1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭(zhēng)取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專題26 活用隱圓的五種定義妙解壓軸題
【題型歸納目錄】
題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)
題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值
題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°
題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值
題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值
【典例例題】
題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)
例1．（2022?和平區(qū)校級(jí)月考）平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，且，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值為
A．B．C．D．
【解析】解：由題可知，則到，，三點(diǎn)的距離相等，
所以是的外心，
又，
變形可得，
所以，同理可得，，
所以是的垂心，
所以的外心與垂心重合，
所以是正三角形，且是的中心；
由，解得，
所以的邊長(zhǎng)為；
如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則，，，，
可設(shè)，其中，，而，即是的中點(diǎn)，則，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為．
故選：．
例2．（2022春?溫州期中）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是
A．B．C．，D．
【解析】解：由是單位向量，且，則可設(shè)，，；
向量滿足，
，
，
即，
它表示圓心為，半徑為的圓；
又，，它表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，如圖所示：
且，
；
即的取值范圍是，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離大小關(guān)系，也考查了推理能力和計(jì)算能力，是綜合性題目．例3．（2022?延邊州一模）如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．，，
【解析】解：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為圓和圓相交，
兩圓圓心距，
由得，
解得：，即，，
故選：．
例4．（2022?花山區(qū)校級(jí)期末）設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的縱坐標(biāo)的取值范圍是
A．，B．C．D．
【解析】解：設(shè)，
在中，由正弦定理可得，，
，，
，
整理得，，
由題意知，，，．
當(dāng)時(shí)，取得最值，
即直線為圓的切線時(shí)取得最值．
．
故選：．
例5．（2022?廣元模擬）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值為 ．
【解析】解：平面內(nèi)，，，
，，，
可設(shè)，，，，
動(dòng)點(diǎn)，滿足，，
可設(shè)，，，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的最大值為．
故答案為：．
題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值
例6．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，且為常數(shù)）．下列結(jié)論中，正確的是
A．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)
B．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有三個(gè)
C．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)
D．當(dāng)為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)是有限個(gè)
【解析】解：以所在直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示
則，，，，，設(shè)，可得
，，
化簡(jiǎn)得：，即
配方，得（1）
當(dāng)時(shí)，方程（1）的右邊小于0，故不能表示任何圖形；
當(dāng)時(shí)，方程（1）的右邊為0，表示點(diǎn)，恰好是正三角形的重心；
當(dāng)時(shí)，方程（1）的右邊大于0，表示以為圓心，半徑為的圓
由此對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)，可得只有項(xiàng)符合題意
故選：．
例7．（2022?江蘇模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，圓，圓為實(shí)數(shù)）．若圓和圓上分別存在點(diǎn)，，使得，則的取值范圍為 ．
【解析】解：由題意，圓為實(shí)數(shù)），圓心為
圓上任意一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，，所以與圓有交點(diǎn)，
解得
，
故答案為：，
例8．（2022?通州區(qū)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，，為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為 ．
【解析】解：，在以為直徑的圓上，
不妨設(shè)，，
則，，
，
，
令，，則，．
，
令，，，
在，上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，
再令（a），，
顯然（a）在，上單調(diào)遞增，
故時(shí)，（a）取得最小值，
綜上，當(dāng)，時(shí)，取得最小值25．
故的最小值為5．
故答案為：5．
例9．（2022?鹽城三模）已知，，，四點(diǎn)共面，，，，則的最大值為 ．
【解析】解：以為原點(diǎn)，以直線為軸建立平面坐標(biāo)系，
設(shè)，，，，．
，，
，
點(diǎn)在以，以為半徑的圓上，
的最大距離為．
故答案為：10．
例10．（2022?大武口區(qū)校級(jí)期末）已知圓，點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 ，最小值為 ．
【解析】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值74，
當(dāng)時(shí)，即，取最小值34，
故答案為：74，34．
例11．（2022?大觀區(qū)校級(jí)期中）正方形與點(diǎn)在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長(zhǎng)為1，且，求的取值范圍．
【解析】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，
