知識梳理
1．排列、組合的定義
2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)
題型歸納
題型1排列問題
【例1-1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．
(1)選5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；
(4)全體排成一排，女生必須站在一起；
(5)全體排成一排，男生互不相鄰．
【跟蹤訓練1-1】高三要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是( )
A．1 800 B．3 600
C．4 320 D．5 040
【跟蹤訓練1-2】用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有( )
A．250個 B．249個
C．48個 D．24個
【跟蹤訓練1-3】將7個人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有( )
A．1 108種 B．1 008種
C．960種 D．504種
【名師指導】
求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法
題型2組合問題
【例2-1】某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．
(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同取法有多少種？
(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同取法有多少種？
(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同取法有多少種？
(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同取法有多少種？
(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同取法有多少種？
【跟蹤訓練2-1】從{1,2,3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，使得其中至少有兩個相鄰，則不同的選法種數(shù)是( )
A．72 B．70
C．66 D．64
【跟蹤訓練2-2】從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字作答)
【跟蹤訓練2-3】在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務(wù)．已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace年紀尚小，所以要么不參與該項任務(wù)，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處．那么不同的搜尋方案有________種．
【名師指導】
組合問題的2類題型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
題型3排列與組合問題的綜合應(yīng)用
【例3-1】(1)在高三某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排第一個，那么出場的順序的排法種數(shù)為________．
(2)大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個孩子共8人，他們準備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個孩子恰有2個來自于同一個家庭的乘坐方式共有________種．
【例3-2】某學校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．
【例3-3】(1)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有________種不同的分派方法．
(2)有4名優(yōu)秀學生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所學校，每所學校至少去一名，則不同的保送方案共有________種．
(3)若將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．
【跟蹤訓練3-1】某學校獲得5個高校自主招生推薦名額，其中甲大學2個，乙大學2個，丙大學1個，并且甲大學和乙大學都要求必須有男生參加，學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有( )
A．36種 B．24種
C．22種 D．20種
【跟蹤訓練3-2】第十四屆全國運動會將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進行采訪報導．工作過程中的任務(wù)劃分為：“負重扛機”，“對象采訪”，“文稿編寫”，“編制剪輯”四項工作，每項工作至少一人參加，但2名女記者不參加“負重扛機”工作，則不同的安排方案數(shù)共有( )
A．150 B．126
C．90 D．54
【跟蹤訓練3-3】冬季供暖就要開始，現(xiàn)分配出5名水暖工去3個不同的居民小區(qū)檢查暖氣管道，每名水暖工只去一個小區(qū)，且每個小區(qū)都要有人去檢查，那么分配的方案共有______種．
【名師指導】
一、解排列、組合問題要遵循的兩個原則
(1)按元素(位置)的性質(zhì)進行分類；
(2)按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置)．
二、解定序排列問題的方法
定序問題，消序處理，即先不考慮順序限制，整體進行排列后，再除以定序元素的全排列．
對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進行排列，然后用總排列數(shù)Aeq \\al(n,n)除以m個順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq \\al(m,m)，即得到不同排法種eq \f(A\\al(n,n),A\\al(m,m))＝Aeq \\al(n－m,n).
三、分組、分配問題的求解策略
1．對不同元素的分配問題
(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù)．
(2)對于部分均分，解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．
(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
2．對于相同元素的“分配”問題，常用方法是采用“隔板法”．排列的定義
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合的定義
合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
排列數(shù)
組合數(shù)
定義
從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數(shù)
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,?n－m?！)
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)
性質(zhì)
Aeq \\al(n,n)＝n！，0?。?
Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計算
優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問題除法處理
對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
間接法
正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法

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