知識(shí)梳理
1．公式法
(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?d,2).
推導(dǎo)方法：倒序相加法．
(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．
(3)一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：
①1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2)；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
2．幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．
(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
[常用結(jié)論]
常見的裂項(xiàng)技巧
①eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
②eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
③eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
⑤eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).
題型歸納
題型1 分組轉(zhuǎn)化求和
【例1-1】已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知數(shù)列、滿足：，為等比數(shù)列，且，，．
（1）試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知等差數(shù)列，等比數(shù)列滿足：，．
（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【名師指導(dǎo)】
1．分組轉(zhuǎn)化求和
數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．
2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
題型2 裂項(xiàng)相消法求和
【例2-1】已知等差數(shù)列滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知是一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)于函數(shù)，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為
A．B．C．D．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則
A．1B．C．D．
【名師指導(dǎo)】
1.基本步驟
2.裂項(xiàng)原則
一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.
3.消項(xiàng)規(guī)律
消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).
題型3 錯(cuò)位相減法求和
【例3-1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知數(shù)列滿足，，已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，；各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【名師指導(dǎo)】
錯(cuò)位相減法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和
(1)適用條件
若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn.
(2)基本步驟
(3)注意事項(xiàng)
①在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出Sn－qSn；

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