知識點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性
知識點(diǎn)2：值域與最值問題
知識點(diǎn)3：伸縮變換問題
知識點(diǎn)4：求解析式問題
知識點(diǎn)5：三角恒等變換
知識點(diǎn)6：與的取值與范圍問題
知識點(diǎn)7：弧長公式
近三年高考真題
知識點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性
1．（2023?全國）已知函數(shù)，則
A．上單調(diào)遞增B．上單調(diào)遞增
C．上單調(diào)遞減D．上單調(diào)遞增
2．（2022?天津）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法：
①的最小正周期為；
②在，上單調(diào)遞增；
③當(dāng)，時(shí)，的取值范圍為，；
④的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到．
以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
3．（2021?北京）函數(shù)是
A．奇函數(shù)，且最大值為2B．偶函數(shù)，且最大值為2
C．奇函數(shù)，且最大值為D．偶函數(shù)，且最大值為
4．（2022?北京）已知函數(shù)，則
A．在，上單調(diào)遞減
B．在，上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減
D．在，上單調(diào)遞增
5．（2021?新高考Ⅰ）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是
A．B．，C．D．，
6．（2021?乙卷（文））函數(shù)的最小正周期和最大值分別是
A．和B．和2C．和D．和2
7．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對稱，則
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間，有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
8．（2022?上海）函數(shù)的周期為 ．
9．（2023?北京）已知函數(shù)，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在，上單調(diào)遞增，且，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求、的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在，上單調(diào)遞減．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
知識點(diǎn)2：值域與最值問題
10．（2021?浙江）設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)在，上的最大值．
11．（2023?上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是
A．，B．，C．，D．，
12．（2022年全國乙卷）函數(shù)fx=csx+x+1sinx+1在區(qū)間0,2π的最小值、最大值分別為（ ）
A．?π2，π2B．?3π2，π2 C．?π2，π2+2 D．?3π2，π2+2
13．（2021?浙江）已知，，是互不相同的銳角，則在，，三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是
A．0B．1C．2D．3
知識點(diǎn)3：伸縮變換問題
14．（2021?乙卷（文））把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則
A．B．C．D．
15．（2023?甲卷）已知為函數(shù)向左平移個(gè)單位所得函數(shù)，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
16．（2022?浙江）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)
A．向左平移個(gè)單位長度B．向右平移個(gè)單位長度
C．向左平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
知識點(diǎn)4：求解析式問題
17．（2023?乙卷）已知函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則
A．B．C．D．
18．（2023?天津）已知函數(shù)的一條對稱軸為直線，一個(gè)周期為4，則的解析式可能為
A．B．C．D．
19．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)的最小正周期為．若，且的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對稱，則
A．1B．C．D．3
20．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，如圖，，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則 ．
21．（2021?甲卷(文）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則 ．
22．（2021?甲卷（理））已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)為 ．
知識點(diǎn)5：三角恒等變換
23．（2023?新高考Ⅰ）已知，，則
A．B．C．D．
24．（2023?新高考Ⅱ）已知為銳角，，則
A．B．C．D．
25．（2023?乙卷（文））若，，則 ．
26．（2023?上海）已知，則 ．
27．（2022?新高考Ⅱ）若，則
A．B．C．D．
28．（2021?新高考Ⅰ）若，則
A．B．C．D．
29．（2021?甲卷（文））若，，則
A．B．C．D．
30．（2022?上海）若，則 ．
31．（2021?乙卷（文））
A．B．C．D．
32．（2022?浙江）若，，則 ．
知識點(diǎn)6：與的取值與范圍問題
33．（2022?甲卷（理））設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
34．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)在區(qū)間，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
35．（2022?乙卷）記函數(shù)，的最小正周期為．若，為的零點(diǎn)，則的最小值為 ．
36．（2021?北京）若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，，則的一個(gè)取值為 ．
37．（2021?上海）已知，對任意的，，都存在，，使得成立，則下列選項(xiàng)中，可能的值是
A．B．C．D．
38．（2022?甲卷（理））將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是
A．B．C．D．
知識點(diǎn)7：弧長公式
39．（2022?甲卷（理））沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點(diǎn)，在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值的計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，
A．B．C．D．
專題09 三角函數(shù)
知識點(diǎn)目錄
知識點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性
知識點(diǎn)2：值域與最值問題
知識點(diǎn)3：伸縮變換問題
知識點(diǎn)4：求解析式問題
知識點(diǎn)5：三角恒等變換
知識點(diǎn)6：與的取值與范圍問題
知識點(diǎn)7：弧長公式
近三年高考真題
知識點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性
1．（2023?全國）已知函數(shù)，則
A．上單調(diào)遞增B．上單調(diào)遞增
C．上單調(diào)遞減D．上單調(diào)遞增
【答案】
【解析】，
令，，解得，，
當(dāng)時(shí)，，
故在，上單調(diào)遞增．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2022?天津）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法：
①的最小正周期為；
