2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國通用)專題08平面解析幾何(解答題)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)1：弦長、周長問題
知識(shí)點(diǎn)2：斜率問題
知識(shí)點(diǎn)3：面積及面積比問題
知識(shí)點(diǎn)4：定直線問題
知識(shí)點(diǎn)5：向量問題
知識(shí)點(diǎn)6：共線與平行問題
知識(shí)點(diǎn)7：相切問題
知識(shí)點(diǎn)8：定點(diǎn)定值問題
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：弦長、周長問題
1．（2023?新高考Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長大于．
2．（2023?上海）已知拋物線，在上有一點(diǎn)位于第一象限，設(shè)的縱坐標(biāo)為．
（1）若到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若軸上存在一點(diǎn)，使的中點(diǎn)在拋物線上，求到直線的距離；
（3）直線，拋物線上有一異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的投影為點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為．若在的位置變化過程中，恒成立，求的取值范圍．
3．（2022?上海）設(shè)有橢圓方程，直線，下端點(diǎn)為，在上，左、右焦點(diǎn)分別為，、，．
（1），中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線與軸交于，直線經(jīng)過右焦點(diǎn)，在中有一內(nèi)角余弦值為，求；
（3）在橢圓上存在一點(diǎn)到距離為，使，隨的變化，求的最小值．
4．（2022?浙江）如圖，已知橢圓．設(shè)，是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；
（Ⅱ）求的最小值．
5．（2022?北京）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，求的值．
6．（2022?新高考Ⅱ）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
（1）求的方程；
（2）過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，，，在上，且，．過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點(diǎn)．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
7．（2022?上海）已知橢圓，、兩點(diǎn)分別為的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)均在直線上，且在第一象限．
（1）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，且，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1，請(qǐng)判斷直線與直線的交點(diǎn)是否在橢圓上，并說明理由；
（3）設(shè)直線、分別交橢圓于點(diǎn)、點(diǎn)，若、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值．
8．（2021?北京）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線、分別與直線交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
9．（2021?浙江）如圖，已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求拋物線的方程：
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若斜率為2的直線與直線，，，軸依次交于點(diǎn)，，，，且滿足，求直線在軸上截距的取值范圍．
知識(shí)點(diǎn)2：斜率問題
10．（2021?新高考Ⅰ）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足．記的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．
11．（2021?乙卷（文））已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求的方程；
（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，求直線斜率的最大值．
12．（2022?甲卷（文））設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．
（1）求的方程；
（2）設(shè)直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記直線，的傾斜角分別為，．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程．
知識(shí)點(diǎn)3：面積及面積比問題
13．（2023?甲卷（文））已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，．
（1）求；
（2）設(shè)為的焦點(diǎn)，，為上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．
14．（2023?甲卷（理））設(shè)拋物線，直線與交于，兩點(diǎn)，且．
（1）求的值；
（2）為的焦點(diǎn)，，為拋物線上的兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．
15．（2023?天津）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，已知，．
（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；
（Ⅱ）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若△的面積是△面積的二倍，求直線的方程．
16．（2022?天津）橢圓的右焦點(diǎn)為、右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，與軸相交于異于．記為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
17．（2022?新高考Ⅰ）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面積．
