1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題28 輕松搞定圓錐曲線離心率十九大模型
【考點預測】
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關系．
2、利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
3、利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關系建立不等關系．
5、利用判別式建立不等關系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．
7、利用基本不等式，建立不等關系．
二、函數(shù)法：
1、根據(jù)題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數(shù)關系式；
2、通過確定函數(shù)的定義域；
3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．
三、坐標法：
由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．
【題型歸納目錄】
題型一：建立關于和的一次或二次方程與不等式
題型二：圓錐曲線第一定義
題型三：圓錐曲線第二定義
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）
題型五：利用數(shù)形結合求解
題型六：利用正弦定理
題型七：利用余弦定理
題型八：內切圓問題
題型九：橢圓與雙曲線共焦點題型十：利用最大頂角
題型十一：基本不等式
題型十二：已知范圍
題型十三：
題型十四：中點弦
題型十五：已知焦點三角形兩底角
題型十六：利用漸近線的斜率
題型十七：坐標法
題型十八：利用焦半徑的取值范圍
題型十九：四心問題
【典例例題】
題型一：建立關于和的一次或二次方程與不等式
例1．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是________．
例2．（2022·四川·高三階段練習（理））已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別是，，過右焦點且不與x軸垂直的直線交C的右支于A，B兩點，若，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·湖北·高三開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作直線與的左、右兩支分別交于兩點，且是以為頂角的等腰直角三角形，若的離心率為，則（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項，則圓錐曲線的離心率是（ ）
A．或B．C．D．或
例5．（2022·江西·高三開學考試（文））設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
題型二：圓錐曲線第一定義
例6．（2022·重慶八中高三開學考試（理））設橢圓E:1(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),點A(﹣c,c)為橢圓E內一點,若橢圓E上存在一點P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為（ ）
A．[,1)B．[,]C．[,]D．[,]
例7．（2022·浙江·高三開學考試）已知分別為橢圓的左?右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高三階段練習）設雙曲線的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上一點，且，若的面積為4，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．2C．3D．
例9．（2022·貴州貴陽·高三開學考試（理））已知雙曲線的左焦點為， 點在雙曲線的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 則雙曲線的離心率是_____．
例10．（2022·全國·高三專題練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P，設的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．2B．C．D．2
題型三：圓錐曲線第二定義
例11．（2022·全國·高三專題練習（文））古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（ ）
A．B．C．D．5
例12．（2022·北京石景山·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，為左支上一點，到左準線的距離為，若、、成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例13．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例14．（2022·四川遂寧·二模（理））已知雙曲線（ ）的離心率為4，過右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點H，若，則=（ ）
A．14B．16C．18D．20
例15．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若，則C的離心率為( )A．B．C．2D．
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）
例16．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
例17．（2022·全國·高三專題練習）已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例18．（2022·全國·高三專題練習（理））橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例19．（2022·湖南郴州·高二期末）雙曲線的左右頂點為，過原點的直線與雙曲線交于兩點，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_________．
例20．（2022·云南·羅平縣第一中學高二開學考試）已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
例21．（2022·全國·高二課時練習）已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點，且點A，B連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
題型五：利用數(shù)形結合求解
例22．（2022·廣西·模擬預測（文））如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，從發(fā)出的光線經過圖2中的兩點反射后，分別經過點和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例23．（2022·廣西柳州·模擬預測（理））如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例24．（2022·四川·成都七中模擬預測（理））已知雙曲線（，）的左，右焦點分別是，，點是雙曲線右支上異于頂點的點，點在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．4C．5D．6
例25．（2022·全國·二模（理））已知雙曲線與橢圓．過橢圓上一點作橢圓的切線l，l與x軸交于M點，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例26．（2022·全國·模擬預測（文））已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過的直線l交雙曲線C于P，Q兩點且使得．A為左支上一點且滿足，，的面積為，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
例27．（2022·山東濰坊·三模）已知雙曲線的左，右頂點分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點為，直線交的右支于點，若△是等腰三角形，且的內角平分線與軸平行，則的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
例28．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預測）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．2
C．D．
題型六：利用正弦定理
例29．（2022·全國·高三專題練習）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例30．（2022·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
例31．（2022·江蘇·揚州中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
例32．（2022·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
題型七：利用余弦定理
例33．（2022·全國·高三專題練習）橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例34．（2022·河北廊坊·高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點，且，若關于平分線的對稱點在上，則的離心率為________.
