圓錐曲線中的定值、定點、定直線問題都是研究某些幾何元素與幾何量動中有靜,變化中蘊含不變等規(guī)律的問題,是高考對直線與圓錐曲線綜合考查的熱點之一,題目具有一定的綜合性,難度中等或偏上. 定值、定點、定直線問題雖考查角度各不相同,但解決問題的思路基本是一致的,首先是解決好參數(shù)問題,通過引進參數(shù)、運用參數(shù)、消去參數(shù)解決相關(guān)問題;其次是要善于運用特殊化方法,即先從問題的特殊情況入手,發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)問題結(jié)論,然后再證明一般情形成立,從而解決定值、定點、定直線問題.
(1)求橢圓C的標準方程;(2)如圖,若一條斜率不為0的直線l過點(-1,0)與橢圓交于M,N兩點,橢圓C的左、右頂點分別為A,B,直線BN的斜率為k1,直線AM的斜率為k2,
規(guī)律方法求解定值問題的基本方法
例2(2024·山東聊城一模)已知拋物線C關(guān)于y軸對稱,頂點在原點,且經(jīng)過點P(2,2),動直線l:y=kx+b不經(jīng)過點P且與拋物線C相交于A,B兩點,直線PA和PB的斜率之積等于3.(1)求拋物線C的標準方程;(2)證明:直線l過定點,并求出定點坐標.(1)解 依題意可設(shè)拋物線C:x2=2py,由點P(2,2)在拋物線C上,故4=2p×2,解得p=1,故拋物線C的標準方程為x2=2y.
則Δ=4k2+8b>0,且x1+x2=2k,x1x2=-2b.于是有-2b+2×2k=8,化簡得b=2k-4.此時Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,則Δ>0有解,因此直線l的方程化為y=k(x+2)-4,即直線l過定點(-2,-4).
規(guī)律方法 圓錐曲線的定點問題的求解策略
(1)求橢圓L的標準方程;(2)若直線AD,BC的斜率相等,證明:點P在一條定直線上運動.
(2)證明 設(shè)直線AD,BC的斜率為k(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2),P(x0,y0).
規(guī)律方法解決圓錐曲線中定直線問題的方法
雙曲線C相交于A,B兩點,過點A作直線l:y=t的垂線AE,E為垂足.(1)求雙曲線C的標準方程.(2)是否存在實數(shù)t,使得直線EB過定點P?若存在,求t的值及定點P的坐標;若不存在,說明理由.
(2)存在.假設(shè)存在實數(shù)t,使得直線EB過定點P.由對稱性可知,點P在y軸上.設(shè)直線AB:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則E(x1,t).
(1)求雙曲線C的方程;(2)已知直線l與雙曲線C交于M,N兩點(均與點P不重合),與直線x=2交于點Q,且點M,N在直線x=2的兩側(cè),若|MP|·|NQ|=|MQ|·|NP|,線段MN的中點為R,證明:點R在一條定直線上.
化簡得2k2+(m+1)k+m-1=0,即(k+1)(m+2k-1)=0,而直線l不過點P,故2k+m≠1,故k=-1.

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