知識(shí)點(diǎn)4：定直線問題
18．（2023?新高考Ⅱ）已知雙曲線中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為．
（1）求的方程；
（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于，證明在定直線上．
知識(shí)點(diǎn)5：向量問題
19．（2021?上海）已知，，是其左、右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，，交橢圓于，兩點(diǎn)，且，在軸上方，點(diǎn)在線段上．
（1）若是上頂點(diǎn)，，求的值；
（2）若，且原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；
（3）證明：對(duì)于任意，使得的直線有且僅有一條．
20．（2021?甲卷（文））在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）將的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷與是否有公共點(diǎn)．
知識(shí)點(diǎn)6：共線與平行問題
21．（2023?北京）已知橢圓的離心率為，、分別為的上、下頂點(diǎn)，、分別為的左、右頂點(diǎn)，．
（1）求的方程；
（2）點(diǎn)為第一象限內(nèi)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．
22．（2021?新高考Ⅱ）已知橢圓的方程為，右焦點(diǎn)為，，且離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，是橢圓上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：，，三點(diǎn)共線的充要條件是．
23．（2021?天津）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過與垂直的直線交軸于點(diǎn)．若，求直線的方程．
知識(shí)點(diǎn)7：相切問題
24．（2021?甲卷（文））拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線交于，兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與相切．
（1）求，的方程；
（2）設(shè)，，是上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．
知識(shí)點(diǎn)8：定點(diǎn)定值問題
25．（2023?乙卷（文））已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
26．（2022?乙卷（文））已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸、軸，且過，，兩點(diǎn)．
（1）求的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過且平行于軸的直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足．證明：直線過定點(diǎn)．
專題08 平面解析幾何（解答題）
知識(shí)點(diǎn)目錄
知識(shí)點(diǎn)1：弦長、周長問題
知識(shí)點(diǎn)2：斜率問題
知識(shí)點(diǎn)3：面積及面積比問題
知識(shí)點(diǎn)4：定直線問題
知識(shí)點(diǎn)5：向量問題
知識(shí)點(diǎn)6：共線與平行問題
知識(shí)點(diǎn)7：相切問題
知識(shí)點(diǎn)8：定點(diǎn)定值問題
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：弦長、周長問題
1．（2023?新高考Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長大于．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得，
兩邊平方可得：，
化簡得：，符合題意．
故的方程為．
（2）解法一：不妨設(shè)，，三點(diǎn)在上，且．
設(shè)，，，
則，．
由題意，，即，
顯然，于是．
此時(shí)，．．于是，．
不妨設(shè)，則，
則
．
設(shè)，則，即，
又．
顯然，為最小值點(diǎn)．故，
故矩形的周長為．
注意這里有兩個(gè)取等條件，一個(gè)是，另一個(gè)是，
這顯然是無法同時(shí)取到的，所以等號(hào)不成立，命題得證．
解法二：不妨設(shè)，，在拋物線上，不在拋物線上，欲證命題為．
由圖象的平移可知，將拋物線看作不影響問題的證明．
設(shè)，，平移坐標(biāo)系使為坐標(biāo)原點(diǎn)，
則新拋物線方程為，寫為極坐標(biāo)方程，
即，即．
欲證明的結(jié)論為，
也即．
不妨設(shè)，將不等式左邊看成關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，
其最小值當(dāng)即時(shí)取得，
因此欲證不等式為，即，
根據(jù)均值不等式，有
，
由題意，等號(hào)不成立，故原命題得證．
2．（2023?上海）已知拋物線，在上有一點(diǎn)位于第一象限，設(shè)的縱坐標(biāo)為．
（1）若到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若軸上存在一點(diǎn)，使的中點(diǎn)在拋物線上，求到直線的距離；
（3）直線，拋物線上有一異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的投影為點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為．若在的位置變化過程中，恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，
由于到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則，
解得；
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
設(shè)，則的中點(diǎn)為，
由題意可得，解得，
所以，
則，
由點(diǎn)斜式可得，直線的方程為，即，
所以原點(diǎn)到直線的距離為；
（3）如圖，
設(shè)，則，
故直線的方程為，
令，可得，即，
則，
依題意，恒成立，
又，
則最小值為，即，即，
則，解得，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
而，即當(dāng)時(shí)，也符合題意．
