1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭(zhēng)取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
第32講 解析幾何中長(zhǎng)度面積和、差、商、積
【典型例題】
例1．如圖．已知拋物線，直線過點(diǎn)與拋物線相交于，兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)，處的切線相交于點(diǎn)，過，分別作軸的平行線與直線上交于，兩點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：點(diǎn)在直線上，且；
（Ⅱ）記，的面積分別為和．求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)椴黄叫杏谳S，設(shè)直線的方程為，，，，，
因?yàn)?，不妨令，則，
所以，所以，
所以過點(diǎn)的切線方程為，
整理得，
同理，過點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立兩切線方程，解得，，
又，得，
所以，，
代入可得，滿足，
所以點(diǎn)在直線上，
又，，
所以，
所以為，的中點(diǎn)，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，，
所以，同理，
所以
，
當(dāng)時(shí)，有最小值．
例2．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，△面積最大值為2，離心率．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立．如果存在．求出的值．如果不存在，說明理由．
【解析】解：（1）由題意可得
解得，，．
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）如圖，由（1）可知．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，
則，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，
則直線的方程為，，，．
聯(lián)立，
整理得，
則，
從而，
故，
由題意可得，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得恒成立．
例3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，且其兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸頂點(diǎn)相連形成的四邊形為正方形．過點(diǎn)，且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為，試判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值．若存在，求出的值，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】解：（1）由題意可知，，且，又因?yàn)?，解得?br>所以橢圓的方程為；
（2）存在實(shí)數(shù)，使得為定值．理由如下：
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，故，
由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)的方程：，，，
與橢圓的方程聯(lián)立，，消去，整理得，
設(shè)，，，，則，，
因?yàn)?，所以，?br>則，
所以，
若對(duì)任意，為定值，則或，
因?yàn)椋?，此時(shí)，．
存在實(shí)數(shù)，使得為定值，且定值為0．
例4．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且離心率為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的任一直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試判斷是否為定值，若為定值，則求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．
【解析】解：（1）由已知，得為平行四邊形，
所以，所以，
又因?yàn)椋裕?br>所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（5分）
（2）直線的方程為，設(shè)，，，，
聯(lián)立方程，得，所以，
所以
為定值（12分）
例5．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．
求證：線段的中點(diǎn)在直線上；
求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）由橢圓得，解得，，，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程得，
則判別式△，
設(shè)，，，，的中點(diǎn)，，
則，，
則，，
即，，
，
設(shè)直線的方程為：，得點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
，
即線段的中點(diǎn)在直線上；
當(dāng)時(shí)，的中點(diǎn)為，，
則，，，
當(dāng)時(shí)，，
，
則，
設(shè)，則，
則在為增函數(shù)，
則，
則，
綜上，
故求的取值范圍是，．
例6．若橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)，到橢圓的兩焦點(diǎn)，的距離之和等于，到直線的最大距離為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)）且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：由已知得，，，
又，，，
橢圓的方程為：．
的斜率必須存在，即設(shè)，
聯(lián)立，消去得，
得，
由△可得，
設(shè)，，，，
由韋達(dá)定理可得：，，
為坐標(biāo)原點(diǎn)）
，，，
，，
，
點(diǎn)在橢圓上，
，
，
，
，
，
．
將代入得，即或，
則的取值范圍是，，．
例7．如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的最大值為，的最小值為，滿足．
（Ⅰ）若線段垂直于軸時(shí)，，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓的焦距為2，設(shè)線段的中點(diǎn)為，的垂直平分線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ） 設(shè)，，則根據(jù)橢圓性質(zhì)得
，而，
所以有，即，即，
又且，
得，，
因此橢圓的方程為：，（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，橢圓的方程為．
根據(jù)條件直線的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線的方程為，
并設(shè)，，，，
則由直線與橢圓方程消去并整理得，
從而有，，（6分）
所以，．
因?yàn)?，所以，所以?br>得到
由與相似，所以．（10分）
令，則，從而，
即的取值范圍是．
例8．平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)，是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，記在點(diǎn)處的切線為．
（Ⅰ）求的值和切線的方程（用，表示）；
（Ⅱ）設(shè)與交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．
（?。┣笞C：點(diǎn)在定直線上；
（ⅱ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值．
【解析】解：由題意橢圓，可得，橢圓的上頂點(diǎn)，
因?yàn)?，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)，所以，
所以拋物線的焦點(diǎn)為，則，，
直線方程為．即
（Ⅱ）證明：設(shè)，，，，，，
，，兩式相減可得：，
可得，
所以，，即有，
直線的方程為，當(dāng)時(shí)，可得
即有點(diǎn)在定直線上；
直線的方程為，令，可得，
則，
則令，
則，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值
例9．斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)比點(diǎn)的橫坐標(biāo)大4，直線交線段于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，．
