知識梳理
1．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a＞|F1F2|)的動點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn).
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
3．橢圓的幾何性質(zhì)
題型歸納
題型1 橢圓的定義及其應(yīng)用
【例1-1】已知F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0）動點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|＝10，則動點(diǎn)M的軌跡方程 ．
【例1-2】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：+＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為 ．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)B （0，﹣4），C （0，4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（ ）
A．（x≠0）B．（x≠0）
C．（x≠0）D．（x≠0）
【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知橢圓+＝1上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 ．
【名師指導(dǎo)】
橢圓定義的應(yīng)用技巧
橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過整體代入可求其面積等．
題型2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2-1】如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【例2-2】過點(diǎn)（，﹣），且與橢圓+＝1有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ．
【例2-3】橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，經(jīng)過點(diǎn)（3，0），且長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，則橢圓C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】若直線x﹣2y+2＝0經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．+y2＝1B．+＝1
C．+y2＝1或+＝1D．以上答案都不對
【跟蹤訓(xùn)練2-3】經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2）、B（，）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【名師指導(dǎo)】
根據(jù)條件求橢圓方程的2種方法
題型3 橢圓的幾何性質(zhì)
【例3-1】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，，線段MF2的延長線交橢圓C于點(diǎn)N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差數(shù)列，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），若存在以為半徑的圓內(nèi)切于△PF1F2，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】已知F1，F(xiàn)2橢圓的左右焦點(diǎn)，|F1F2|＝4，點(diǎn)在橢圓C上，P是橢圓C上的動點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．4B．C．5D．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知O為橢圓C的中心，F(xiàn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C外，＝3，經(jīng)過M的直線l與C的一個(gè)交點(diǎn)為N，△MNF是有一個(gè)內(nèi)角為120°的等腰三角形，則C的離心率為（ ）
A．B．C．﹣1D．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】設(shè)橢圓C：＝1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若在x軸上方的C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N滿足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，則橢圓C離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知P是橢圓上一動點(diǎn)，A（﹣2，1），B（2，1），則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【名師指導(dǎo)】
一、求橢圓離心率的三種方法
1．直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．
2．構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．
3．通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．
二、與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法
1．利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍．
2．利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．
3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．
4．利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范圍
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
對稱性
關(guān)于x軸，y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(a,0)，(－a,0)，
(0，b)，(0，－b)
(b,0)，(－b,0)，
(0，a)，(0，－a)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半軸長
長半軸長為a，短半軸長為b，a＞b
離心率
e＝eq \f(c,a)
a，b，c的關(guān)系
a2＝b2＋c2
定義法
根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓方程
待定系數(shù)法
待定系數(shù)法是根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個(gè)系數(shù)a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系數(shù)法求出m，n的值即可

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