故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
3．（2022?上海）設(shè)有橢圓方程，直線，下端點(diǎn)為，在上，左、右焦點(diǎn)分別為，、，．
（1），中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線與軸交于，直線經(jīng)過右焦點(diǎn)，在中有一內(nèi)角余弦值為，求；
（3）在橢圓上存在一點(diǎn)到距離為，使，隨的變化，求的最小值．
【解析】（1）由題意可得，
，
的中點(diǎn)在軸上，
的縱坐標(biāo)為，
代入得．
（2）由直線方程可知，
①若，則，即，
，
．
②若，則，
，，
，．
即，，，
綜上或．
（3）設(shè)，
由點(diǎn)到直線距離公式可得，
很明顯橢圓在直線的左下方，則，
即，
，，
據(jù)此可得，，
整理可得，即，
從而．
即的最小值為．
4．（2022?浙江）如圖，已知橢圓．設(shè)，是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；
（Ⅱ）求的最小值．
【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，則，，，
而函數(shù)的對(duì)稱軸為，則其最大值為，
，即點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為；
（Ⅱ）設(shè)直線，
聯(lián)立直線與橢圓方程有，消去并整理可得，，
由韋達(dá)定理可得，，
，
設(shè)，，，，直線，直線，
聯(lián)立以及，
可得，
由弦長公式可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
的最小值為．
5．（2022?北京）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，求的值．
【解析】（Ⅰ）由題意得，
，，，，
橢圓的方程為．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線為，，，，，
聯(lián)立得，即，
直線與橢圓相交，△，，
由韋達(dá)定理得，，
，直線為，
令，則，，，同理，，
，
，，
．
6．（2022?新高考Ⅱ）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
（1）求的方程；
（2）過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，，，在上，且，．過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點(diǎn)．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（1）由題意可得，，
解得，，
因此的方程為，
（2）解法一：設(shè)直線的方程為，，將直線的方程代入可得，
△，
，，
，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，
兩式相減可得，
，
，
解得，
兩式相加可得，
，
，
解得，
，其中為直線的斜率；
若選擇①②：
設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，
則，解得，，
同理可得，，
，，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解得，，
為的中點(diǎn)，即；
若選擇①③：
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)不在直線上，矛盾，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，
則，解得，，
同理可得，，
此時(shí)，
，
由于點(diǎn)同時(shí)在直線上，故，解得，
因此．
若選擇②③，
設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，
則，解得，，
同理可得，，
設(shè)的中點(diǎn)，，則，，
由于，故在的垂直平分線上，即點(diǎn)在直線上，
將該直線聯(lián)立，解得，，
即點(diǎn)恰為中點(diǎn)，故點(diǎn)在直線上．
（2）解法二：由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②③，或選由②③①：由②成立可知直線的斜率存在且不為0．
若選①③②，則為線段的中點(diǎn)，假設(shè)的斜率不存在，
則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn)，
此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，從而，已知不符．
綜上，直線的斜率存在且不為0，
直線的斜率為，直線的方程為．
則條件①在直線上，等價(jià)于，
兩漸近線的方程合并為，
聯(lián)立方程組，消去并化簡得：，
設(shè)，，，，線段中點(diǎn)為，，
則．，
設(shè)，，
則條件③等價(jià)于，
移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：
，
，
，
，
，
，
由題意知直線的斜率為，直線的斜率為，
由，，
，
直線的斜率，
直線，即，
代入雙曲線的方程為，即中，
得，
解得的橫坐標(biāo)為，
同理，，，
，
條件②等價(jià)于，
綜上所述：
條件①在上等價(jià)于，
條件②等價(jià)于，
條件③等價(jià)于．
選①②③：
由①②解得，③成立；
選①③②：
由①③解得：，，，②成立；
選②③①：
由②③解得：，，，①成立．
7．（2022?上海）已知橢圓，、兩點(diǎn)分別為的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)均在直線上，且在第一象限．
（1）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，且，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1，請(qǐng)判斷直線與直線的交點(diǎn)是否在橢圓上，并說明理由；
（3）設(shè)直線、分別交橢圓于點(diǎn)、點(diǎn)，若、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值．
【解析】（1）由題可得，，
因?yàn)椋?，解得?br>所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上，
由題可得此時(shí)，，，，
則直線，直線，交點(diǎn)為，，滿足，
故直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上；
（3），，則直線，所以，
，，則直線，所以，
所以，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br>則，即的最小值為6．
