦的端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），中點(diǎn)M（x，y）．
聯(lián)立，化為：17x2+16mx+4m2﹣16＝0，
△＝256m2﹣68（4m2﹣16）＞0，化為：m2＜68．
∴x1+x2＝﹣＝2x，化為：x＝．
y＝2×+m＝．
∴y＝﹣x．
【例3-2】已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F恰為圓F：的圓心，直線l：y＝3x﹣2截C所得弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則C的短軸長為 10 ．
【分析】橢圓被直線l：y＝3x﹣2截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，可得中點(diǎn)M（ ，﹣）．設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（a＞b＞0）．設(shè)直線l與橢圓相交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．利用平方差法及其a2﹣b2＝50，聯(lián)立解得a2，b2．
【解答】解：橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F恰為圓F：的圓心，所以c＝5，
橢圓被直線l：y＝3x﹣2截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)：＝，所以中點(diǎn)M（ ，﹣）．
設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（a＞b＞0）．設(shè)直線l與橢圓相交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．
則，，相減可得：，
又y1+y2＝﹣1，x1+x2＝1，＝＝3，又a2﹣b2＝50，
聯(lián)立解得a2＝75，b2＝25．
∴則C的短軸長為：10．
故答案為：10．
【例3-3】設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，且點(diǎn)F1關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為M．若MF2⊥F1F2，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】畫出圖形，利用已知條件求出A的坐標(biāo)，然后求解MF1的中點(diǎn)，代入直線方程，即可求解橢圓的離心率．
【解答】解：F1、F2分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，
點(diǎn)F1關(guān)于直線AB：bx﹣ay＝ab的對稱點(diǎn)M，且MF2⊥F1F2，可得MF2的方程為x＝c，
MF1的方程y＝﹣，可得M（c，﹣），
MF1的中點(diǎn)為（0，﹣），代入直線bx+ay＝ab，可得：ac＝b2＝a2﹣c2，e＝＞1，
可得e2+e﹣1＝0，
解得e＝．
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知斜率為k1（k1≠0）的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為C，直線OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k2，則k1?k2＝（ ）
A．B．﹣4C．D．﹣2
【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），因?yàn)锳B中點(diǎn)為C，推出x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0①，再把x12+＝1，x22+＝1，兩式相減得（x1+x2）（x1﹣x2）+＝0，把①代入得1+k1k2＝0，推出k1k2＝﹣4．
【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），
則x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，①
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在橢圓x2+＝1上，
所以x12+＝1，x22+＝1，
兩式相減得（x1+x2）（x1﹣x2）+＝0，
把①代入得，1+＝1+k1k2＝0，
故k1k2＝﹣4．
故選：B．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)在橢圓上，
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）斜率為k的直線l過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直，直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，由橢圓可得，解出即可得出．
（Ⅱ）解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），直線AB的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），代入橢圓方程可得（3k2+2）x2﹣6k2x+3（k2﹣2）＝0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N的坐標(biāo)，可得AB的垂直平分線NG的方程為，進(jìn)而得出．
解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入橢圓方程相減可得：，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式可得斜率k＝﹣，又，可得，又（x0，y0）在橢圓內(nèi)，即，可得0＜x0＜1，利用AB的垂直平分線為，即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，
則
由（2）得6a2+3b2＝4a2b2（3）
由（1）得b2＝a2﹣1代入（3）得6a2+3（a2﹣1）＝4a2（a2﹣1），
即4a4﹣13a2+3＝0，即（4a2﹣1）（a2﹣3）＝0a2＝3，或
∵a2＞1，∴a2＝3，得，
∴b2＝2，，
∴橢圓方程為．
（Ⅱ）解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），
直線AB的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），
代入，整理得（3k2+2）x2﹣6k2x+3（k2﹣2）＝0，
∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
則，，
∴，，
∴AB的垂直平分線NG的方程為，
y＝0時(shí)，，
∵k≠0，∴3（3k2+2）＞6，，，
∴．
解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），
由，（1）﹣（2）得，
斜率，
又，∴，
∴，得0＜x0＜1，
∵（x0，y0）在橢圓內(nèi)，即，
將代入得，
解得x0＜3
∴0＜x0＜1，
則AB的垂直平分線為，y＝0時(shí)，．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，A、B兩點(diǎn)是橢圓E上關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，若△ABF能構(gòu)成一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形，則橢圓E的離心率e＝（ ）
A．B．C．﹣1D．2﹣
【分析】取右焦點(diǎn)F'，連接BF'，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．
【解答】解：如圖，設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為F'，連接BF'，
則四邊形FABF'為等腰梯形，其中，
∴，，，
∴在焦點(diǎn)三角形△FF′B中，，
即橢圓E的離心率為．
故選：C．
【名師指導(dǎo)】
1.處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法
