1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題29 弦長問題及長度和、差、商、積問題
【考點預測】
1、弦長公式的兩種形式
①若，是直線與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
②若，是直線與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
【題型歸納目錄】
題型一：弦長問題
題型二：長度和問題
題型三：長度差問題
題型四：長度商問題
題型五：長度積問題
題型六：長度的范圍與最值問題
題型七：長度的定值問題
【典例例題】
題型一：弦長問題
例1．（2022·北京八中高三階段練習）已知為橢圓上任意一點，為左?右焦點，為中點.如圖所示：若，離心率.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知直線經(jīng)過且斜率為與橢圓交于兩點，求弦長的值.
例2．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·全國·高三專題練習）過橢圓的左焦點作傾斜角60°的直線，直線與橢圓交于A，B兩點，則______．
例4．（2022·北京·高三開學考試）已知橢圓C：（其中）的離心率為，左右焦點分別為，.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點作斜率為k的直線與橢圓C交于不同的A，B兩點，過原點作AB的垂線，垂足為D.若點D恰好是與A的中點，求線段AB的長度.
題型二：長度和問題
例5．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預測）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，橢圓的長軸長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，交拋物線于兩點，請問是否存在實常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
例6．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線E：的焦點為F，點在拋物線E上，且的面積為（O為坐標原點）.
(1)求拋物線E的方程；
(2)過焦點F的直線l與拋物線E交于A?B兩點，過A?B分別作垂直于l的直線AC?BD，分別交拋物線于C?D兩點，求的最小值.
例7．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓經(jīng)過點，且橢圓的離心率，過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點及、．
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：為定值；
(3)求的最小值．
例8．（2022·全國·高三專題練習（理））已知為拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于兩點，直線與交于兩點，則的是小值為（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·青海·模擬預測（理））已知橢圓C：，圓O：，若圓O過橢圓C的左頂點及右焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓相交于點A，B，D，E，試求的取值范圍．
題型三：長度差問題
例10．如圖，已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點，點為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且．參考答案
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線交拋物線于，兩點，交橢圓于，兩點，，，依次排序），且，求直線的方程．
例11．已知橢圓的一個焦點為，，且，在橢圓上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知垂直于軸的直線交于、兩點，垂直于軸的直線交于、兩點，與的交點為，且，問：是否存在兩定點，，使得為定值？若存在，求出，的坐標，若不存在，請說明理由．
例12．已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且經(jīng)過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知斜率大于0且過點的直線與橢圓及拋物線自上而下分別交于，，，，如圖所示，若，求．
題型四：長度商問題
例13．（2022·北京·人大附中模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別為．過點的直線與橢圓交于兩點，過點作的垂線交橢圓于兩點，的周長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)求的取值范圍．
例14．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓，，分別為左右焦點，點，在橢圓E上.
(1)求橢圓E的離心率；
(2)過左焦點且不垂直于坐標軸的直線l交橢圓E于A，B兩點，若的中點為M，O為原點，直線交直線于點N，求取最大值時直線l的方程.
例15．（2022·陜西·安康市教學研究室三模（文））已知橢圓長軸的頂點與雙曲線實軸的頂點相同，且的右焦點到的漸近線的距離為．
(1)求與的方程；
(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，且經(jīng)過點，與交于、兩點，與交于、兩點，求．
例16．（2022·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，
(1)求圓心的軌跡方程
(2)若過點且斜率的直線與交與兩點，線段的垂直平分線交軸與點，證明的值是定值.
例17．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，M為雙曲線C上的任一點，且點M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為，
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設過點F且與坐標軸不垂直的直線l與雙曲線C相交于點P，Q，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點B，求的值．
例18．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為，過點F與x軸垂直的直線與雙曲線C交于M，N兩點，且.
(1)求C的方程；
(2)過點的直線與雙曲線C的左?右兩支分別交于D，E兩點，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點，若，求實數(shù)的取值范圍.
例19．（2022·湖南·高三階段練習）已知橢圓為右焦點，直線與橢圓C相交于A，B兩點，取A點關于x軸的對稱點S，設線段與線段的中垂線交于點Q．
(1)當時，求；
(2)當時，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．
例20．（2022·浙江·杭師大附中模擬預測）已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點，橢圓的長軸長為．
(1)記橢圓與拋物線的公共弦為，求；
(2)P為拋物線上一點，為橢圓的左焦點，直線交橢圓于A，B兩點，直線與拋物線交于P，Q兩點，求的最大值．
例21．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓E：的離心率為，，為其左、右焦點，左、右頂點分別為A，B，過且斜率為k的直線l交橢圓E于M，N兩點（異于A，B兩點），且的周長為8．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為橢圓上一點，O為坐標原點，，求的取值范圍．
題型五：長度積問題
例22．（2022·全國·高三專題練習）已知動圓M經(jīng)過定點，且與圓相內切．
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)設點T在上，過點T的兩條直線分別交軌跡C于A，B和P，Q兩點，且，求直線AB的斜率和直線PQ的斜率之和．
例23．（2022·河北·高三期中）在平面直角坐標系中，已知橢圓的上頂點，左、右焦點分別為、，是周長為的等腰直角三角形.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點，且互相垂直的直線、分別交橢圓于、兩點及、兩點.
①若直線過左焦點，求四邊形的面積；
②求的最大值.
