知識(shí)點(diǎn)1：正余弦定理綜合應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)際應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)3：角平分線、中線、高問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)5：外接圓問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)6：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)7：解三角形中的幾何應(yīng)用
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：正余弦定理綜合應(yīng)用
1．（2023?北京）在中，，則
A．B．C．D．
2．（2023?乙卷（理））在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且，則
A．B．C．D．
3．（2021?甲卷（文））在中，已知，，，則
A．1B．C．D．3
4．（2023?上海）已知中，角，，所對(duì)的邊，，，則 ．
5．（2023?天津）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
6．（2022?天津）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
7．（2022?乙卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）若，求；
（2）證明：．
8．（2021?天津）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
9．（2021?上海）已知、、為的三個(gè)內(nèi)角，、、是其三條邊，，．
（1）若，求、；
（2）若，求．
知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)際應(yīng)用
10．（2021?甲卷（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：，三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有，，三點(diǎn)，且，，在同一水平面上的投影，，滿足，．由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，則，兩點(diǎn)到水平面的高度差約為
A．346B．373C．446D．473
11．（2021?乙卷（理））魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”， 稱為“表距”， 和都稱為“表目距”， 與的差稱為“表目距的差”，則海島的高
A．表高B．表高
C．表距D．表距
12．（2023?上海）某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，坡面與水平面所成夾角為．行人每沿著斜坡向上走消耗的體力為，欲使行人走上斜坡所消耗的總體力最小，則 ．
13．（2021?浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明．弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別為3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則 ．
知識(shí)點(diǎn)3：角平分線、中線、高問(wèn)題
14．（2023?甲卷（理））在中，，，，為上一點(diǎn)，為的平分線，則 ．
15．（2021?浙江）在中，，，是的中點(diǎn)，，則 ．
16．（2023?新高考Ⅱ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知面積為，為的中點(diǎn)，且．
（1）若，求；
（2）若，求，．
17．（2023?新高考Ⅰ）已知在中，，．
（1）求；
（2）設(shè)，求邊上的高．
18．（2021?北京）在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求邊上的中線的長(zhǎng)．
條件①；
條件②的周長(zhǎng)為；
條件③的面積為．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
知識(shí)點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問(wèn)題
19．（2022?甲卷（理））已知中，點(diǎn)在邊上，，，．當(dāng)取得最小值時(shí)， ．
20．（2022?上海）如圖，在同一平面上，，，為中點(diǎn)，曲線上任一點(diǎn)到距離相等，角，，關(guān)于對(duì)稱，；
（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的大??；
（2）在何位置，求五邊形面積的最大值．
21．（2022?新高考Ⅰ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
知識(shí)點(diǎn)5：外接圓問(wèn)題
22．（2022?上海）已知在中，，，，則的外接圓半徑為 ．
知識(shí)點(diǎn)6：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題
23．（2021?乙卷（文））記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，，，則 ．
24．（2022?浙江）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面積．
25．（2022?新高考Ⅱ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，分別以，，為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，，．已知，．
（1）求的面積；
（2）若，求．
26．（2022?乙卷（理））記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）證明：；
（2）若，，求的周長(zhǎng)．
27．（2021?新高考Ⅱ）在中，角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)為，，，，．
（1）若，求的面積；
（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．
28．（2021?上海）在中，已知，．
（1）若，求．
（2）若，求．
29．（2022?北京）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
30．（2023?乙卷（文））在中，已知，，．
（1）求；
（2）若為上一點(diǎn)．且，求的面積．
31．（2023?甲卷（理））記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面積．
知識(shí)點(diǎn)7：解三角形中的幾何應(yīng)用
32．（2021?新高考Ⅰ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，點(diǎn)在邊上，．
（1）證明：；
（2）若，求．
專題10 解三角形
知識(shí)點(diǎn)目錄
知識(shí)點(diǎn)1：正余弦定理綜合應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)際應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)3：角平分線、中線、高問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)5：外接圓問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)6：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)7：解三角形中的幾何應(yīng)用
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：正余弦定理綜合應(yīng)用
1．（2023?北京）在中，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由正弦定理為三角形外接圓半徑）可得：
，，，
所以可化為，
即，
，
又，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬簡(jiǎn)單題．
2．（2023?乙卷（理））在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由得，
得，
即，
即，得，
在中，，
，即，
則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理，兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
3．（2021?甲卷（文））在中，已知，，，則