8．（2021?北京）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線、分別與直線交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，則，
又因?yàn)橐运膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為，
所以，解得，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）由題意，設(shè)過點(diǎn)，斜率為的直線為直線，
設(shè)直線的方程為，即，
當(dāng)時(shí)，直線與橢圓沒有交點(diǎn)，而直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，
所以，
設(shè)，，，，
聯(lián)立方程組，可得，
則△，解得，
所以，
則，
，
直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
因?yàn)橹本€交于點(diǎn)，
所以令，則，
故，
同理可得，
注意到，所以，同號(hào)，
因?yàn)?，，所以，同?hào)，
故，
則
，
故，
又，即，即，又，
所以，
故的取值范圍為，，．
9．（2021?浙江）如圖，已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求拋物線的方程：
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若斜率為2的直線與直線，，，軸依次交于點(diǎn)，，，，且滿足，求直線在軸上截距的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）依題意，，故拋物線的方程為；
（Ⅱ）由題意得，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線，
將直線方程代入拋物線方程可得，，
則由韋達(dá)定理有，，則，
設(shè)直線，其中，設(shè)直線，其中，
則，
，
設(shè)直線，
聯(lián)立，可得，則，
聯(lián)立，可得，則，
同理可得，，
又，
，即，
，
，即，解得或；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線，，，，
直線的方程為，直線的方程為，
設(shè)直線，則，，，，
又，故，
解得滿足．
直線在軸上截距的取值范圍為．
知識(shí)點(diǎn)2：斜率問題
10．（2021?新高考Ⅰ）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足．記的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．
【解析】（1）由雙曲線的定義可知，的軌跡是雙曲線的右支，設(shè)的方程為，
根據(jù)題意，解得，
的方程為；
（2）（法一）設(shè)，直線的參數(shù)方程為，
將其代入的方程并整理可得，，
由參數(shù)的幾何意義可知，，，則，
設(shè)直線的參數(shù)方程為，，，同理可得，，
依題意，，則，
又，故，則，即直線的斜率與直線的斜率之和為0．
（法二）設(shè)，直線的方程為，，，，，設(shè)，
將直線方程代入的方程化簡并整理可得，，
由韋達(dá)定理有，，
又由可得，
同理可得，
，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
同理可得，
又，則，化簡可得，
又，則，即，即直線的斜率與直線的斜率之和為0．
11．（2021?乙卷（文））已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求的方程；
（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，求直線斜率的最大值．
【解析】（1）由題意知，，
．
（2）由（1）知，拋物線，，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入得，
整理得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最大值．
故答案為：．
12．（2022?甲卷（文））設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．
（1）求的方程；
（2）設(shè)直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記直線，的傾斜角分別為，．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程．
【解析】（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，，得，可知，．
則在中，，得，解得．
則的方程為；
（2）設(shè)，，，，，，，，
當(dāng)與軸垂直時(shí)，由對(duì)稱性可知，也與軸垂直，
此時(shí)，則，
由（1）可知，，則，
又、、三點(diǎn)共線，則，即，
，
得，即；
同理由、、三點(diǎn)共線，得．
則．
由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)，
由，得，
，，則，，
則，
，，
與正負(fù)相同，
，
當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，無最大值，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取最大值，
此時(shí)的直線方程為，即，
又，，
的方程為，即．
知識(shí)點(diǎn)3：面積及面積比問題
13．（2023?甲卷（文））已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，．
（1）求；
（2）設(shè)為的焦點(diǎn)，，為上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．
【解析】設(shè)，，，，聯(lián)立，
消去得：，
，，△，
，，
，
，，，
，
（2）由（1）知，所以，顯然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線，，，，
由，可得，所以，，
△，
因?yàn)?，所以?br>即，即，
將，，代入得，
，所以，且，解得或．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
又或，所以當(dāng)時(shí)，的面積．
14．（2023?甲卷（理））設(shè)拋物線，直線與交于，兩點(diǎn)，且．
（1）求的值；
（2）為的焦點(diǎn)，，為拋物線上的兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．