設(shè)點(diǎn)，則由，得，
整理得，
即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
圓心到點(diǎn)的距離為，
所以，，
所以的取值范圍是，．
例12．已知，點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值74，
此時(shí)，，
點(diǎn)坐標(biāo)，
當(dāng)時(shí)，即，取最小值34，
此時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)，．
題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°
例13．（2022春?湖北期末）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是
A．B．C．D．
【解析】解：，，
設(shè)，，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，
，
故在以為直徑的圓上，
，在圓上，
的最大值為圓的直徑．
故選：．
例14．（2022春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）已知圓和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由題意圓和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，，使得，可得，
，
，
故選：．
例15．（2022?荊州區(qū)校級(jí)期末）已知，是圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則的最小值為
A．B．C．D．
【解析】解：如圖所示：
設(shè)是線段的中點(diǎn)，則，
，，
于是，
在中，，，
，由勾股定理得：
，
整理得，
故的軌跡是以，為圓心，為半徑的圓，
故，
故，
故選：．
例16．（2022?浙江期中）已知點(diǎn)，，若圓上存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是
A．4B．5C．6D．7
【解析】解：根據(jù)題意，圓，即；
其圓心為，半徑，
設(shè)的中點(diǎn)為，
又由點(diǎn)，，則，，
以為直徑的圓為，
若圓上存在一點(diǎn)，使得，則圓與圓有公共點(diǎn)，
又由，
即有且，
解可得：，即或，
即實(shí)數(shù)的最大值是6；故選：．
例17．（2022?彭州市校級(jí)月考）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是
A．，2 B．，4 C．，4 D．，2
【解析】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，
動(dòng)直線即，經(jīng)過定點(diǎn)，
動(dòng)直線和動(dòng)直線始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，
，．
由基本不等式可得，
即，可得．
故選：．
例18．（2022?安徽校級(jí)月考）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，
動(dòng)直線即，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)，
動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，始終垂直，
又是兩條直線的交點(diǎn)，，．
設(shè)，則，，
由且，可得，
，
，，，，
，，
，，
故選：．
例19．（2022?北京模擬）已知，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是 A．B．C．D．
【解析】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，
動(dòng)直線即，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)，
動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線滿足，兩直線始終垂直，
又是兩條直線的交點(diǎn)，，．
設(shè)，則，，
由且，可得，
則，
，，，
，，
故選：．
例20．（2022春?大理市校級(jí)期末）已知圓和兩點(diǎn)，，．若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最小值為
A．7B．6C．5D．4
【解析】解：，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，
故點(diǎn)是圓與圓的交點(diǎn)，
因此兩圓相切或相交，即，
解得．
的最小值為4．
故選：．
例21．（2022春?紅崗區(qū)校級(jí)期末）已知圓和兩點(diǎn)，，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值與最小值之差為
A．1B．2C．3D．4【解析】解：圓的圓心，半徑，
設(shè)在圓上，則，，
由，
可得，
即，
的最大值即為的最大值，等于．
的最小值即為的最小值，等于．
則的最大值與最小值之差為．
故選：．
例22．（2022?蘭州一模）已知圓和兩點(diǎn)，，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：圓，其圓心，，半徑為1，
圓心到的距離為2，
圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為3．
再由，以為直徑的圓和圓有交點(diǎn)，可得，故有，
，．
圓心，，直線的斜率，
直線的方程為
聯(lián)立：解得：．
故選：．
例23．（2022?海淀區(qū)校級(jí)三模）過直線上的點(diǎn)作圓的切線，若在直線上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)的圓的切線，，為切點(diǎn)）滿足，則的取值范圍是
A．，B．，
C．，，D．，，
【解析】解：圓，圓心為：，半徑為1，在直線上存在一點(diǎn)，使得過的圓的切線，，為切點(diǎn)）滿足，
在直線上存在一點(diǎn)，使得到的距離等于，
只需到直線的距離小于或等于，
故，解得，
故選：．
例24．（2022春?東陽(yáng)市校級(jí)期中）如圖，四邊形中，，，，，則的長(zhǎng)度的取值范圍是 ．
【解析】解：設(shè)，
顯然，
，
（其中，
，
，
綜上的長(zhǎng)度的取值范圍是，．
故答案為：，．
例25．（2022春?淮安校級(jí)期中）若實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，點(diǎn)在動(dòng)直線上的射影為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段長(zhǎng)度的最小值是 ．
【解析】解：實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，
，即，
可得動(dòng)直線恒過，
點(diǎn)在動(dòng)直線上的射影為，
，則在以為直徑的圓上，
此圓的圓心坐標(biāo)為，，即，
半徑，
又，，則點(diǎn)在圓外，
則，
故答案為：．
題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值