例35．（2022·全國·高三專題練習）橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例36．（2022·全國·高三專題練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．2
C．D．
例37．（2022·河南·通許縣第一高級中學模擬預測（文））已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與的左、右兩支分別交于點，若是邊長為的等邊三角形，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
題型八：內切圓問題
例38．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線上一點，且（為坐標原點），若內切圓的半徑為，則C的離心率是（ ）
A．B．C．D．
例39．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，經過的直線交橢圓于，，的內切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
例40．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）已知是橢圓的左?右焦點，點是橢圓上的一個動點，若的內切圓半徑的最大值是，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例41．（2022·湖北武漢·模擬預測）已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，點在雙曲線右支上運動（不與頂點重合），設與雙曲線的左支交于點，的內切圓與相切于點.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
例42．（2022·浙江·模擬預測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，M為右支上一點，的內切圓圓心為Q，直線交x軸于點N，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例43．（2022·內蒙古·赤峰二中模擬預測（文））已知、分別為雙曲線的左、右焦點，，是軸正半軸上一點，線段交雙曲線左支于點，若，且的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
例44．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預測）已知點P為雙曲線一點（點P在第一象限），點分別為雙曲線的左，右焦點，的內切圓的半徑為1．圓心為點I，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例45．（2022·江蘇南通·模擬預測）在平面直角坐標系中，分別是雙曲線C：的左，右焦點，過的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點，點在軸上，滿足，且經過的內切圓圓心，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
題型九：橢圓與雙曲線共焦點
例46．（2022·甘肅省民樂縣第一中學三模（理））設，為橢圓與雙曲線的公共焦點，，分別為左?右焦點，與在第一象限的交點為.若是以線段為底邊的等腰三角形，且雙曲線的離心率，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例47．（2022·重慶·模擬預測）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1與C2在第二?四象限的公共點，若AF1⊥BF1，設C1與C2的離心率分別為e1，e2，則8e1+e2的最小值為（ ）
A．6+B．C．D．
例48．（2022·湖南·長沙一中模擬預測）已知橢圓與雙曲線的焦點相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
例49．（2022·河南鄭州·一模（文））已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是在第二象限的公共點.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例50．（2022·河南鄭州·一模（理））已知 是橢圓與雙曲線的公共焦點，P 是它們的一個公共點，且| PF2 |?| PF1 |，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．D．8
例51．（2022·江西·模擬預測（理））已知為橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的公共點，且分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
例52．（2022·云南·一模（理））已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．1
例53．（2022·甘肅白銀·模擬預測（理））已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是，在第二象限的公共點.若，則的離心率為
A．B．C．D．
例54．（2022·山東日照·二模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的值為（ ）
A．1B．C．4D．16
例55．（2022·陜西省榆林中學三模（理））橢圓與雙曲線共焦點，，它們在第一象限的交點為，設，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（ ）
A．B．
C．D．
題型十：利用最大頂角
例56．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓：，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例57．（2022·全國·高二專題練習）設A，B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例58．（2022·全國·模擬預測）已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
例59．（2022·全國·高三專題練習）設、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
例60．（2022·北京豐臺二中高三階段練習）已知，分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.
