1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專題11 函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性綜合
專項(xiàng)突破一 奇偶性與周期性
1．已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，若對(duì)于時(shí)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則等于（ ）
A．1B．-1C．D．
【解析】∵為上的偶函數(shù)，∴，
又當(dāng)時(shí)，，∴，
當(dāng)時(shí)，，∴.故選：A.
2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．-2B．C．2D．6
【解析】因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，即，解得，
又因?yàn)椋裕?br>所以，
所以是以12為周期的周期函數(shù)，所以.故選：B.
3．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則（ ）
A．2B．1C．D．
【解析】奇函數(shù)滿足，
所以，以4為周期的奇函數(shù).
.故選：A
4．已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且，則（ ）
A．2B．C．4D．
【解析】，∴，所以函數(shù)的周期為，
則，∴，
，
，，故選：B.
5．若函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）.
A．18個(gè)B．16個(gè)C．14個(gè)D．10個(gè)
【解析】因，于是得函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，
則有函數(shù)與函數(shù)都是偶函數(shù)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖，
觀察圖象得，函數(shù)與函數(shù)的圖像有9個(gè)交點(diǎn)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知，兩函數(shù)圖象在時(shí)有9個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為18.故選：A
6．定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實(shí)數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實(shí)根之和是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
由是上的奇函數(shù)知，
在中，以代得：即，
所以，即，
所以是以4為周期的周期函數(shù)．考慮的一個(gè)周期，例如，，
由在，上是減函數(shù)知在，上是增函數(shù)，
在，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)．
對(duì)于奇函數(shù)有，（2），
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（2），
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（2），
方程在，上有實(shí)數(shù)根，則這實(shí)數(shù)根是唯一的，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)函數(shù)，
由于為奇函數(shù)，故在上有唯一實(shí)根，在上無實(shí)數(shù)根.
則由于，故方程在上有唯一實(shí)數(shù)．
在上，則方程在上沒有實(shí)數(shù)根．
從而方程在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
當(dāng)，，方程的兩實(shí)數(shù)根之和為，
當(dāng)，，方程的所有四個(gè)實(shí)數(shù)根之和為．
故選：C
7．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，.若直線與函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，
所以，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，所以函數(shù)的周期.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且是偶函數(shù)，
所以可畫出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象如圖所示.
顯然時(shí)，與在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，也恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).
由題意知，即.故，即.
綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：D.
8．已知定義在R上的函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且，將函數(shù)的圖像向右平移一個(gè)單位長度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則______，其中；______
【解析】依題意，知，為奇函數(shù)，則，
又，故，，
，則最小正周期．因?yàn)椋?br>所以，，故，
．故答案為:；
9．奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，若為偶函數(shù)，且，則______．
【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)可得，，
又，故，所以，即
所以，故該函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)．
又函數(shù)為奇函數(shù)，故，．
所以．
10．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則__________.
【解析】:是上的奇函數(shù)， ，
又， ，
，所以是周期函數(shù)，且周期為4，
.
11．已知是偶函數(shù)，周期是8，當(dāng)時(shí)，，則____．
【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，周期是8，所以，
12．已知為R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則的值為______．
【解析】由題設(shè)，，故，即的周期為2，
所以，且，
所以.
13．若偶函數(shù)對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，則______．
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以周期為6，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
，
，所以，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，即.
14．已知定義在R上的函數(shù)滿足：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)，，均有；
②；
③對(duì)任意，．
(1)求的值，并判斷的奇偶性；
(2)對(duì)任意的x∈R，證明：；
(3)直接寫出的所有零點(diǎn)(不需要證明)．
【解析】(1)∵對(duì)任意實(shí)數(shù)，，均有，
∴令，則，可得，
∵對(duì)任意,，，∴f(0)＞0，∴；
令，則；
∴；∵f(x)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且令時(shí)，，
∴是R上的偶函數(shù)；
(2)令，則，
則，
∴，即；
(3)(1)，且是以4為周期的周期的偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可得f(－1)＝(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝0，故f(x)的零點(diǎn)為奇數(shù)，即f(x)所有零點(diǎn)為，.
專項(xiàng)突破二 奇偶性與對(duì)稱性
1．奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則的值為（ ）
A．B．4C．D．3
【解析】依題意，是奇函數(shù)且關(guān)于對(duì)稱.
所以，.故選：C
2．已知定義域的奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，
∵奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，
∴，故選：D．
3．已知是R上的偶函數(shù)，若的圖象向右平移一個(gè)單位后，則得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則的值為 （ ）
A．1B．0
C．-1D．
【解析】由題意知，f（x）是R上的偶函數(shù)，f（x-1）是一個(gè)奇函數(shù)，
由奇函數(shù)的定義得f（x-1）+f（x+1）=0，再由f（1）=f（-1）=0，f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0．
解答：解：由題意知，f（x）是R上的偶函數(shù)，f（x-1）是一個(gè)奇函數(shù)，
∴f（x-1）=-f（-x-1）=-f（x+1），∴f（x-1）+f（x+1）=0，
∴f（9）+f（7）=0，f（5）+f（3）=0，由f（x-1）是奇函數(shù) 得，f（0-1）=0，即f（-1）=0，
又f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（1）=f（-1）=0，∴f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0，故選 B．
4．若定義在上的偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，故A正確；
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于的圖象上的點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，即，用替換得到，，即，故B正確；
令，則，令，則，則，故C正確；
由B知，，故D錯(cuò)誤；故選：D.
5．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A．B．C．D．
【解析】依題意知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，
又因?yàn)閳D象關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，
所以.
的函數(shù)值無法確定.故選：A
6．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【解析】由題意可知，，所以，時(shí)，，又，