②在，上單調(diào)遞增；
③當(dāng)，時(shí)，的取值范圍為，；
④的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到．
以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】對于，它的最小正周期為，故①錯誤；
在，，，，函數(shù)單調(diào)遞增，故②正確；
當(dāng)，時(shí)，，，的取值范圍為，，故③錯誤；
的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，故④錯誤，
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2021?北京）函數(shù)是
A．奇函數(shù)，且最大值為2B．偶函數(shù)，且最大值為2
C．奇函數(shù)，且最大值為D．偶函數(shù)，且最大值為
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>故函數(shù)為偶函數(shù)，
令，則，，
故是開口向下的二次函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故函數(shù)的最大值為．
綜上所述，函數(shù)是偶函數(shù)，有最大值．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，二倍角公式的運(yùn)用，偶函數(shù)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2022?北京）已知函數(shù)，則
A．在，上單調(diào)遞減
B．在，上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減
D．在，上單調(diào)遞增
【答案】
【解析】，周期，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，
對于，在，上單調(diào)遞增，故錯誤，
對于，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯誤，
對于，在上單調(diào)遞減，故正確，
對于，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故錯誤，
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二倍角公式，考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2021?新高考Ⅰ）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是
A．B．，C．D．，
【答案】
【解析】令，．
則，．
當(dāng)時(shí)，，，
，，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)單調(diào)性，是簡單題．
6．（2021?乙卷（文））函數(shù)的最小正周期和最大值分別是
A．和B．和2C．和D．和2
【答案】
【解析】，
．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；
函數(shù)的周期為，最大值．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了輔助角公式、三角函數(shù)的周期性與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
7．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)，中心對稱，則
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間，有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
【答案】
【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)，對稱，
所以，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故，
令，解得，
故在單調(diào)遞減，正確；
，，，，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，故函數(shù)在區(qū)間，只有一個(gè)極值點(diǎn)，故錯誤；
令，，得，，顯然錯誤；
，
求導(dǎo)可得，，
令，即，解得或，
故函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
故切線方程為，即，故正確．
直線顯然與相切，故直線顯然是曲線的切線，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的求法，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2022?上海）函數(shù)的周期為 ．
【答案】
【解析】
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
9．（2023?北京）已知函數(shù)，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在，上單調(diào)遞增，且，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求、的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在，上單調(diào)遞減．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>（Ⅱ）若選①：；
因?yàn)椋?br>所以在和時(shí)取得最大值1，這與在，上單調(diào)遞增矛盾，所以、的值不存在．
若選②：；
因?yàn)樵冢蠁握{(diào)遞增，且，
所以在時(shí)取得最小值，時(shí)取得最大值1，
所以的最小正周期為，計(jì)算，
又因?yàn)椋?，?br>解得，；
又因?yàn)?，所以?br>若選③：在，上單調(diào)遞減，因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，且，
所以在時(shí)取得最小值，時(shí)取得最大值1，
所以的最小正周期為，所以，
又因?yàn)?，所以，?br>解得，；
又因?yàn)?，所以?br>【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
知識點(diǎn)2：值域與最值問題
10．（2021?浙江）設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)在，上的最大值．
【解析】函數(shù)，
（Ⅰ）函數(shù)
，
則最小正周期為；
（Ⅱ）函數(shù)
，
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，即時(shí)，．
【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，涉及求解函數(shù)的周期以及最值問題，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
11．（2023?上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】由給定區(qū)間可知，．
區(qū)間，與區(qū)間，相鄰，且區(qū)間長度相同．
取，則，，區(qū)間，，可知，，故可能；
取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能；
取，則，，，區(qū)間，，，可知，，故可能．
結(jié)合選項(xiàng)可得，不可能的是，．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的圖象與三角函數(shù)的最值，訓(xùn)練了排除法的應(yīng)用，取特值是關(guān)鍵，是中檔題．
12．（2022年全國乙卷）函數(shù)fx=csx+x+1sinx+1在區(qū)間0,2π的最小值、最大值分別為（ ）
A．?π2，π2B．?3π2，π2 C．?π2，π2+2 D．?3π2，π2+2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)求得fx的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出fx在區(qū)間0,2π上的最小值和最大值.
【詳解】
f'x=?sinx+sinx+x+1csx=x+1csx，
所以fx在區(qū)間0,π2和3π2,2π上f'x>0，即fx單調(diào)遞增；
在區(qū)間π2,3π2上f'x

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