考點(diǎn)規(guī)范練47　拋物線基礎(chǔ)鞏固1.以拋物線y2=8x上的任意一點(diǎn)為圓心作圓與直線x=-2相切,這些圓必過一定點(diǎn),則這一定點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4)答案:B解析:由題意得,拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動(dòng)圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,所以動(dòng)圓必過拋物線的焦點(diǎn),即過點(diǎn)(2,0).選B.2.拋物線y=-4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　)A.- B.- C. D.答案:B解析:拋物線方程可化為x2=-,其準(zhǔn)線方程為y=.設(shè)M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知-y0=1,y0=-.3.(2020全國Ⅲ,文7)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點(diǎn),若OD⊥OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)A. B. C.(1,0) D.(2,0)答案:B解析:∵拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱,直線x=2垂直于x軸,又OD⊥OE,∴△ODE是等腰直角三角形.不妨設(shè)點(diǎn)D在第一象限,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2),將其代入y2=2px,得p=1,所以拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.4.已知拋物線x2=ay與直線y=2x-2相交于M,N兩點(diǎn),若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則此拋物線方程為(　　)A.x2=y B.x2=6yC.x2=-3y D.x2=3y答案:D解析:設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得x2-2ax+2a=0,所以=3,即a=3,因此所求的拋物線方程是x2=3y.5.已知等邊三角形AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線Γ:y2=2px(p>0)上,且△AOB的面積為9,則p=(　　)A. B.3 C. D.答案:C解析:根據(jù)拋物線和等邊三角形的對(duì)稱性可知A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,不妨設(shè)直線OB:y=x,與y2=2px聯(lián)立得B(6p,2p),因?yàn)?/span>△AOB的面積為9,所以×(4p)2=9,解得p=.故選C.6.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線-y2=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實(shí)數(shù)a=(　　)A. B. C. D.答案:A解析:因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-,所以1+=5,解得p=8,所以m=4.又雙曲線的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),所以,解得a=,故選A.7.若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y軸的距離是　　　　　. 答案:9解析:設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(xM,yM).拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1,由拋物線的定義知xM+1=10,即xM=9.8.已知拋物線y2=4x,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為　　　　　. 答案:2解析:由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值.依拋物線定義知當(dāng)|AB|為通徑,即|AB|=2p=4時(shí),為最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2.9.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若+λ,求λ的值.解:(1)由題意得直線AB的方程為y=2,與y2=2px聯(lián)立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,從而該拋物線的方程為y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,則x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,從而A(1,-2),B(4,4).設(shè)C(x3,y3),則=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2).又=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.10.已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程;(2)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0),且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P(x,y)滿足-x=1(x>0),化簡得y2=4x(x>0).(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).設(shè)l的方程為x=ty+m.由得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,于是因?yàn)?/span>=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又<0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③因?yàn)?/span>x=,所以不等式③可變形為+y1y2-+1<0,即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④將①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0,所以不等式⑤對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0,即3-2<m<3+2.由此可知,存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0),且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有<0,且m的取值范圍是(3-2,3+2).能力提升11.設(shè)F為拋物線y2=6x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上三點(diǎn).若=0,則||+||+||=(　　)A.4 B.6 C.9 D.12答案:C解析:由題意得拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為x=-.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).∵=0,∴點(diǎn)F是△ABC的重心,∴x1+x2+x3=.由拋物線的定義可得|FA|=x1-=x1+,|FB|=x2-=x2+,|FC|=x3-=x3+,∴||+||+||=x1++x2++x3+=9.12.設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,A(x1,2),B(x2,8)是C上兩點(diǎn),且x2>x1>0,若|BF|=3|AF|,則x1+x2=(　　)A.3 B.6 C.6 D.8答案:C解析:∵3|FA|=|FB|,∴根據(jù)拋物線的定義,可得3=8+,解得p=2,∴拋物線方程為x2=4y,將y1=2,y2=8代入方程,得x1=2,x2=4,∴x1+x2=6.故選C.13.已知雙曲線-x2=1的兩條漸近線分別與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OAB的面積為1,則p的值為(　　)A.1 B. C.2 D.4答案:B解析:雙曲線-x2=1的兩條漸近線方程是y=±2x.又拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-,故A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=±p.∵△AOB的面積為1,∴·2p=1.∵p>0,∴p=.14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l'與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.解:(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=.由題設(shè)得,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率為-m,所以l'的方程為x=-y+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點(diǎn)為E,|MN|=|y3-y4|=.由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=,化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.15.已知拋物線x2=2py(p>0)的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1,過點(diǎn)P(0,p)作直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),其中x1>x2.(1)若直線AB的斜率為,過A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程.(2)若=λ,是否存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q,使得對(duì)任意λ,都有⊥(-λ)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.解:(1)由已知得p=2,直線和y軸交于點(diǎn)(0,2),則直線AB的方程為y-2=x,即x-2y+4=0.由得A,B的坐標(biāo)分別為(4,4),(-2,1).又x2=4y,可得y=x2,故y'=x,故拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為2.設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則解得a=-1,b=,r2=,故圓的方程為(x+1)2+,即為x2+y2+2x-13x+12=0.(2)依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入拋物線方程x2=4y得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8.①由已知=λ得-x1=λx2.若k=0,這時(shí)λ=1,要使⊥(-λ),點(diǎn)Q必在y軸上.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,m),從而=(0,2-m),-λ=(x1,y1-m)-λ(x2,y2-m)=(x1-λx2,y1-m-λ(y2-m)),故·(-λ)=(2-m)[y1-λy2-m(1-λ)]=0,即y1-λy2-m(1-λ)=0,即-m=0,即(x1+x2)(x1x2-4m)=0,將①代入得m=-2.所以存在點(diǎn)Q(0,-2)使得⊥(-λ).高考預(yù)測16.已知點(diǎn)F是拋物線y2=2px(p>0)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的焦點(diǎn),傾斜角為的直線l過焦點(diǎn)F且與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A,當(dāng)|AF|=2時(shí),拋物線方程為(　　)A.y2=x B.y2=2xC.y2=4x D.y2=8x答案:B解析:過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,則Rt△ABF中,∠AFB=60°,|AF|=2,所以|BF|=|AF|cos∠AFB=|AF|=1,|AB|=|AF|sin∠AFB=.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,,由解得p=1.所以拋物線的方程為y2=2x.故選B.

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