知識(shí)梳理
1．直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義：
直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.
(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：
2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
題型歸納
題型1 線面垂直的判定與性質(zhì)
【例1-1】如圖，正方體中，
（1）求證：；
（2）求證：平面．
【例1-2】如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：
（1）當(dāng)時(shí)，；
（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】如圖，正方形所在平面與三角形所在平面相交于，平面．
（1）求證：平面．
（2）當(dāng)，且該多面體的體積為時(shí)，求該多面體的表面積．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】如圖四棱錐，平面，四邊形是矩形，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，過、、三點(diǎn)的平面交側(cè)棱于點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)；
（2）若，求證：．
【名師指導(dǎo)】
證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應(yīng)用，其思維流程為：
題型2 面面垂直的判定與性質(zhì)
【例2-1】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐的體積．
【例2-2】在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．
（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；
（2）求圖2中的四邊形的面積．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】在矩形中，，是的中點(diǎn)，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐．
（1）若平面平面，求四棱錐的體積；
（2）若，求證：平面平面．
【名師指導(dǎo)】
1．面面垂直判定的2種方法與1個(gè)轉(zhuǎn)化
(1)2種方法：
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)1個(gè)轉(zhuǎn)化：
在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
2．面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．
(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．
題型3 垂直關(guān)系中的探索性問題
【例3-1】在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面，，．
（1）上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面；若存在，請(qǐng)證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）若的面積為，求四棱錐的體積．
【例3-2】如圖，是半圓的直徑，，為圓周上一點(diǎn)，平面，，，，．
（1）求證：平面平面；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，且使得平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】在正方體中，，分別為和的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．
（1）證明：平面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
【名師指導(dǎo)】
(1)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l?β,l⊥α))?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α

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