【解析】設(shè)，，，，聯(lián)立，
消去得：，
，，△，
，，
，
，，，
；
（2）由（1）知，所以，顯然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線，，，，，
由，可得，所以，，
△，
因?yàn)椋裕?br>即，即，
將，，代入得，
，所以，且，解得或．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
又或，所以當(dāng)時(shí)，的面積．
15．（2023?天津）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，已知，．
（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；
（Ⅱ）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若△的面積是△面積的二倍，求直線的方程．
【解析】（Ⅰ）由題意可知，，解得，
．
則橢圓方程為，橢圓的離心率為；
（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為0，
當(dāng)時(shí)，直線方程為，取，得．
聯(lián)立，得．
△，
，得，則．
．
．
，即，得；
同理求得當(dāng)時(shí)，．
直線的方程為．
16．（2022?天津）橢圓的右焦點(diǎn)為、右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，與軸相交于異于．記為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】（1），，
，
，，
；
（2）由（1）可知橢圓為，
即，
設(shè)直線，聯(lián)立，消去可得：
，又直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
△，，
又，，
又，，
解得，，
又的面積為，
，，
又，，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
17．（2022?新高考Ⅰ）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面積．
【解析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程得，
化簡得，，故雙曲線方程為，
由題顯然直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，，
則聯(lián)立雙曲線得：，
故，，
，
化簡得：，
故，
即，而直線不過點(diǎn)，故；
（2）設(shè)直線的傾斜角為，由，
，得
由，，
得，即，
聯(lián)立，及得，
同理，
故，
而，由，得，
故．
知識(shí)點(diǎn)4：定直線問題
18．（2023?新高考Ⅱ）已知雙曲線中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為．
（1）求的方程；
（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于，證明在定直線上．
【解析】（1）雙曲線中心為原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為，
則，解得，
故雙曲線的方程為；
（2）證明：過點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，
則可設(shè)直線的方程為，，，，，
記的左，右頂點(diǎn)分別為，，
則，，
聯(lián)立，化簡整理可得，，
故△且，
，，
直線的方程為，直線方程，
故
，
故，解得，
所以，
故點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)．
知識(shí)點(diǎn)5：向量問題
19．（2021?上海）已知，，是其左、右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，，交橢圓于，兩點(diǎn)，且，在軸上方，點(diǎn)在線段上．
（1）若是上頂點(diǎn)，，求的值；
（2）若，且原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；
（3）證明：對(duì)于任意，使得的直線有且僅有一條．
【解析】（1）因?yàn)榈姆匠蹋海?br>所以，，
所以，
所以，，
若為的上頂點(diǎn)，則，
所以，，
又，
所以；
（2）設(shè)點(diǎn)，，
則，
因?yàn)樵诰€段上，橫坐標(biāo)小于0，
解得，
故，
設(shè)直線的方程為，
由原點(diǎn)到直線的距離為，
則，化簡可得，解得或，
故直線的方程為或（舍去，無法滿足，
所以直線的方程為；
（3）聯(lián)立方程組，可得，
設(shè)，，，，
則，
因?yàn)椋?br>所以，又，
故化簡為，
又，
兩邊同時(shí)平方可得，，
整理可得，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)辄c(diǎn)，在軸上方，
所以有且僅有一個(gè)解，
故對(duì)于任意，使得的直線有且僅有一條．
20．（2021?甲卷（文））在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）將的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷與是否有公共點(diǎn)．
【解析】（1）由極坐標(biāo)方程為，得，
化為直角坐標(biāo)方程是，
即，表示圓心為，，半徑為的圓．
（2）【解法1】根據(jù)題意知，點(diǎn)的軌跡是以為中心，為縮放比例將圓作位似變換得到的，
因此的圓心為，，半徑差為，
所以圓內(nèi)含于圓，圓與圓沒有公共點(diǎn)．
【解法2】設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，，，因?yàn)椋?br>所以，，，
由，
即，
解得，
所以，，代入的方程得，
化簡得點(diǎn)的軌跡方程是，表示圓心為，，半徑為2 的圓；
化為參數(shù)方程是，為參數(shù)；
計(jì)算，
所以圓與圓內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)．
知識(shí)點(diǎn)6：共線與平行問題
21．（2023?北京）已知橢圓的離心率為，、分別為的上、下頂點(diǎn)，、分別為的左、右頂點(diǎn)，．
（1）求的方程；
（2）點(diǎn)為第一象限內(nèi)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．
【解析】（1）由題意可得：，，，
解得，，
橢圓的方程為．
（2）證明：，，，，
直線的方程為，化為．
設(shè)直線的方程為：，，，．
聯(lián)立，化為：，
解得或，
，．
直線方程為：，即，
與聯(lián)立，解得，．
，．
，
