1．(2024·天津高三月考)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)(非長(zhǎng)軸端點(diǎn))，的延長(zhǎng)線與橢圓交于P點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)2，或.
【解析】(Ⅰ)因?yàn)闄E圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，所以，
因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，
又，解得，
所以橢圓C的方程為；
(Ⅱ)法一：設(shè)的方程為，
聯(lián)立方程組
，
，
原點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn)P到直線的距離為 ，
，
令 ，
，
當(dāng)時(shí)，面積取到最大值2，
此時(shí)，直線l的方程為或.
法二：
當(dāng)k不存在時(shí)，
；
②當(dāng)k存在且時(shí)，設(shè)直線方程為，
與橢圓方程聯(lián)立，
可得，
顯然，，
∴
，
∴，
，
令 ，
∴上式，
∴上式，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最值.
綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值2.
此時(shí)，直線l的方程為或.
2．(2024·湖北武漢市)已知橢圓過點(diǎn)，離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).
①當(dāng)直線，的斜率之和為時(shí)(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率；
②求的取值范圍.
【答案】(1)；(2)①；②．
【解析】(1)由題意得，解得，.
設(shè)橢圓E的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓E上，
所以，，
所以橢圓E的方程為；
(2)①設(shè)直線l方程為：，代入橢圓E的方程可得，
因?yàn)橹本€l與橢圓E有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即.
設(shè)，，則，，
.
又
解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立.所以，直線l的斜率；
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，
將代入，解得，則，，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由(2)①得
因?yàn)椋缘姆秶鸀椋?br>綜上，得的取值范圍是．
3．(2024·內(nèi)蒙古高三月考())已知橢圓的離心率，其左，右集點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)?的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)過右焦點(diǎn)的直線互相垂直，且分別交橢圓于和四點(diǎn)，求的最小值
【答案】(1)；(2)最小值為.
【解析】(1)由橢圓的定義知，的周長(zhǎng)為，
由，即，得
，
故橢圓的方程為：
(2)由(1)得，橢圓右焦點(diǎn)為，設(shè)，，，
①當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，
直線，此時(shí)；直線，此時(shí)；
②當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，；
③當(dāng)直線，的斜率都存在，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為
聯(lián)立，整得
恒成立，則
同可得
則
令，則
當(dāng)時(shí)，，則
所以
綜上可知，，的最小值為
4．(2024·江西上高二中)已知拋物線：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作拋物線的切線、，直線、交于點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)求面積的最小值，并求出此時(shí)直線的方程.
【答案】(1)；(2)1，.
【解析】(1)設(shè)，，，
則以A為切點(diǎn)的切線為，整得：，
同：以為切點(diǎn)的切線為：，
聯(lián)立方程組：，解得，
設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立方程組，整得：，
恒成立，
由韋達(dá)定得：，，故，
所以點(diǎn)的軌跡方程為；
(2)由(1)知：，
到直線的距離為：，
∴，
∴時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線的方程為.
5．(2024·浙江)如圖，點(diǎn)在拋物線外，過點(diǎn)作拋物線的兩切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為、，記線段的中點(diǎn)為．
(1)證明：線段的中點(diǎn)在拋物線上；
(2)設(shè)點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
，，
所以，直線的方程為，即，
同可知直線的方程為.
聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，
線段的中點(diǎn)為，
所以，線段的中點(diǎn)為，
因此，，因此，線段的中點(diǎn)在拋物線上；
(2)由(1)知，，
，
，
令，則，
所以，，
所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，
此時(shí)，解得，
因此，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
7．(2024·深州長(zhǎng)江中學(xué))已知直線：與軸交于點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線：的焦點(diǎn).
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)(在第一象限)，直線，分別與拋物線相交于，兩點(diǎn)(在的兩側(cè))，與軸交于，兩點(diǎn)，且為中點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值；
(3)在(2)的條件下，求的面積的取值范圍.
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).
【解析】(1)由已知得，且為的中點(diǎn)，所以 .
所以，解得，
故拋物線的方程為.
(2)證明：聯(lián)立，解得 ，，
由為的中點(diǎn)得.
不妨設(shè)，，其中 .
則，.
所以，
即為定值.
(3)由(2)可知直線的方程為，即 ，
與拋物線聯(lián)立，消 x可得，
解得或(舍)，
所以，即 ，
故點(diǎn)到直線的距離.
設(shè)過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，
聯(lián)立得 ，
由，得，
所以切線方程為，令，得 ，
所以要使過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，，
則有，
又，
所以，
即，故 的面積的取值范圍為.
8(2024·浙江高三其他模擬)已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，且經(jīng)過點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，的周長(zhǎng)為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若是坐標(biāo)原點(diǎn)，，兩點(diǎn)(異于點(diǎn))是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的斜率滿足，求面積的最大值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)∵的周長(zhǎng)為，
∴，∴．
將代入，得，解得．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
(2)由題意知直線的斜率存在且不為0，
設(shè)直線的方程為，，，
將與聯(lián)立并消去，整得，
則，．
∵，
∴，
∴，
化簡(jiǎn)得，
∴或(舍去)．
當(dāng)時(shí)，，則，得．
，
原點(diǎn)到直線的距離，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意．
∴面積的最大值是．
9．(2024·全國(guó)高三月考())如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，原點(diǎn)為，橢圓的動(dòng)弦過焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，弦的中點(diǎn)為，橢圓在點(diǎn)處的兩切線的交點(diǎn)為.
(1)求證：三點(diǎn)共線；
(2)求的最小值.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)橢圓的右焦點(diǎn)為，
設(shè)所在的直線的方程為，且
聯(lián)立方程組可得：
則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所在的直線的方程為，
設(shè)在點(diǎn)處的切線為：，與橢圓聯(lián)立后由，可得，整得：橢圓在處的切線方程為，，
聯(lián)立方程組，
解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
故三點(diǎn)共線.
(2)由(1)可知，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.
10．(2024·浙江高三其他模擬)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線：于點(diǎn)，，且．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求的最大值．
【答案】(1)；(2)2．
【解析】(1)設(shè)，，，
則，解得，
設(shè)直線，聯(lián)立方程，得得，
由根與系數(shù)的關(guān)系知，，所以，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(2)由(1)知，，．
易知，，
所以，
則．
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即的最大值是2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取
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