例26．（2022?長(zhǎng)治模擬）已知，是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量，滿足，則的最小值為 ．
【解析】解：，
，
的終點(diǎn)在以和的終點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則圓心為的終點(diǎn)，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，
其中，，的終點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，顯然當(dāng)交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)時(shí)，最小，
此時(shí)，．
故答案為：．
例27．（2022春?瑤海區(qū)月考）在平面四邊形中，連接對(duì)角線，已知，，，，則對(duì)角線的最大值為
A．27B．16C．10D．25
【解析】解：根據(jù)題意，建立如圖的坐標(biāo)系，則，，，
中點(diǎn)為，則，
設(shè)三點(diǎn)都在圓上，其半徑為，
在中，由正弦定理可得，即，
即，，則，
則的坐標(biāo)為，
故點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，10為半徑的圓上，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，此時(shí)；
故選：．
例28．（2022秋?沈河區(qū)校級(jí)期中）設(shè)向量，，滿足：，，，，則的最大值為
A．2B．C．D．1
【解析】解：由題意可得，，，，
，，，．
，，，
設(shè)，，，則，，
，．，、、、四點(diǎn)共圓，
，為該圓的半徑．
中，由正弦定理可得，
當(dāng)且僅當(dāng)是的平分線時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，，
故選：．
例29．（2022?閘北區(qū)一模）在平面內(nèi)，設(shè)，為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：為實(shí)常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．不確定
【解析】解：設(shè)，，，．
則，．
滿足：為實(shí)常數(shù)），
，，，
化為，
即
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓．
故選：．
例30．（2022?和平區(qū)校級(jí)一模）如圖，梯形中，，，，，和分別為與的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：以所在直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系
則梯形的高為，，，，，，，，．當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，則，，，．
于是，
當(dāng)時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，有兩解；
（2）當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，則，，，．
，
當(dāng)時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，有兩解；
（3）當(dāng)在上時(shí)，直線方程為，
設(shè)，，則，，，．
于是．
當(dāng)或時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，方程有兩解；
（4）當(dāng)在上時(shí)，由對(duì)稱性可知當(dāng)或時(shí)，方程有一解，
當(dāng)時(shí)，方程有兩解；
綜上，若使梯形上有8個(gè)不同的點(diǎn)滿足成立，
則的取值范圍是，，，，，．
故選：．
例31．（2022?寧城縣一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)，分別在邊，上，且，．如果對(duì)于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)使得成立，那么的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：以為軸，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，．
（1）若在上，設(shè)，．，．
，，，．
當(dāng)時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．
（2）若在上，設(shè)，．，．
，，．
當(dāng)或，有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．
（3）若在上，設(shè)，，．
，．．
當(dāng)或時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．
（4）若在上，設(shè)，，，．
，，．
當(dāng)或時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．
綜上，．
故選：．
例32．（2022?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在邊長(zhǎng)為8的正方形中，是的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，且，若對(duì)于常數(shù)，在正方形的邊上恰有6個(gè)不同的點(diǎn)滿足：，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【解析】解：以所在直線為軸，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖：
如圖，則，
（1）若在上，設(shè)，
，
，
，，，
當(dāng)時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解；
（2）若在上，設(shè)，，
，
，
當(dāng)或時(shí)有唯一解；當(dāng)時(shí)有兩解
（3）若在上，設(shè)，
，，
，
，，
當(dāng)時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．
（4）若在上，設(shè)，，
，，
，，
當(dāng)或時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．
綜上，在正方形的四條邊上有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，那么的取值范圍是
故答案為
題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值
例33．（2022·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）古希臘三大數(shù)學(xué)家之一阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中指出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且的點(diǎn)的軌跡是圓，已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A（，0），B（2，0），直線，曲線C上動(dòng)點(diǎn)P滿足，則曲線C與直線l相交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最短長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．2D．2
