最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點(diǎn)突破篇專(zhuān)題30 圓錐曲線三角形面積與四邊形面積題型全歸類(lèi)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書(shū)寫(xiě)規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專(zhuān)題30 圓錐曲線三角形面積與四邊形面積題型全歸類(lèi)
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1、三角形的面積處理方法
（1）底·高（通常選弦長(zhǎng)做底，點(diǎn)到直線的距離為高）
（2）水平寬·鉛錘高或
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為，，，三角形的面積為．
2、三角形面積比處理方法
（1）對(duì)頂角模型
（2）等角、共角模型
3、四邊形面積處理方法（1）對(duì)角線垂直
（2）一般四邊形
（3）分割兩個(gè)三角形
4、面積的最值問(wèn)題或者取值范圍問(wèn)題
一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一個(gè)函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過(guò)程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線段參與運(yùn)算，靈活使用割補(bǔ)法計(jì)算面積，盡可能降低計(jì)算量．
【題型歸納目錄】
題型一：三角形的面積問(wèn)題之底·高
題型二：三角形的面積問(wèn)題之分割法
題型三：三角形、四邊形的面積問(wèn)題之面積坐標(biāo)化題型四：三角形的面積比問(wèn)題之共角、等角模型
題型五：三角形的面積比問(wèn)題之對(duì)頂角模型
題型六：四邊形的面積問(wèn)題之對(duì)角線垂直模型
題型七：四邊形的面積問(wèn)題之一般四邊形
【典例例題】
題型一：三角形的面積問(wèn)題之底·高
例1．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求面積最大時(shí)直線的方程．
例2．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（理））已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，設(shè)直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.
例3．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)若直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且的面積是，求證：．
例4．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
例5．（2022·黑龍江·鶴崗一中高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，橢圓：的離心率是，短軸長(zhǎng)為，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過(guò)橢圓與拋物線的公共焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)記的面積為，的面積為，若，求直線在軸上截距的范圍．
例6．（2022·湖南·新邵縣教研室高三期末（文））已知圓，圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切.為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若求圓心的軌跡的方程.(2)若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，以及取得最大值時(shí)直線的方程.
題型二：三角形的面積問(wèn)題之分割法
例7．（2022·河北·三河市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且C的左、右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線與x軸交于點(diǎn)M，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求面積的最大值．
例8．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)若點(diǎn)在橢圓上，右頂點(diǎn)為，且滿(mǎn)足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.
例9．（2022·全國(guó)·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.
例10．（2022·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R，試問(wèn)的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型三：三角形、四邊形的面積問(wèn)題之面積坐標(biāo)化
例11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點(diǎn)分別是和.
（1）求四邊形的面積；
（2）若對(duì)于更一般的雙曲線，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點(diǎn)分別是和.請(qǐng)問(wèn)四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
例12．（2022·廣西桂林·高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知P為橢圓（）上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，且橢圓離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，求面積的最大值
例13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）分別是橢圓于的左、右焦點(diǎn).
(1)若Р是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)設(shè)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).求四邊形AEBF面積的最大值.
例14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：＋＝1，過(guò)A(2，0)，B(0，1)兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程及離心率；
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求四邊形ABNM的面積.
例15．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且離心率為；直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)若過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.
例16．（2022·浙江·高三競(jìng)賽）已知直線與橢圓：交于、兩點(diǎn)，直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn).
（1）求面積的最大值；
（2）設(shè)為線段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.
例17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，求面積的最大值．
例18．（2022·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓C：（）的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求（O為原點(diǎn)）面積的最大值.
題型四：三角形的面積比問(wèn)題之共角、等角模型
例19．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線W：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，右頂點(diǎn)是M，且，．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)（B在A、Q之間），若點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．
例20．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，．若M，N分別為直線AP，BQ與y軸的交點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的值．
例21．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓C的左頂點(diǎn)A與y的負(fù)半軸交于點(diǎn)E，連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓的上頂點(diǎn)B，與x的正半軸交于點(diǎn)F，記四邊形的面積為，的面積為，，求的取值范圍．
例22．（2022·上海金山·二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線分別交橢圓于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).
