知識(shí)梳理
1．圓的定義與方程
2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r，設(shè)M的坐標(biāo)為(x0，y0)．
題型歸納
題型1 求圓的方程
【例1-1】已知圓C的圓心在直線(xiàn)x﹣2y﹣3＝0上，且過(guò)點(diǎn)A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【例1-2】已知圓C與直線(xiàn)y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圓心在直線(xiàn)y＝x上，則圓C的方程為（ ）
A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2
C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4
【例1-3】已知圓C與y軸相切，圓心在x軸的正半軸上，并且截直線(xiàn)x﹣y+1＝0所得的弦長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】在直線(xiàn)l：y＝x﹣1上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，且A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度|AB|＝8，則過(guò)A、B兩點(diǎn)且與y軸相切的圓的方程為（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣11）2+（y+4）2＝121
B．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣12）2+（y+5）2＝144
C．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣12）2+（y+5）2＝144
D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣11）2+（y+4）2＝121
【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知圓C與圓（x﹣1）2+y2＝1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為（ ）
A．x2+y2＝1B．x2+（y+1）2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1D．（x+1）2+y2＝1
【跟蹤訓(xùn)練1-3】已知圓心為點(diǎn)C（1，﹣1），并且在直線(xiàn)4x﹣3y﹣2＝0上截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程為（ ）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4
C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y+1）2＝4
【名師指導(dǎo)】
1．求圓的方程常見(jiàn)的三種類(lèi)型
(1)已知不共線(xiàn)的三點(diǎn)．
(2)已知兩點(diǎn)及圓心所在的直線(xiàn)．
(3)已知直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．
2．求圓的方程的兩種方法
3．確定圓心位置的方法
(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上．
(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線(xiàn)上．
(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線(xiàn)．
題型2 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
【例2-1】已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程x2+y2﹣4x+1＝0，求：
（1）的最大值和最小值；
（2）y﹣x的最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值；
（4）2x2+y2﹣4x﹣6的最大值．
【例2-2】已知P（x，y）是圓x2+（y﹣3）2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（2，0），B（﹣2，0），則的最大值為（ ）
A．12B．0C．﹣12D．4
【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知圓C：（x+2）2+y2＝1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)，
（1）求的最大、最小值；
（2）求x﹣2y的最大、最小值．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知P（x，y）是圓x2+（y﹣3）2＝a2（a＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（2，0），B（﹣2，0），△PAB的面積最大值為8，則a的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【名師指導(dǎo)】
借助幾何性質(zhì)求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．
1．形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題．
2．形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)截距的最值問(wèn)題．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題．
題型3 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
【例3-1】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩定點(diǎn)A （1，1），B （2，2）的距離之比為．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P作與直線(xiàn)l：2x+y﹣6＝0夾角為30°的直線(xiàn)，交l于點(diǎn)Q，求|PQ|的最大值和最小值．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（2，0），C（﹣2，0），設(shè)直線(xiàn)AB，AC的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝﹣，記點(diǎn)A的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）若直線(xiàn)l：y＝x+1與E交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|．
【名師指導(dǎo)】
求與圓有關(guān)軌跡問(wèn)題的3種方法
(1)直接法：當(dāng)題目條件中含有與該點(diǎn)有關(guān)的等式時(shí)，可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程．
(2)定義法：當(dāng)題目條件符合圓的定義時(shí)，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫(xiě)出圓的方程．
(3)代入法：當(dāng)題目條件中已知某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，而要求的點(diǎn)與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)時(shí)，常找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式求軌跡方程．
幾何法
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程
待定系數(shù)法
①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；
②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；
③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程

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