知識(shí)梳理
1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)
2．圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)
[常用結(jié)論]
1．圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓系方程
(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是參數(shù)；
(2)過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意，以防漏解)．
題型歸納
題型1 直線與圓的位置關(guān)系的判斷
【例1-1】直線kx﹣y+1＝0與圓x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【例1-2】若無(wú)論實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，直線ax+y+a+1＝0與圓x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0都相交，則實(shí)數(shù)b的取值范圍．（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣6）D．（﹣6，+∞）
【例1-3】已知圓O：x2+y2＝1上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線l：y＝kx+1的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A．[0，）∪（，）B．[0，）∪（，π）
C．（，）∪（，）D．（，）∪（，π）
【跟蹤訓(xùn)練1-1】方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0（a∈R）所表示的直線與圓（x+1）2+y2＝25的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不能確定
【跟蹤訓(xùn)練1-2】若直線l：y+1＝k（x+）與圓C：x2+y2＝1有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的最大值為（ ）
A．B．1C．D．
【跟蹤訓(xùn)練1-3】若直線y＝kx+1與圓（x﹣2）2+y2＝4相交，且兩個(gè)交點(diǎn)位于坐標(biāo)平面的同一象限，則k的取值范圍是（ ）
A．（0，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）
【名師指導(dǎo)】
判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法
題型2 圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題
【例2-1】直線y＝x+1被圓x2+y2＝4截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．
【例2-2】設(shè)直線y＝x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為（ ）
A．4πB．6πC．8πD．π
【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知圓x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直線x+y﹣2＝0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．﹣5D．﹣4
【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【名師指導(dǎo)】
有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的2種求法
題型3 圓的切線問(wèn)題
【例3-1】已知點(diǎn)P（1，﹣2），點(diǎn)M（3，1），圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．
①求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程；
②求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】過(guò)點(diǎn)P（2，﹣1）的直線與圓C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，則切線長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】過(guò)原點(diǎn)O作圓C：x2+y2+4x+4y+5＝0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（ ）
A．2x+2y﹣5＝0B．4x+4y﹣5＝0C．2x+2y+5＝0D．4x+4y+5＝0
【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知圓C經(jīng)過(guò)M（3，0），N（2，1）兩點(diǎn)，且圓心在直線l：2x+y﹣4＝0上．
（1）求圓C的方程；
（2）從y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P向圓C作切線，求切線長(zhǎng)的最小值及對(duì)應(yīng)切線方程．
【名師指導(dǎo)】
1．求過(guò)圓上的一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的方法
先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq \f(1,k)，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程．
2．求過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的2種方法
題型4 圓與圓的位置關(guān)系
【例4-1】若圓C1：x2+y2＝4與圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，則實(shí)數(shù)m＝（ ）
A．﹣24B．﹣16C．24D．16
【例4-2】已知圓的圓心到直線x﹣y﹣2＝0的距離為，則圓C1與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．內(nèi)切C．外切D．相離
【跟蹤訓(xùn)練4-1】已知圓C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0和圓C2：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系為（ ）
A．外切B．內(nèi)切C．相交D．相離
【跟蹤訓(xùn)練4-2】已知圓C1：x2+y2+2ax﹣9+a2＝0和圓C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0外切（其中a，b∈R），則a+b的最大值為（ ）
A．4B．4C．8D．4
【名師指導(dǎo)】
圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題的解題策略
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．相離
相切
相交
圖形
量化
方程觀點(diǎn)
Δeq \a\vs4\al(＜)0
Δeq \a\vs4\al(＝)0
Δeq \a\vs4\al(＞)0
幾何觀點(diǎn)
deq \a\vs4\al(＞)r
deq \a\vs4\al(＝)r
deq \a\vs4\al(＜)r
相離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
圖形
量的關(guān)系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
幾何法
圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點(diǎn)是計(jì)算量較小
代數(shù)法
將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對(duì)應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
幾何法
直線被圓截得的半弦長(zhǎng)eq \f(l,2)，弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，即r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＋d2
代數(shù)法
聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長(zhǎng)|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)
幾何法
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程
代數(shù)法
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出

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