例24．已知橢圓的右焦點為，過的直線交橢圓于、兩點，且，求直線的斜率的取值范圍．
例25．已知橢圓，橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點、的距離之和為4，且的最大值為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過橢圓右焦點的直線交橢圓于，兩點，求的取值范圍．
例26．（2022·全國·南京外國語學校模擬預測）已知拋物線：，為其焦點，過的直線與交于不同的兩點．
(1)若直線斜率為3，求；
(2)如圖，在點處的切線與在點處的切線交于點，連接，證明：．
例27．如圖，已知拋物線，點，，，，拋物線上的點，，過點作直線的垂線，垂足為．
（Ⅰ）求直線斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求的最大值．
例28．（2022·全國·高三專題練習）設橢圓的左，右焦點分別為，其離心率為，且點在C上.
(1)求C的方程；
(2)O為坐標原點，P為C上任意一點.若M為的中點，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.
例29．（2022·新疆昌吉·二模（文））“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學內容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如下圖1）
步驟1：設圓心是E，在圓內異于圓心處取一點，標記為F；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點F；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；
步驟4：不停重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕（如圖2）．
已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓．若取半徑為4的圓形紙片，設定點F到圓心E的距離為2，按上述方法折紙．
(1)以點F，E所在的直線為x軸，線段EF的中垂線為y軸，建立坐標系，求折痕所圍成的橢圓C（即圖1中M點的軌跡）的標準方程．
(2)如圖3，若直線m：與橢圓C相切于點P，斜率為的直線n與橢圓C分別交于點A，B（異于點P），與直線m交于點Q．證明：，，成等比數(shù)列．
例30．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））已知橢圓 C：，右焦點為 F(，0) ，且離心率為 ．
(1)求橢圓 C 的標準方程；
(2)設 M，N 是橢圓 C 上不同的兩點，且直線 MN 與圓 O：相切，若 T 為弦 MN的中點，求|OT||MN|的取值范圍．
例31．（2022·山西·忻州一中高三階段練習）已知雙曲線的離心率是，點是雙曲線的一個焦點，且點到雙曲線的一條漸近線的距離是2.
(1)求雙曲線的標準方程.
(2)設點在直線上，過點作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線交于兩點.若直線與直線的傾斜角互補，證明：.
題型六：長度的范圍與最值問題
例32．（2022·上海市復興高級中學高三開學考試）已知焦點在軸上，中心在坐標原點的橢圓的離心率為，且過點．直線與圓(其中)相切于點A．
(1)求橢圓的方程；
(2)若，直線與橢圓交于兩點，求的最大值；
(3)若直線與橢圓有且只有一個交點，且交點為，求的最大值．
例33．（2022·全國·高三專題練習）如圖，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，過拋物線焦點F且斜率不為0的直線l與拋物線交于A，B兩點，連接交橢圓E于點C，連接交橢圓E于點D，記直線的斜率分別為．
(1)求點P的坐標并確定當為常數(shù)時的值；
(2)求取最大值時直線l的方程．
例34．（2022·海南華僑中學模擬預測）已知橢圓，左焦點為，點在橢圓上．
(1)求橢圓的標準方程．
(2)若直線和橢圓交于兩點，設點為線段的中點，為坐標原點，求線段長度的取值范圍．
例35．（2022·四川省巴中中學模擬預測（文））已知橢圓：的左、右頂點分別為、，點在橢圓上，且直線的斜率與直線的斜率之積為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若圓的切線與橢圓交于、兩點，求的最大值及此時直線的斜率．
例36．（2022·安徽·高三開學考試）已知為坐標原點，橢圓過點 ，記線段的中點為．
(1)若直線的斜率為 3 ，求直線的斜率;
(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．
例37．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且過點．
(1)求的方程；
(2)若是上兩點，直線與圓相切，求的取值范圍．
例38．（2022·全國·高三階段練習（文））已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，在橢圓E上任取一點P，的周長為．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設點P關于原點的對稱點為Q，過右焦點F2作與直線PQ垂直的直線交橢圓E于A、B兩點，求的取值范圍．
例39．（2022·河南洛陽·模擬預測（理））點P與定點的距離和它到定直線的距離之比為．
(1)求點P的軌跡方程；
(2)記點P的軌跡為曲線C，若過點P的動直線l與C的另一個交點為Q，原點O到l的距離為，求的取值范圍．
題型七：長度的定值問題例40．（2022·全國·高三專題練習）已知點，直線l：y=4，P為曲線C上的任意一點，且是P到l的距離的.
(1)求曲線C的方程；
(2)若經(jīng)過點F且斜率為的直線交曲線C于點M?N，線段MN的垂直平分線交y軸于點H，求證：為定值.
例41．（2022·天津二中模擬預測）如圖，橢圓的離心率為，其左頂點A在圓上．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)直線與橢圓E的另一個交點為P，與圓O的另一個交點為Q．
（i）當時，求直線的斜率；
（i i）是否存在直線，使得.若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由．
例42．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）已知平面內兩點，動點P滿足：.(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)設M，N是軌跡C上的兩點，直線與曲線相切.證明：M，N，三點共線的充要條件是.
例43．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的一個頂點為，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設過橢圓右焦點的直線交橢圓于兩點，過原點的直線交橢圓于兩點.若，求證：為定值.
例44．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點，，點M滿足．記M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設點P為x軸上的動點，經(jīng)過且不垂直于坐標軸的直線l與C交于A，B兩點，且，證明：為定值．

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