(1)求的周長(zhǎng)；
(2)當(dāng)垂直于軸時(shí)，求直線的方程；
(3)記與的面積分別為，求的最大值.
例23．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線（的斜率為正數(shù)）和，直線與以短軸為直徑的圓和橢圓分別相交于點(diǎn)，，直線與圓和橢圓分別相交于點(diǎn)，，且的面積是面積的倍，求直線和的方程．
例24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，拋物線在點(diǎn)處的切線l交橢圓于點(diǎn)M，N，交橢圓的短軸于點(diǎn)C，直線交x軸于點(diǎn)D．
(1)若點(diǎn)C是的中點(diǎn)，求p的值；
(2)設(shè)與的面積分別為，求的最大值．
例25．（2022·河北邯鄲·二模）已知點(diǎn)P（2，）為橢圓C：）上一點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，且△PAB的面積為5．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的直線l與C相交于點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在x軸上方），AG，BH與y軸分別交于點(diǎn)M，N，記，分別為△AOM，△AON（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，證明為定值．
例26．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)（理））已知橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同的離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)A為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N兩點(diǎn)，設(shè)與的面積分別為，求的取值范圍．
例27．（2022·江西鷹潭·二模（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓上，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為Q且.
(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；
(2)直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，點(diǎn)T為線段AB的中點(diǎn).線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.
題型五：三角形的面積比問(wèn)題之對(duì)頂角模型
例28．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，焦距為2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)滿(mǎn)足軸，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)的直線交橢圓C于A，B（異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，直線分別交直線于M，N，記，求的最小值．
例29．（2022·上海·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；
(2)設(shè)直線與第（1）問(wèn)的曲線C交于不同的兩點(diǎn)E、F，以線段為直徑作圓D，圓心為D，設(shè)是圓D上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，求的最大值；
(3)設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
例30．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)P，且的面積為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S，與曲線C交于點(diǎn)E，軸，過(guò)點(diǎn)S的另一直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若，求所在的直線方程．
例31．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線PQ過(guò)F交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的比值；
(2)如圖，線段PQ的垂直平分線與PQ交于點(diǎn)M，與x軸，y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，求的取值范圍．
例32．（2022·遼寧鞍山·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并注明x的范圍；
(2)設(shè)直線AP與BP分別與直線交于M，N，問(wèn)是否存在點(diǎn)P使得與面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.
題型六：四邊形的面積問(wèn)題之對(duì)角線垂直模型
例33．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.求四邊形面積的最小值.
例34．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為是上一動(dòng)點(diǎn)，的最大面積為.
(1)求的方程；
(2)若直線與交于兩點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.
例35．（2022·山東青島·高三開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.
(1)求軌跡的方程；
(2)不過(guò)圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn).
（i）若直線交軸于點(diǎn)，證明：為一個(gè)定點(diǎn)；
（ii）若過(guò)圓心的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，求四邊形面積的最小值.
題型七：四邊形的面積問(wèn)題之一般四邊形
例36．（2022·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）已知橢圓，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的最大值為．
(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（，兩點(diǎn)在直線的異側(cè)），若四邊形的面積為，求直線的方程．
例37．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓上有三點(diǎn)，，滿(mǎn)足，證明：四邊形的面積為定值．
例38．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的內(nèi)接正方形的面積為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
(1)求C的方程．
(2)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率大于零．過(guò)C的左焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為A，過(guò)C的右焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為B，試問(wèn)在C內(nèi)是否存在梯形，使得梯形的面積有最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
例39．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）O為坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，已知，切．
(1)求的方程；
(2)過(guò)作的不垂直于y軸的弦，M為的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值．
例40．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為M，兩點(diǎn)為曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的取值范圍.
例41．（2022·湖南·高考真題（理））如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作的不垂直于軸的弦,為的中點(diǎn),當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí),求四邊形面積的最小值.

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