例61．（2022·廣東·廣州市真光中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
題型十一：基本不等式例62．（2022·全國·高三專題練習）設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例63．（2022·江蘇南京·高三階段練習）設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例64．（2022·山西運城·高三期末（理））已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
例65．（2022·四川成都·高三開學考試（文））已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點，過點F作軸交雙曲線于第一象限內的點A，點B與點A關于原點對稱，連接AB，BF，當取得最大值時，雙曲線的離心率為______．
例66．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右頂點為、，若該雙曲線上存在點，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為__________．
題型十二：已知范圍
例67．（2022·四川省南充市白塔中學高三開學考試（理））已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，為上頂點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例68．（2022·全國·高二專題練習）已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例69．（2022·全國·高三開學考試（理））設，分別是橢圓的左?右焦點，若橢圓E上存在點P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
例70．（2022·四川·高二期末（文））設，是橢圓C：的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例71．（2022·吉林·長春市第二實驗中學高二階段練習）已知、是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
題型十三：
例72．（2022·江蘇·海安縣實驗中學高二階段練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例73．（2022·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得，則該離心率e的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例74．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型十四：中點弦
例75．（2022·全國·高三開學考試（理））已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（ ）
A．B．C．D．
例76．（2022·福建·晉江市第一中學高三階段練習）已知橢圓，，過點P的直線與橢圓交于A，B，過點Q的直線與橢圓交于C，D，且滿足，設AB和CD的中點分別為M，N，若四邊形PMQN為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
例77．（2022·全國·高三開學考試（理））以原點為對稱中心的橢圓焦點分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點分別為，，若，，則直線的斜率為( )
A．B．C．D．
例78．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（ ）A．B．C．D．
例79．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓()的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點為，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．1
例80．（2022·全國·高三專題練習）過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
例81．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
例82．（2022·廣西·高三階段練習（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（ ）
A．B．C．D．或
例83．（2022·全國·高三專題練習）設直線與雙曲線交于，兩點，若是線段的中點，直線與直線（是坐標原點）的斜率的乘積等于，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
題型十五：已知焦點三角形兩底角例84．（2022·廣西·江南中學高二階段練習（文））已知，分別是橢圓：的左右兩個焦點，若在上存在點使，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例85．（多選題）（2022·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A．B．C．D．2
例86．（2022·全國·高三專題練習（理））已知雙曲線的左?右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例87．（2022·河南·商丘市第一高級中學高三開學考試（文））已知、分別為雙曲線C：的左、右焦點，O為原點，雙曲線上的點P滿足，且，則該雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
例88．（2022·全國·高三專題練習（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
題型十六：利用漸近線的斜率例89．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））已知點P是雙曲線（a>0，b>0）的漸近線上一點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，若|PF|的最小值為2a，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例90．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（文））定義：雙曲線為橢圓的“伴隨曲線”.已知點在橢圓C上，且橢圓C的伴隨曲線的漸近線方程為，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例91．（2022·天津市新華中學模擬預測）已知雙曲線，拋物線的準線經過的焦點且與交兩點，，若拋物線的焦點到的漸近線的距離為2，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
例92．（2022·江西·贛州市第三中學模擬預測（文））已知橢圓與雙曲線有公共的焦點，為右焦點，為坐標原點，雙曲線的一條漸近線交橢圓于點，且點在第一象限，若，則橢圓的離心率等于（ ）
A．B．C．D．
例93．（2022·吉林長春·模擬預測（文））已知點和是雙曲線C：的兩個焦點，過點作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為H，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例94．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學校三模（文））已知雙曲線及雙曲線，且的離心率為，若直線與雙曲線、都無交點，則的值是（ ）
A．B．C．D．
例95．（2022·江西·二模（文））已知雙曲線C：的左焦點為，點P在圓：上，若C的一條漸近線恰為線段FP的垂直平分線，則C的離心率為（ ）
A．3B．2C．D．
例96．（2022·山西呂梁·模擬預測（文））已知雙曲線的上頂點為P，（O為坐標原點），若在雙曲線的漸近線上存在點M，使得，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例97．（2022·新疆·二模（理））如圖．已知橢圓，雙曲線，若以橢圓的長軸為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，且橢圓與該漸近線的兩交點將線段三等分，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
題型十七：坐標法
例98．（2022·全國·高三專題練習）雙曲線：的左頂點為，右焦點為，動點在上.當時，.求雙曲線的離心率.
