知識(shí)梳理
1．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a＞|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn).
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
3．橢圓的幾何性質(zhì)
題型歸納
題型1 橢圓的定義及其應(yīng)用
【例1-1】已知F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0）動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|＝10，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 ．
【分析】依據(jù)動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件及橢圓的定義可得：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是：以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，即可得出結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)橢圓的定義知，到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為10＞|F1F2|＝6，
動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是：以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝5，c＝3，b＝4，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是＝1．
故答案為＝1．
【例1-2】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：+＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為 ．
【分析】設(shè)M（m，n），m，n＞0，求得橢圓的a，b，c，e，由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2為等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，運(yùn)用橢圓的焦半徑公式，可得所求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：設(shè)M（m，n），m，n＞0，橢圓C：+＝1的a＝6，b＝2，c＝4，
e＝＝，
由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2為等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6+m＝8，即m＝3，n＝；
6﹣m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，）．
故答案為：（3，）．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知△ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)B （0，﹣4），C （0，4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（ ）
A．（x≠0）B．（x≠0）
C．（x≠0）D．（x≠0）
【分析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和定點(diǎn)，得到點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點(diǎn)．
【解答】解：∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8
∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，
∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4
∴b2＝20，
∴橢圓的方程是
故選：B．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知橢圓+＝1上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 ．
【分析】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，根據(jù)橢圓的定義，利用橢圓上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，即可得到P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離．
【解答】解：橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10
根據(jù)橢圓的定義，∵橢圓上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3
∴P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10﹣3＝7
故答案為：7
【名師指導(dǎo)】
橢圓定義的應(yīng)用技巧
橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過(guò)整體代入可求其面積等．
題型2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2-1】如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【分析】設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），由題可知，c＝，根據(jù)|OP|＝|OF|且|PF|＝4可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入橢圓方程，并結(jié)合a2＝b2+c2解出a2和b2的值即可．
【解答】解：由題可知，c＝，
過(guò)點(diǎn)P作PM垂直x軸于M，設(shè)|OM|＝t，則|FM|＝﹣t，
由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即，解得，
∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，），
設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），則，化簡(jiǎn)得，
又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
【例2-2】過(guò)點(diǎn)（，﹣），且與橢圓+＝1有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ．
【分析】求出橢圓+＝1的焦點(diǎn)，即c＝4，可設(shè)所求橢圓方程，由a，b，c的關(guān)系，和點(diǎn)在橢圓上得到a，b的方程組，解出a，b，進(jìn)而得到所求橢圓方程．
【解答】解：橢圓+＝1的焦點(diǎn)為（0，±4），
則所求橢圓的c＝4，
可設(shè)橢圓方程為＝1（a＞b＞0），
則有a2﹣b2＝16，①
再代入點(diǎn)（，﹣），得，
＝1，②
由①②解得，a2＝20，b2＝4．
則所求橢圓方程為＝1．
故答案為：＝1．
【例2-3】橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
【分析】根據(jù)題意，按橢圓的焦點(diǎn)位置分2種情況討論，求出對(duì)應(yīng)的橢圓方程，綜合即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，要求橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，分2種情況討論：
①，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則a＝3，b＝，
此時(shí)橢圓的方程為+＝1，
②，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，則a＝6，
此時(shí)橢圓的方程為+＝1；
故橢圓的方程為+＝1或+＝1；
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，則橢圓C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得a，再由隱含條件求得b，則橢圓的方程可求．
【解答】解：∵|BF1|＝5|BF2|，且|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，|BF1|＝，
∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AF2|＝a，
∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，則A在y軸上．
在Rt△AF2O中，cs∠AF2O＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF2F1＝＝，
根據(jù)cs∠AF2O+cs∠BF2F1＝0，可得，
解得a2＝2，∴b2＝a2﹣c2＝1．
∴橢圓C的方程為：．
故選：A．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】若直線x﹣2y+2＝0經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．+y2＝1B．+＝1
C．+y2＝1或+＝1D．以上答案都不對(duì)
【分析】利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求解，題中沒(méi)有明確焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上，所以分情況討論．
【解答】解：設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣c，0），（c，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），（0，﹣b）；
橢圓的a，b，c關(guān)系：；a2﹣b2＝c2
∵直線x﹣2y+2＝0恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）
∴直線x﹣2y+2＝0必經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)（﹣c，0），和頂點(diǎn)（0，b）
帶入直線方程：
解得：c＝2，b＝1，a＝
∴焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)設(shè)焦點(diǎn)在y軸，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣c），（0，c），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣b，0），（b，0）；
橢圓的a，b，c關(guān)系：a2﹣b2＝c2
∵直線x﹣2y+2＝0恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）
∴直線x﹣2y+2＝0必經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)（0，c），和頂點(diǎn)（﹣b，0）