【答案】C
【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則，
由得：
化簡(jiǎn)后得：曲線C：，故P點(diǎn)軌跡為圓，
又可化為
直線l過定點(diǎn)A（1，2），
則圓心到直線的距離的最大值為|OA|，此時(shí)|MN|的長(zhǎng)度最短．
所以|MN|的最短長(zhǎng)度為．
故選：C．
例34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一．指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．【答案】D
【解析】設(shè)，，所以，由，
所以，因?yàn)榍?，所以?br>整理可得，又動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因?yàn)?，所以的最小值?br>當(dāng)M在位置或時(shí)等號(hào)成立．
故選：D
例35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（公元前262年~公元前190年），古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽(yù)為古希臘三大數(shù)學(xué)家．阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個(gè)著名問題：已知平面上兩點(diǎn)A，B，則所有滿足（，且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓．已知平面內(nèi)的兩個(gè)相異定點(diǎn)P，Q，動(dòng)點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為C，若與C無公共點(diǎn)的直線l上存在點(diǎn)R，使得的最小值為6，且最大值為10，則C的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意，M的軌跡C是圓，設(shè)其圓心為點(diǎn)D，半徑為r，顯然直線l與圓C相離，令點(diǎn)D到直線l的距離為d，由圓的性質(zhì)得：，解得，，
所以C的長(zhǎng)度為．
故選：B
例36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】依題意，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，設(shè)，
因，則，化簡(jiǎn)整理得：，
因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，與點(diǎn)A，B可構(gòu)成三角形，
當(dāng)點(diǎn)P到直線（軸）的距離最大時(shí)，的面積最大，
顯然，點(diǎn)P到軸的最大距離為，此時(shí)，，
所以面積的最大值是．
故選：C
例37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與?的距離之比（且），那么點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為，則的值為（ ）
A．B．C．0D．4
【答案】B【解析】設(shè)，則，即，又，所以，即，
整理得，所以，解得，所以，
故選：B．
例38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為（，且），那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，設(shè)，，
因?yàn)?，所以，即?br>所以點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
因?yàn)?，其中可看作圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
所以，
所以，即的最大值為，
故選：A．
例39．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已經(jīng)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)軌跡與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相離C．內(nèi)切D．外切【答案】D
【解析】由已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，得
即動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓：，
，兩圓外切．
故選： D．
例40．（2022·河南省杞縣高中高三階段練習(xí)（理））古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)，，圓，在圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，，，
所以即，
所以，可得圓心，半徑，
由圓可得圓心，半徑，
因?yàn)樵趫A上存在點(diǎn)滿足，
所以圓與圓有公共點(diǎn)，
所以，整理可得：，
解得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：D．
例41．（2022·江蘇省江陰高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為___________________；若點(diǎn)為拋物線 上的動(dòng)點(diǎn)，在軸上的射影為，則的最小值為______．
【答案】 ；
【解析】設(shè)點(diǎn)，，
．
拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，由題意知，，
，．
故答案為：；．
例42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）被譽(yù)為古希臘“數(shù)學(xué)三巨匠”之一的數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)不同定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”據(jù)此請(qǐng)回答如下問題：
已知中，A為一動(dòng)點(diǎn)，為兩定點(diǎn)，且，，面積記為，若時(shí)，則______若時(shí)，則取值范圍為______．
【答案】 3
【解析】以作為原點(diǎn)，所在的直線作為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
若，即，則不妨設(shè)在正半軸上，則，
設(shè)的頂點(diǎn)，而，
則，化簡(jiǎn)可得：，
根據(jù)條件可知A不在直線上，則，即且，
所以A點(diǎn)的軌跡為圓除去點(diǎn)與，可得，
所以面積的最大值為，即，
同樣的，當(dāng)，，
則的頂點(diǎn)滿足，
化簡(jiǎn)可得，可得，又，則，即，
所以，解得，即取值范圍為．
故答案為：；．

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