知識(shí)梳理
1．雙曲線的定義
平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(2a＜|F1F2|)的點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
3．雙曲線的幾何性質(zhì)
題型歸納
題型1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1-1】已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(3,4)x，且其右焦點(diǎn)為(5,0)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
【例1-2】與橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2,1)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B.eq \f(x2,2)－y2＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
【例1-3】經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，且與雙曲線eq \f(y2,4)－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】過(guò)雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
【名師指導(dǎo)】
求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的2種方法
(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值．
題型2雙曲線的定義及其應(yīng)用
【例2-1】(1)設(shè)雙曲線C：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,m)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，則|MN|＝( )
A．8 B．4
C．8 eq \r(2)D．4 eq \r(2)
(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交雙曲線C的左支于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，則△BF1F2的面積為________．
(3)已知F是雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC內(nèi)切圓的圓心在直線x＝2上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(x＞2) B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,21)＝1(y＞2)
C.eq \f(x2,21)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1
【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cs∠F1PF2＝________.
【名師指導(dǎo)】
雙曲線定義的應(yīng)用策略
(1)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離的差判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線．
(2)利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，如最值問(wèn)題、距離問(wèn)題．
(3)利用雙曲線的定義解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：①距離之差的絕對(duì)值；②2a0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，則C的離心率為________．
【例3-2】已知雙曲線C：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的離心率與橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
【例3-3】設(shè)F為雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)E的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與E的漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OAFB為菱形，圓x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)與E在第一象限的交點(diǎn)是P，且|PF|＝eq \r(7)－1，則雙曲線E的方程是( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過(guò)F且交C的左支于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(3)xB．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±2xD．y＝±eq \f(1,2)x
【跟蹤訓(xùn)練3-2】已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)．若eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))

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