知識梳理
1．拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(點F不在直線l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.
2．拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)
題型歸納
題型1拋物線的定義及應用
【例1-1】(1)若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標原點，則△OFP的面積為( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
(2)設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．
【解析】 (1)設P(xP，yP)，由題可得拋物線焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.
又點P到焦點F的距離為2，
∴由定義知點P到準線的距離為2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1.
代入拋物線方程得|yP|＝2，
∴△OFP的面積為S＝eq \f(1,2)·|OF|·|yP|＝eq \f(1,2)×1×2＝1.
(2)如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.
【答案】 (1)B (2)4
【跟蹤訓練1-1】若點A的坐標為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點，點M在拋物線上移動時，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標為________．
【解析】過點M作準線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當A，M，N三點共線時，|MF|＋|MA|取得最小值，此時M(2,2)．
【答案】(2,2)
【跟蹤訓練1-2】已知拋物線y＝eq \f(1,2)x2的焦點為F，準線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點，若|MN|＝eq \r(2)|NF|，則|MF|＝________.
【解析】如圖，過N作準線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝eq \r(2)|NH|，則∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq \r(2)|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝eq \r(2).
【答案】eq \r(2)
【名師指導】
與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關．“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決與過拋物線焦點的弦有關問題的重要途徑．
題型2拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)
【例2-1】(1)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一個焦點，則p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
(2)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為( )
A．y2＝9xB．y2＝6x
C．y2＝3xD．y2＝eq \r(3)x
【解析】 (1)∵拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，∴由已知得橢圓eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一個焦點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
∴3p－p＝eq \f(p2,4)，又p>0，∴p＝8.
(2)如圖，分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，設|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，由拋物線定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因為|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，從而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝eq \f(1,2)|FC|＝3，因此拋物線方程為y2＝6x.
【答案】 (1)D (2)B
【跟蹤訓練2-1】若拋物線x2＝ay的焦點到準線的距離為1，則a＝( )
A．2 B．4
C．±2 D．±4
【解析】選C ∵x2＝ay＝2·eq \f(a,2)·y，p＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))＝1，∴a＝±2，故選C.
【跟蹤訓練2-2】已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．
【解析】△FPM為等邊三角形，則|PM|＝|PF|，由拋物線的定義得PM垂直于拋物線的準線，設Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2p)))，則點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(p,2))).因為焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，△FPM是等邊三角形，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\a\vs4\al( \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2))＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝12，,p＝2，))因此拋物線方程為x2＝4y.
【答案】x2＝4y
【名師指導】
1．求拋物線標準方程的方法
(1)定義法：若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一設為y2＝ax(a≠0)，a的正負由題設來定；焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論．
2．拋物線性質(zhì)的應用技巧
(1)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程．
(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算．
題型3直線與拋物線的位置關系
【例3-1】已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為eq \f(3,2)的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，求|AB|.
[解] 設直線l：y＝eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由題設得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2)，又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
則x1＋x2＝－eq \f(12?t－1?,9).
從而－eq \f(12?t－1?,9)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8).
所以l的方程為y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
(2)由eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))可得y1＝－3y2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3).故|AB|＝eq \f(4\r(13),3).
【跟蹤訓練3-1】已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________.
【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))∴yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，
∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2).
設AB中點為M′(x0，y0)，拋物線的焦點為F，分別過點A，B作準線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′，
則|MM′|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．
∵M′(x0，y0)為AB中點，
∴M為A′B′的中點，∴MM′平行于x軸，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
【答案】2
【跟蹤訓練3-2】設A，B為曲線C：y＝eq \f(x2,2)上兩點，A與B的橫坐標之和為2.
(1)求直線AB的斜率；
(2)設M為曲線C上一點，曲線C在點M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．
【解】(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1≠x2，y1＝eq \f(x\\al(2,1),2)，y2＝eq \f(x\\al(2,2),2)，x1＋x2＝2，
故直線AB的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,2)＝1.
(2)由y＝eq \f(x2,2)，得y′＝x.
設M(x3，y3)，由題設知x3＝1，于是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2))).
設直線AB的方程為y＝x＋m，
故線段AB的中點為N(1,1＋m)，|MN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋\f(1,2))).
將y＝x＋m代入y＝eq \f(x2,2)，
得x2－2x－2m＝0.
由Δ＝4＋8m>0，得m>－eq \f(1,2)，x1,2＝1±eq \r(1＋2m).
從而|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝2eq \r(2?1＋2m?).
由題設知|AB|＝2|MN|，
即eq \r(2?1＋2m?)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋\f(1,2)))，
解得m＝eq \f(7,2).
所以直線AB的方程為y＝x＋eq \f(7,2).
【名師指導】
1．直線與拋物線交點問題的解題思路
(1)求交點問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組．
(2)與交點相關的問題通常借助根與系數(shù)的關系或用向量法解決．
2．解決拋物線的弦及弦中點問題的常用方法
(1)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用焦點弦公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法．標準
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
方程
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
焦點到頂點以及頂點到準線的距離均為eq \a\vs4\al(\f(p,2).)
圖形
頂點
O(0,0)
對稱軸
x軸
y軸
焦點
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y(tǒng)0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)

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