(1)點(diǎn)差法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式可求得斜率．
(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解．
2.求解橢圓上對稱問題的常用方法
（1）將對稱兩點(diǎn)所在的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由Δ＞0建立不等關(guān)系，再由對稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在所給直線上，建立相等關(guān)系，由相等關(guān)系消參，由不等關(guān)系確定范圍．
（2）用參數(shù)表示中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式得參數(shù)范圍．
題型4 橢圓與向量的綜合問題
【例4-1】設(shè)點(diǎn)M和N分別是橢圓C：＝1（a＞0）上不同的兩點(diǎn)，線段MN最長為4．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線MN過點(diǎn)Q（0，2），且＞0，線段MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的斜率的取值范圍．
【分析】（1）當(dāng)線段MN為長軸時(shí)，其長度最長，所以4＝2a，a＝2，于是可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝kx+2，將其與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由△＞0解得，寫出韋達(dá)定理，并求得y1y2＝，因?yàn)?，所以x1x2+y1y2＞0，又解得k2＜4，故①．然后設(shè)直線OP的斜率為k'，利用點(diǎn)差法可得②，由①②即可求出直線OP斜率的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)榫€段MN最長為4，所以4＝2a，即a＝2，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意知，直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝kx+2，
聯(lián)立，整理得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，
由△＝（16k）2﹣4×（1+4k2）×12＝16（4k2﹣3）＞0，可得．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，，
所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝．
因?yàn)?，所以，即k2＜4，故．
設(shè)直線OP的斜率為k'，
因?yàn)?，兩式相減得，所以，則，
故直線OP的斜率的取值范圍是．
【例4-2】已知P（2，0）為橢圓C：＝1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C的長軸上，過點(diǎn)M且不與x軸重合的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，直線PA，PB的斜率之積為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若＝2，求△OAB面積的最大值．
【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），可得kPA?kPB＝＝﹣．又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，a＝2，解得b，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立化為：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，有＝2，可得y1＝﹣2y2，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：m2＝．△OAB的面積S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，即可得出．
【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），則kPA?kPB＝＝﹣．
又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，
又a＝2，解得b＝1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+y2＝1．
（2）設(shè)直線AB的方程為：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．
A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立，化為：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，
∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，
∵＝2，∴y1＝﹣2y2，
∴+＝﹣，代入可得：m2＝．
∴△OAB的面積S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，
∴S2＝m2?＝××＝9×．
∴S＝＝≤1，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝時(shí)取等號．
∴△OAB面積的最大值為1．
【跟蹤訓(xùn)練4-1】已知O為橢圓C的中心，F(xiàn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C外，＝3，經(jīng)過M的直線l與C的一個(gè)交點(diǎn)為N，△MNF是有一個(gè)內(nèi)角為120°的等腰三角形，則C的離心率為（ ）
A．B．C．﹣1D．
【分析】不妨設(shè)F（c，0），計(jì)算M的坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形得到N點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程化簡即可求出離心率．
【解答】解：不妨設(shè)F（c，0），，則M（﹣3c，0），
易知△MNF中只能∠MNF＝120°，
△MNF是有一個(gè)內(nèi)角為120°的等腰三角形，則N（﹣c，c），
將N代入橢圓方程得到，即，
解得或e2＝3（舍去），
故e＝，
故選：B．
【跟蹤訓(xùn)練4-2】在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的離心率，直線與圓x2+（y﹣2）2＝4交x軸上方于A，B兩點(diǎn)，有下列三個(gè)結(jié)論：
①；
②存在最大值；
③．
正確結(jié)論有 ．（填序號）
【分析】由已知題意離心率求得的范圍，得到∠AOB的范圍，畫出圖形，由向量的加法法則及數(shù)量積運(yùn)算逐一核對三個(gè)命題得答案．
【解答】解：由e＝＞，
得＞，可得＞3，即＞，則∠AOB＜60°．
對于①，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合∠AOB＜60°，
可得＜成立，故①正確；
對于②，，由于∠AOB＜60°，∴沒有最大值，
故②錯(cuò)誤；
對于③，當(dāng)∠AOB＝60°時(shí)，|OA|＝|OB|＝，
∴＝36．
∵∠AOB＜60°，∴＞36，則，故③正確．
故答案為：①③．
【名師指導(dǎo)】
解決橢圓中與向量有關(guān)問題的方法
(1)將向量條件用坐標(biāo)表示，再利用函數(shù)、方程知識建立數(shù)量關(guān)系．
(2)利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相關(guān)的等量關(guān)系．
(3)利用向量運(yùn)算的幾何意義轉(zhuǎn)化成圖形中位置關(guān)系解題．

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