于是，即時(shí)，.
根據(jù)條件，，所以.故選：C.
7．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，若，，，則、、的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，
將函數(shù)向左平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，
，，，因此，且
所以，所以，
所以，即.故選：B.
8．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（ ）
A．B．C．D．
【解析】設(shè)為圖象的對(duì)稱中心，
則有為奇函數(shù)，
設(shè)，則為奇函數(shù)；
，又，
可得，所以，解得；
所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.故選：A.
9．函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象關(guān)于（ ）
A．點(diǎn)對(duì)稱B．點(diǎn)對(duì)稱
C．直線對(duì)稱D．直線對(duì)稱
【解析】函數(shù)
對(duì)于A，，即圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，即圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，即圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，，即圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；
故選：C
10．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則圖像的對(duì)稱軸是（ ）
A．B．C．D．
【解析】對(duì)于A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即，即，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
而的圖象是由的圖象向左平移個(gè)單位得到的，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以A正確，
對(duì)于B，構(gòu)造函數(shù)則，
所以，顯然其圖象不關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，構(gòu)造函數(shù)則，
所以，顯然其圖象不關(guān)于對(duì)稱，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)則，
所以，顯然其圖象不關(guān)于對(duì)稱，所以D錯(cuò)誤，
故選：A
11．已知定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，
又當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞減，則等價(jià)于，所以，解得，
即原不等式的解集為；故選：D
12．定義在上的函數(shù)滿足：的圖像關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．1D．3
【解析】由于將函數(shù)的圖像向右平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，
又的圖像關(guān)于對(duì)稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，即函數(shù)是上的奇函數(shù)，
又當(dāng)時(shí)，， 所以，
又當(dāng)時(shí)，，
所以.
所以.故選：B.
13．(多選)已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱B．
C．D．
【解析】由，得，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
所以A正確；
由題意得，所以，所以B正確；
由，得，即，所以，
所以C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，即，所以D正確，
故選：ABD
14．(多選)對(duì)于定義在R上的函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．若是奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．若對(duì)，有，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
C．若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則為偶函數(shù)
D．若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【解析】對(duì)A，是奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
將的圖象向右平移1個(gè)單位得的圖象，故的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，正確；
對(duì)B，若對(duì)，有，得，所以是一個(gè)周期為2的周期函數(shù)，
不能說明其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，錯(cuò)誤.；
對(duì)C，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故為偶函數(shù)，正確；
對(duì)D，由得，，
的圖象關(guān)于（1，1）對(duì)稱，正確.
故選：ACD.
15．已知，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則的值是______________.
【解析】由已知是定義在上的偶函數(shù)，
故，即，或，且函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
又，故，因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，故，，
16．已知是奇函數(shù).
（1）求的值，
（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，求的值.
【解析】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
即，整理得，又，所以.
（2）因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即.
因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以，
又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
所以.
專項(xiàng)突破三 奇偶性、周期性與對(duì)稱性
1．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，
因?yàn)?，故函?shù)的周期為4，則；
而，所以由可得；
而，解得.故選：C.
2．已知函數(shù)的圖像既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．D．0
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
所以，即，即，
所以，所以，即，
所以函數(shù)的周期為4，所以，故選：D
3．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【解析】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以的周期,
所以,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,
所以,即.故選：C
4．已知定義在上的函數(shù)滿足：且為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．D．
【解析】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，
所以，且，所以，
令，則，所以，所以，
所以函數(shù)的周期為，所以.
故選：C.
5．已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且 ，當(dāng) 時(shí)， ，則等于（ ）
A．－2B．2C．D．－
【解析】函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則有：,
又，則,則有：,
可得：,故，即的周期為,
則有：,故選：B
6．已知函數(shù)滿足且，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則（ ）
A．0B．C．D．1
【解析】由函數(shù)滿足，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
又由，可得函數(shù)是周期為的函數(shù)，
又由當(dāng)時(shí)，，
則.故選：B.
7．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且滿足為偶函數(shù)，若，則（ ）
A．B．1C．0D．2021
【解析】由為偶函數(shù)，可知關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，
又函數(shù)為奇函數(shù)，可知函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱，故函數(shù)的周期為，
又，，，
故，，故選：B.
8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則下列說法一定正確的有（ ）
①； ②；③； ④
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【解析】由題意，函數(shù)是奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，所以②正確；
令，則，又由是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，則有，令，則，所以③正確.
在中，將用替換，則，
在中，將用替換，則，
所以，再將用替換，則，所以，所以①正確；
對(duì)于④中，由，無法推出其一定相等. 故選：B.
9．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函數(shù)；③f(x＋2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．f(7)

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新高考數(shù)學(xué)之函數(shù)專項(xiàng)重點(diǎn)突破 專題05 分段函數(shù)：

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新高考數(shù)學(xué)之函數(shù)專項(xiàng)重點(diǎn)突破 專題02 函數(shù)的值域：

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