帶入直線方程
解得：c＝1，b＝2，a＝
∴焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練2-3】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（0，2）、B（，）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【分析】本題先設(shè)橢圓的方程為+＝1，然后將兩點(diǎn)A（0，2）、B（，）代入橢圓的方程，解關(guān)于m、n的二元一次方程組，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答】解：由題意，設(shè)橢圓的方程為+＝1，則
，解得．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+＝1．
故答案為：x2+＝1．
【名師指導(dǎo)】
根據(jù)條件求橢圓方程的2種方法
題型3 橢圓的幾何性質(zhì)
【例3-1】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，，線段MF2的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差數(shù)列，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)|MF2|＝m，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和橢圓的定義可得|MN|＝a，再根據(jù)向量的垂直可得a＝m，即可求出離心率．
【解答】解：設(shè)|MF2|＝m，
∵|MF1|，|MN|，|NF1|成等差數(shù)列，
∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|，
∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝2a﹣|MF1|+2a﹣|NF1|＝4a﹣2|MN|，
∴|MN|＝a，
∴|NF2|＝a﹣m，
∴|NF1|＝2a﹣（a﹣m）＝a+m，
∵，
∴MF1⊥MF2，
∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，
∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2，
整理可得m＝a，
∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，
∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，
∴4c2＝2a2，
∴e＝＝，
故選：A．
【例3-2】已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），若存在以為半徑的圓內(nèi)切于△PF1F2，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用已知條件列出三角形的面積，推出不等式，然后推出橢圓的離心率的范圍．
【解答】解：F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），
若存在以為半徑的圓內(nèi)切于△PF1F2，可得：，
∴，∴，∴（a+c）2≤2b2，則0≤a2﹣2ac﹣3c2，
∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴．
故選：D．
【例3-3】已知F1，F(xiàn)2橢圓的左右焦點(diǎn)，|F1F2|＝4，點(diǎn)在橢圓C上，P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．4B．C．5D．
【分析】由題意求出橢圓的方程，可得左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)，求出數(shù)量積的表達(dá)式，再由P的縱坐標(biāo)的范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)可得所求的結(jié)果．
【解答】解：由題意可得：c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝4，
所以橢圓的方程為：＝1，
可得F1（﹣2，0），設(shè)P（x，y）則：＝1，所以可得：x2＝8﹣2y2，
則＝（2﹣x，﹣y）（﹣2﹣x，﹣y）＝x2﹣4+y2﹣＝﹣y2﹣+4＝﹣（y）+，當(dāng)且僅當(dāng)y＝∈[﹣2，2]，時(shí)，
則的最大值為：，
故選：B．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知O為橢圓C的中心，F(xiàn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C外，＝3，經(jīng)過(guò)M的直線l與C的一個(gè)交點(diǎn)為N，△MNF是有一個(gè)內(nèi)角為120°的等腰三角形，則C的離心率為（ ）
A．B．C．﹣1D．
【分析】不妨設(shè)F（c，0），計(jì)算M的坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形得到N點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)即可求出離心率．
【解答】解：不妨設(shè)F（c，0），，則M（﹣3c，0），
易知△MNF中只能∠MNF＝120°，
△MNF是有一個(gè)內(nèi)角為120°的等腰三角形，則N（﹣c，c），
將N代入橢圓方程得到，即，
解得或e2＝3（舍去），
故e＝，
故選：B．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】設(shè)橢圓C：＝1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若在x軸上方的C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N滿足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，則橢圓C離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【分析】當(dāng)點(diǎn)M在上頂點(diǎn)A時(shí)，∠F1MF2最大，要使在x軸上方的C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N滿足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即tan，即可求解．
【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M在上頂點(diǎn)A時(shí)，∠F1MF2最大，
要使在x軸上方的C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N滿足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，
只需∠F1AF2＞，即∠AF2F1＜
∴tan，
?3b2＜c2?3（a2﹣c2）＜c2，
?3a2＜4c2，e，
則橢圓C離心率的取值范圍是：（，1），
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，A（﹣2，1），B（2，1），則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB，垂足為H，設(shè)P（x，y），可得，由正切的和角公式可得，通過(guò)換元令t＝1﹣y∈[0，2]，結(jié)合基本不等式可得當(dāng)時(shí)cs∠APB最大，由此得解．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB，垂足為H，設(shè)P（x，y），則，
∴＝，
令t＝1﹣y∈[0，2]，當(dāng)t＝0時(shí)，tan∠APB＝0，∠APB＝π，cs∠APB＝﹣1；
當(dāng)t∈（0，2]時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)cs∠APB最大，且．
故選：A．
【名師指導(dǎo)】
一、求橢圓離心率的三種方法
1．直接求出a，c來(lái)求解e.通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值．
2．構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．
3．通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．
二、與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法
1．利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍．
2．利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．
3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．
4．利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范圍
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
對(duì)稱性
關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(a,0)，(－a,0)，
(0，b)，(0，－b)
(b,0)，(－b,0)，
(0，a)，(0，－a)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半軸長(zhǎng)
長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，a＞b
離心率
e＝eq \f(c,a)
a，b，c的關(guān)系
a2＝b2＋c2
定義法
根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓方程
待定系數(shù)法
待定系數(shù)法是根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個(gè)系數(shù)a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系數(shù)法求出m，n的值即可

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(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第48講《橢圓及其性質(zhì)》達(dá)標(biāo)檢測(cè)(解析版)

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(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第48講《橢圓及其性質(zhì)》（講）（解析版）

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第48講《橢圓及其性質(zhì)》（講）（解析版）
第48講 橢圓及其性質(zhì)（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）

第48講 橢圓及其性質(zhì)（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）
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