A．1B．C．D．3
【答案】
【解析】設(shè)角，，所對(duì)的邊分別為，，，
結(jié)合余弦定理，可得，
即，解得 舍去），
所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題．
4．（2023?上海）已知中，角，，所對(duì)的邊，，，則 ．
【答案】．
【解析】，，，
由余弦定理得，，
又，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2023?天津）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【解析】（Ⅰ），，，
則；
（Ⅱ），，，
則，化簡(jiǎn)整理可得，，解得（負(fù)值舍去）；
（Ⅲ），
，，，
則，
故，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
6．（2022?天津）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解析】解（1）因?yàn)?，，?br>由余弦定理可得，
解得：；
（2），，所以，
由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，
所以；
（3）因?yàn)?，?br>所以，，
，可得，
所以，
所以的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2022?乙卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）若，求；
（2）證明：．
【解析】（1）由，
又，，
，，即（舍去）或，
聯(lián)立，解得；
證明：（2）由，
得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得：，
整理可得：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
8．（2021?天津）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解析】（1）中，，，
，，．
（2）中，由余弦定理可得．
（3）由（2）可得，
，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
9．（2021?上海）已知、、為的三個(gè)內(nèi)角，、、是其三條邊，，．
（1）若，求、；
（2）若，求．
【解析】（1）因?yàn)椋傻茫?br>又，可得，
由于，可得．
（2）因?yàn)椋?br>可得，
又，
可解得，，或，，
因?yàn)椋傻?，，可得為鈍角，
若，，可得，可得，
可得為鈍角，這與為鈍角矛盾，舍去，
所以，由正弦定理，可得．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)際應(yīng)用
10．（2021?甲卷（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：，三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有，，三點(diǎn)，且，，在同一水平面上的投影，，滿足，．由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，則，兩點(diǎn)到水平面的高度差約為
A．346B．373C．446D．473
【答案】
【解析】過(guò)作于，過(guò)作于，
則，，，，，，
，
則在中，，
在△中，由正弦定理知，，，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】理解仰角的概念，各個(gè)三角形不共面，因此做好輔助線是關(guān)鍵．
11．（2021?乙卷（理））魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”， 稱為“表距”， 和都稱為“表目距”， 與的差稱為“表目距的差”，則海島的高
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【答案】
【解析】，，故，即，
解得，，
故表高．
另如圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
，
表高．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
12．（2023?上海）某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，坡面與水平面所成夾角為．行人每沿著斜坡向上走消耗的體力為，欲使行人走上斜坡所消耗的總體力最小，則 ．
【答案】．
【解析】斜坡的長(zhǎng)度為，
上坡所消耗的總體力，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
由，得，得，，
由時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
由時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
即，函數(shù)取得最小值，即此時(shí)所消耗的總體力最?。?br>故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查生活的應(yīng)用問(wèn)題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
13．（2021?浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明．弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別為3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則 ．
【答案】25．
【解析】直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別為3，4，
直角三角形斜邊的長(zhǎng)為，
即大正方形的邊長(zhǎng)為5，，
則小正方形的面積，
．
故答案為：25．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中的幾何計(jì)算和勾股定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
知識(shí)點(diǎn)3：角平分線、中線、高問(wèn)題
14．（2023?甲卷（理））在中，，，，為上一點(diǎn)，為的平分線，則 ．
【答案】2．
【解析】如圖，在中，，，
由正弦定理可得，
，又，
，，
又為的平分線，且，
，又，，
．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形問(wèn)題，正弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．
15．（2021?浙江）在中，，，是的中點(diǎn)，，則 ．
【答案】；．
【解析】在中：，，，解得：或（舍去）．
點(diǎn)是中點(diǎn)，，，在中：，；
在中：．
故答案為：；．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
16．（2023?新高考Ⅱ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知面積為，為的中點(diǎn)，且．
（1）若，求；
（2）若，求，．
【解析】
（1）根據(jù)已知條件，推得，過(guò)作，垂足為，依次求出，，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，求得，兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】
（1）為中點(diǎn)，，
則，
過(guò)作，垂足為，如圖所示：
中，，，，解得，
，，
故；
（2），
，
，，
則，
①，
，即②，
由①②解得，
，
，又，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
17．（2023?新高考Ⅰ）已知在中，，．
（1）求；
（2）設(shè)，求邊上的高．
【解析】（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又，，
解得，
又，，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
，，
設(shè)邊上的高為，
則，
，
解得，
即邊上的高為6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（2021?北京）在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求邊上的中線的長(zhǎng)．
條件①；
條件②的周長(zhǎng)為；
條件③的面積為．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（Ⅰ），
由正弦定理可得，即，
，
當(dāng) 時(shí)，，即，不符合題意，舍去，
，
，
即．
（Ⅱ）選①，
由正弦定理可得
，與已知條件矛盾，故不存在，
選②周長(zhǎng)為，
，，
，
由正弦定理可得，即，