，
．
22．（2021?新高考Ⅱ）已知橢圓的方程為，右焦點(diǎn)為，，且離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，是橢圓上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：，，三點(diǎn)共線的充要條件是．
【解析】（Ⅰ）由題意可得，橢圓的離心率，又，
所以，則，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）證明：先證明充分性，
當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，
此時(shí)圓心到直線的距離，則，
聯(lián)立方程組，可得，
則△，
因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)橹本€與曲線相切，
所以，則，
則直線的方程為恒過焦點(diǎn)，
故，，三點(diǎn)共線，
所以充分性得證．
若，，三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)直線的方程為，
則圓心到直線的距離為，解得，
聯(lián)立方程組，可得，
即，
所以；
所以必要性成立；
綜上所述，，，三點(diǎn)共線的充要條件是．
23．（2021?天津）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過與垂直的直線交軸于點(diǎn)．若，求直線的方程．
【解析】（1）因?yàn)殡x心率，
所以，解得，，，
所以橢圓的方程為．
（2）先證明橢圓上過點(diǎn)，的橢圓的
切線方程為：．
由于橢圓過點(diǎn)，，則①，
對(duì)橢圓求導(dǎo)得，即切線的斜率，
故切線的方程，
將①代入得．
則切線的方程為，
令，得，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，解得，
設(shè)，，則，即，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
解得，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，，
所以，即．
知識(shí)點(diǎn)7：相切問題
24．（2021?甲卷（文））拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線交于，兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與相切．
（1）求，的方程；
（2）設(shè)，，是上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．
【解析】（1）因?yàn)榕c拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故可設(shè)拋物線的方程為：，
令，則，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在軸上方，在軸下方，故，
因?yàn)?，故?br>拋物線的方程為：，
因?yàn)榕c相切，故其半徑為1，故．
另（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，由題意可得，
因此點(diǎn)，的坐標(biāo)為，
由題意可設(shè)拋物線的方程為：，
可得，
因此拋物線的方程為．
而圓的半徑為圓心到直線的距離為1，
可得的方程為．
（2）很明顯，對(duì)于或者斜率不存在的情況以及斜率為0的情況滿足題意．否則：
設(shè)，，，，，．
當(dāng)，，其中某一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)（假設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)），
設(shè)直線方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離為1可得，解得，
聯(lián)立直線與拋物線方程可得，
此時(shí)直線與的位置關(guān)系為相切，
當(dāng)，，都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，即，直線的方程為，
此時(shí)有，，即，
同理，由對(duì)稱性可得，，
所以，是方程的兩根，
則，
依題意有，直線的方程為，
令到直線的距離為，則有，
此時(shí)直線與的位置關(guān)系也為相切，
綜上，直線與相切．
（2）另設(shè)，，，2，3，
由直線的兩點(diǎn)式可知，直線的方程為，
化簡可得，
因?yàn)橹本€與圓相切，所以，
整理得，
同理有，
所以，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，
則，
依題意有，直線的方程為，
令到直線的距離為，則有，
此時(shí)直線與的位置關(guān)系也為相切，
綜上，直線與相切．
知識(shí)點(diǎn)8：定點(diǎn)定值問題
25．（2023?乙卷（文））已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【解析】（1）由題意，，解得．
橢圓的方程為；
證明：（2）如圖，
要使過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則的斜率存在且小于0，
設(shè)，即，，，，，，
聯(lián)立，得．
△．
，，
直線，取，得；
直線，取，得．
．
的中點(diǎn)為，為定點(diǎn)．
26．（2022?乙卷（文））已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸、軸，且過，，兩點(diǎn)．
（1）求的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過且平行于軸的直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足．證明：直線過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)的方程為，且，
將兩點(diǎn)代入得，
解得，，
故的方程為；
（2）由可得線段
（1）若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線．代入，
可得，，將代入，可得，得到，求得方程：，過點(diǎn)．
②若過的直線的斜率存在，設(shè)，，，，，
聯(lián)立，得，
故有，，
，
，
聯(lián)立，可得，
當(dāng)斜率存在時(shí)可求得此時(shí)，
將代入整理得，
將代入，得，
顯然成立；
當(dāng)斜率不存在時(shí)，由圖象可得直線過定點(diǎn)；
綜上，可得直線過定點(diǎn)．

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