例99．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線的左?右焦點，A是其左頂點.若雙曲線上存在點P滿足，則該雙曲線的離心率為___________.
例100．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學高三開學考試（理））已知雙曲線的右焦點為F，P為C右支上一點，與x軸切于點F，與y軸交于A，B兩點，若為直角三角形，則C的離心率為______.
例101．（2022·山東青島·高三開學考試）已知雙曲線的左?右焦點分別為，若線段上存在點，使得線段與的一條漸近線的交點滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.
例102．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓，直線與橢圓C交于A，B兩點，O為原點，若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例103．（2022·河南洛陽·三模（文））已知橢圓的左?右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點為，的平分線與軸交于點，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.
題型十八：利用焦半徑的取值范圍
例104．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左?右焦點分別為.若雙曲線的右支上存在點，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.
例105．（2022·吉林長春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
例106．（2022·江蘇·金沙中學高二階段練習）設雙曲線的焦距為，左、右焦點分別是，，點P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例107．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
例108．（2022·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點，使得，其中分別是的左、右焦點，則的離心率的取值范圍為______.
例109．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
題型十九：四心問題
例110．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓）的左?右焦點分別為和為C上一點，且的內心為，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例111．（2022·河北衡水·高三階段練習（理））已知坐標平面中，點，分別為雙曲線（）的左、右焦點，點在雙曲線的左支上，與雙曲線的一條漸近線交于點，且為的中點，點為的外心，若、、三點共線，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．3C．D．5
例112．（2022·江蘇·高二單元測試）設為雙曲線的右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，線段的中點為，的外心為，且滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
例113．（2022·江西南昌·三模（理））已知雙曲線：的左、右焦點分別是，，是雙曲線右支上一點，且，和分別是的內心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．3D．4
例114．（2022·甘肅酒泉·模擬預測（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為右支上一點，若的重心為，則的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
例115．（2022·全國·高三專題練習（理））已知橢圓：的左、右焦點分別是，，是橢圓上的動點，和分別是的內心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為( )
A．B．C．D．
例116．（2022·重慶·西南大學附中模擬預測）已知，分別為橢圓的左、右焦點，點P在第一象限內，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點M，若，則橢圓C的離心率為（ ）A．B．
C．D．
例117．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，，M為C上一點，且的內心為，若的面積為4b，則（ ）
A．B．C．D．
例118．（2022·新疆·三模（理））點P是雙曲線C：右支上一點，，分別是雙曲線C的左，右焦點，M為的內心，若雙曲線C的離心率，且，則（ ）
A．B．C．1D．
例119．（2022·浙江·高三專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為為上不與左?右頂點重合的一點，為的內心，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例120．（2022·山東臨沂·模擬預測）平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點O，A，B，若的垂心為的焦點，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例121．（多選題）（2022·福建·莆田第九中學高三階段練習）瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）
A．B．C．D．
例122．（多選題）（2022·全國·高二專題練習）若雙曲線， 分別為左、右焦點，設點在雙曲線上且在第一象限的動點，點為的內心，點為的重心，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．點的運動軌跡為雙曲線的一部分
C．若，，則.
D．存在點，使得
例123．（2022·全國·高三專題練習）瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”，直線l與y軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構成集合M，且M恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率為－1，則該雙曲線的離心率可以是①，②，③，④，⑤，⑥.以上結論正確的是___________.
例124．（2022·四川達州·高二期末（文））雙曲線（，）的左焦點為，兩點在雙曲線的右支上，且關于軸對稱，為正三角形，坐標原點為的重心，則該雙曲線的離心率是___________.
例125．（2022·四川雅安·三模（文））已知橢圓的左右焦點分別為，P為C上異于左右頂點的一點，M為內心，若，則該橢圓的離心率是________．
例126．（2022·江西鷹潭·二模（理））已知雙曲線C：，直線與曲線C交于A，B兩點（點A在點B的上方），，點E在軸上，且軸，若的內心到軸的距離不小于，則雙曲線C離心率的取值范圍為___________．
例127．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為___________.

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