，
，
，即，，，
存在且唯一確定，
設(shè)的中點(diǎn)為，
，
在中，運(yùn)用余弦定理，，
即，，
邊上的中線的長(zhǎng)度．
選③面積為，
，
，
，解得，
余弦定理可得
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．
知識(shí)點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問(wèn)題
19．（2022?甲卷（理））已知中，點(diǎn)在邊上，，，．當(dāng)取得最小值時(shí)， ．
【答案】．
【解析】設(shè)，，
在三角形中，，可得：，
在三角形中，，可得：，
要使得最小，即最小，
，
其中，此時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即或（舍去），即時(shí)取等號(hào)，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
20．（2022?上海）如圖，在同一平面上，，，為中點(diǎn)，曲線上任一點(diǎn)到距離相等，角，，關(guān)于對(duì)稱，；
（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的大??；
（2）在何位置，求五邊形面積的最大值．
【解析】（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合，由題意可得，，，
由余弦定理可得，
所以，在中，由正弦定理得，
所以，解得，
所以的大小為；
（2）如圖，連結(jié)，，，，
曲線上任意一點(diǎn)到距離相等，
，
，關(guān)于對(duì)稱，
點(diǎn)在劣弧中點(diǎn)或劣弧的中點(diǎn)位置，，
則，
則五邊形面積
，其中，
當(dāng)時(shí)，取最大值，
五邊形面積的最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的性質(zhì)、正、余弦定理和面積公式在解三角形問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力等，屬于中檔題．
21．（2022?新高考Ⅰ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【解析】（1），，．
，
化為：，
，
，，
，
，．
（2）由（1）可得：，，，，
為鈍角，，都為銳角，．
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、基本不等式、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
知識(shí)點(diǎn)5：外接圓問(wèn)題
22．（2022?上海）已知在中，，，，則的外接圓半徑為 ．
【答案】．
【解析】在中，，，，
利用余弦定理，整理得，
所以，解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
知識(shí)點(diǎn)6：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題
23．（2021?乙卷（文））記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，，，則 ．
【答案】．
【解析】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，，，
，
又，（負(fù)值舍）
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
24．（2022?浙江）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面積．
【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，且?br>由正弦定理可得：，
即有；
（Ⅱ）因?yàn)椋?br>所以，故，
又因?yàn)?，所以?br>所以；
由正弦定理可得：，
所以，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形中正弦定理、面積公式，屬于基礎(chǔ)題．
25．（2022?新高考Ⅱ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，分別以，，為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，，．已知，．
（1）求的面積；
（2）若，求．
【解析】（1），
，
，
，
解得：，
，，即，
，
，
解得：，
．
的面積為．
（2）由正弦定理得：，
，，
由（1）得，
已知，，，
解得：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正余弦定理解三角形，需靈活運(yùn)用正余弦定理公式．
26．（2022?乙卷（理））記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）證明：；
（2）若，，求的周長(zhǎng)．
【解析】（1）證明：中，，
所以，
所以，
即，
所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以；
（2）當(dāng)，時(shí)，，，
所以，解得，
所以的周長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力與推理證明能力，是中檔題．
27．（2021?新高考Ⅱ）在中，角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)為，，，，．
（1）若，求的面積；
（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1），
根據(jù)正弦定理可得，
，，
，，，
在中，運(yùn)用余弦定理可得，
，
，
．
（2），
為鈍角三角形時(shí)，角必為鈍角，
，
，
，
，
三角形的任意兩邊之和大于第三邊，
，即，即，
，
為正整數(shù)，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．
28．（2021?上海）在中，已知，．
（1）若，求．
（2）若，求．
【解析】（1）由余弦定理得，
解得，
；
（2），由正弦定理得，又，
，，，，為銳角，
．
由余弦定理得：，又，，
，得：，解得：．
當(dāng)時(shí)，時(shí)；
當(dāng)時(shí)，時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余正、弦定理應(yīng)用、三角形面積求法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
29．（2022?北京）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
【解析】（Ⅰ），
，
又，，
，，
；
（Ⅱ）的面積為，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
30．（2023?乙卷（文））在中，已知，，．
（1）求；
（2）若為上一點(diǎn)．且，求的面積．
【解析】（1）在中，由余弦定理可知，
，由余弦定理可得，
又，，
（2）由（1）知：，，
，，，
的面積為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題．
31．（2023?甲卷（理））記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面積．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以；
（2），
所以，
所以，
所以，
即，
由為三角形內(nèi)角得，
面積．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
知識(shí)點(diǎn)7：解三角形中的幾何應(yīng)用
32．（2021?新高考Ⅰ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，點(diǎn)在邊上，．
（1）證明：；
（2）若，求．
【解析】（1）證明：由正弦定理知，，
，，
，，
即，
，
；
（2）法一：由（1）知，
，，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
當(dāng)時(shí)，（舍；
當(dāng)時(shí)，；
綜上所述，．
法二：點(diǎn)在邊上且，
，
，
而由（1）知，
，
即，
由余弦定理知：，
，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
當(dāng)時(shí)，（舍；
當(dāng)時(shí)，；
綜上所述，．
法三：在中，由正弦定理可知，
而由題意可知，
于是，從而或．
若，則，于是，
無(wú)法構(gòu)成三角形，不合題意．
若，則，
于是，滿足題意，
因此由余弦定理可得．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理及余弦定理的內(nèi)容，是一道好題．

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