知識(shí)點(diǎn)1：推理問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)2：線性規(guī)劃問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)3：不等式大小判斷問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)4：利用基本不等式求最值
知識(shí)點(diǎn)5：解不等式
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：推理問(wèn)題
1．（2022?乙卷（理））嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星．為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列，，，，依此類推，其中，2，．則
A．B．C．D．
2．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ，那么
知識(shí)點(diǎn)2：線性規(guī)劃問(wèn)題
3．（2022?浙江）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是
A．20B．18C．13D．6
4．（2022?乙卷（文））若，滿足約束條件則的最大值是
A．B．4C．8D．12
5．（2021?浙江）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值是
A．B．C．D．
6．（2021?乙卷（理））若，滿足約束條件則的最小值為
A．18B．10C．6D．4
7．（2023?甲卷（文））若，滿足約束條件，則的最大值為 ．
8．（2023?乙卷（文））若，滿足約束條件，則的最大值為 ．
9．（2023?甲卷（理））設(shè)，滿足約束條件，設(shè)，則的最大值為 ．
10．（2022?上海），，求的最小值 ．
11．（2021?上海）已知，，則的最大值為 ．
知識(shí)點(diǎn)3：不等式大小判斷問(wèn)題
12．（2022?上海）若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是
A．B．C．D．
13．（2022?上海）若，則下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
14．（2021?上海）已知兩兩不相等的，，，，，，同時(shí)滿足①，，；②；③，以下哪個(gè)選項(xiàng)恒成立
A．B．C．D．
知識(shí)點(diǎn)4：利用基本不等式求最值
15．（2021?乙卷（文））下列函數(shù)中最小值為4的是
A．B．C．D．
16．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）若，滿足，則
A．B．C．D．
17．（2023?上海）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為 ．
18．（2021?天津）已知，，則的最小值為 ．
19．（2021?上海）已知函數(shù)的最小值為5，則 ．
知識(shí)點(diǎn)5：解不等式
20．（2021?上海）不等式的解集為 ．
21．（2022?上海）不等式的解集為 ．
專題13 不等式、推理與證明
知識(shí)點(diǎn)目錄
知識(shí)點(diǎn)1：推理問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)2：線性規(guī)劃問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)3：不等式大小判斷問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)4：利用基本不等式求最值
知識(shí)點(diǎn)5：解不等式
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：推理問(wèn)題
1．（2022?乙卷（理））嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星．為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列，，，，依此類推，其中，2，．則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，2，，可以取，
則，
，
，
，
，
，
，
，
，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故正確．
故選：．
2．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ，那么
【答案】5；．
【解析】易知有，，共5種規(guī)格；
由題可知，對(duì)折次共有種規(guī)格，且面積為，故，
則，記，則，
，
，
．
故答案為：5；．
知識(shí)點(diǎn)2：線性規(guī)劃問(wèn)題
3．（2022?浙江）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是
A．20B．18C．13D．6
【答案】
【解析】實(shí)數(shù)，滿足約束條件
則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，
由已知可得，
由圖可知：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，
則的最大值是，
故選：．
4．（2022?乙卷（文））若，滿足約束條件則的最大值是
A．B．4C．8D．12
【答案】
【解析】作出可行域如圖陰影部分所示，
由圖可知，當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，且最大為8．
故選：．
5．（2021?浙江）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由約束條件作出可行域如圖，
聯(lián)立，解得，
化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，
直線在軸上的截距最大，有最小值為．
故選：．
6．（2021?乙卷（理））若，滿足約束條件則的最小值為
A．18B．10C．6D．4
【答案】
【解析】由約束條件作出可行域如圖，
聯(lián)立，解得，
由，得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，
直線在軸上的截距最小，有最小值為．
故選：．
7．（2023?甲卷（文））若，滿足約束條件，則的最大值為 ．
【答案】15．
【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，
由得，
則表示直線在軸截距，截距越大，越大，
結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，最大，
聯(lián)立可得，此時(shí)取得最大值15．
8．（2023?乙卷（文））若，滿足約束條件，則的最大值為 ．
【答案】8．
【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：
由可得，
則表示直線在軸上的截距，截距越小，越大，
結(jié)合圖形可知，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，最大，
由可得，，即，
此時(shí)取得最大值8．
故答案為：8．
9．（2023?甲卷（理））設(shè)，滿足約束條件，設(shè)，則的最大值為 ．
【答案】15．
【解析】由題意，作出，滿足約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，
目標(biāo)函數(shù)，可化為直線，
由，可得，
即，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，
代入可得．
故答案為：15．
10．（2022?上海），，求的最小值 ．
【答案】．
【解析】如圖所示：
由，，可知行域?yàn)橹本€的左上方和的右上方的公共部分，
聯(lián)立，可得，即圖中點(diǎn)，，
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)沿著與正方向向量的相反向量平移時(shí)，離開(kāi)區(qū)間時(shí)取最小值，
即目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，取最小值：．
故答案為：．
11．（2021?上海）已知，，則的最大值為 ．
【答案】4．
【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，
目標(biāo)函數(shù)即：，其中取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在軸上的截距的相反數(shù)，
據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，
聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：．
故答案為：4．
知識(shí)點(diǎn)3：不等式大小判斷問(wèn)題
12．（2022?上海）若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，所以，故正確，錯(cuò)誤，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故錯(cuò)誤，
故選：．
13．（2022?上海）若，則下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】對(duì)于，令，，，，滿足，但，故錯(cuò)誤，
對(duì)于，，即，，
由不等式的可加性可得，，故正確，
對(duì)于，令，，，，滿足，但，故錯(cuò)誤，
對(duì)于，令，，，，滿足，但，故錯(cuò)誤．
故選：．
14．（2021?上海）已知兩兩不相等的，，，，，，同時(shí)滿足①，，；②；③，以下哪個(gè)選項(xiàng)恒成立
A．B．C．D．
【答案】
【解析】設(shè)，
，，，
根據(jù)題意，應(yīng)該有，
且，
則有，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
所以項(xiàng)正確，錯(cuò)誤．
，而上面已證，
因?yàn)椴恢赖恼?fù)，
所以該式子的正負(fù)無(wú)法恒定．
故選：．
知識(shí)點(diǎn)4：利用基本不等式求最值
15．（2021?乙卷（文））下列函數(shù)中最小值為4的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】對(duì)于，，
所以函數(shù)的最小值為3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)椋缘忍?hào)取不到，
所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)的最小值為4，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的最小值不是4，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
16．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）若，滿足，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】方法一：由可得，，
令，則，
，，故錯(cuò)，對(duì)，
，，
故對(duì)，錯(cuò)，
方法二：對(duì)于，，由可得，，即，
，，故錯(cuò)，對(duì)，
對(duì)于，，由得，，
，故對(duì)；
，，
，故錯(cuò)誤．
故選：．
17．（2023?上海）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為 ．
【答案】．
【解析】正實(shí)數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．
故答案為：．
18．（2021?天津）已知，，則的最小值為 ．
【答案】．
【解析】法一：，，，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，
的最小值為，
法二：，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
的最小值為，
故答案為：．
19．（2021?上海）已知函數(shù)的最小值為5，則 ．
【答案】9
【解析】，
所以，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)等號(hào)成立．
故答案為：9．
知識(shí)點(diǎn)5：解不等式
20．（2021?上海）不等式的解集為 ．
【答案】．
【解析】，
解得，．
故答案為：．
21．（2022?上海）不等式的解集為 ．
【答案】．
【解析】由題意得，
解得，
故不等式的解集．
故答案為：．

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