（Ⅰ）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0，求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】解：，，，，
聯(lián)立方程組：，可得，
設(shè)，，，，則，，
．
設(shè)的方程為，代入得：，
，．
聯(lián)立方程組可得，
聯(lián)立方程組，得，
，，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值．
例10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)是第一象限內(nèi)上的一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)、．
（1）求△的周長(zhǎng)；
（2）求△面積的取值范圍；
（3）設(shè)、分別為△、△的內(nèi)切圓半徑，求的最大值．
【解析】解：（1），為橢圓的兩焦點(diǎn)，且，為橢圓上的點(diǎn)，
，從而得到△的周長(zhǎng)為．
由題意，得，即△的周長(zhǎng)為．
（2）由題意可設(shè)過的直線方程為，，，，，，
聯(lián)立，消去得，
則，
所以，
令，
則（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)），
所以，
故△面積的取值范圍為．
（3）設(shè)，，直線的方程為，
將其代入橢圓的方程可得，
整理可得，
則，得，，
故．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
將其代入橢圓方程并整理可得，
同理，可得，
因?yàn)椋?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
軸時(shí)，易知，，，
此時(shí)，
綜上，的最大值為．
例11．如圖，是拋物線上一點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與拋物線交于另一點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線與過點(diǎn)的切線垂直，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線不過原點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，試求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，，，，，，依題意，，．
由，①
得．
過點(diǎn)的切線的斜率，
直線的斜率，
直線的方程為，②
聯(lián)立①②消去，得．
是的中點(diǎn)
，
消去，得，
中點(diǎn)的軌跡方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線，依題意，，則．
分別過、作軸，軸，垂足分別為、，則．
由，消去，得．③
則，．
．
、可取一切不相等的正數(shù)，
的取值范圍是．
【同步練習(xí)】
1．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)．為橢圓上任意一點(diǎn)，△面積的最大值為1．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線交橢圓于，兩點(diǎn)．
①若軸上任意一點(diǎn)到直線與距離相等，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
若直線的斜率是直線，斜率的等比中項(xiàng)，求面積的取值范圍．
【解析】解：（1）由拋物線的方程得其焦點(diǎn)為，則橢圓中，
當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，△面積最大，此時(shí)，
，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，△面積的最大值為1，
，
橢圓的方程為；
（2）聯(lián)立，得，
由△，得
設(shè)，，，，
則，
①，由，得，
所以，即，得，
直線的方程為，
因此直線恒過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為．
②直線的斜率是直線，斜率的等比中項(xiàng)，
，即，得，得，
，又，
，代入，得．
．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積取最大值．
故面積的取值范圍為．
2．已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知，，直線與相交于點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．
【解析】解：（1）由拋物線的焦點(diǎn)，得焦點(diǎn)．
設(shè)，，由點(diǎn)在拋物線上，
，，解得，．
而點(diǎn)在橢圓上，，化為，
聯(lián)立，解得，
故橢圓的方程為．
（2）由（1）可知：，．設(shè)，，，，其中，
把代入，可得，，，且．
，，
故四邊形的面積
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)．
四邊形面積的最大值為．
3．已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)是6．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為的直線交軸于點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，是否存在使得為定值，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由題意可知，，
解得，，
，，
橢圓的方程為．
（Ⅱ）假設(shè)存在，則，設(shè)，，，，
設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立方程，消去得：，
，，
△，
，
要使為定值，
則有，所以，
所以．
4．設(shè)圓與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．
（1）求的圓心軌跡的方程；
（2）已知點(diǎn)，，，，且為上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為，、，，
由題意得：或，
，
可知圓心的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，且實(shí)軸為4，焦距為的雙曲線，
因此，，則，
所以軌跡的方程為；
（2）過點(diǎn)，的直線的方程為，
即，代入，解得：，，
故直線與雙曲線的交點(diǎn)為，，，，
因此在線段外，在線段內(nèi)，故，
，若點(diǎn)不在上，則，
綜上所述，只在點(diǎn)處取得最大值2，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
5．已知圓心在軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過點(diǎn)，且與軸、軸分別交于點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程：
（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與圓的另一交點(diǎn)分別為，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求與的面積之比的最大值．
【解析】解：（1）設(shè)動(dòng)圓的圓心為，因?yàn)榻?jīng)過，且與軸、軸分別交于點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
則，半徑為，
圓的方程為，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，
即，，
，
即的方程為；
（2）由（1）作下圖：
設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，顯然是存在的，
聯(lián)立方程：，得，
①，②，
設(shè)，，，，
代入①②得，③
則直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立方程：，
解得，，同理，，
，
同理可得：，
，，
④，
由③得，代入④得：，
顯然當(dāng)時(shí)最大，最大值為．
6．已知橢圓過點(diǎn)，且焦距為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，其中，求的取值范圍．
【解析】解：（1）依題意橢圓過點(diǎn)，且焦距為2．
有，
所以橢圓的方程為．
（2）由題意可知該直線存在斜率，設(shè)其直線方程為，
由，消去得，
所以△，即，
設(shè)，，，，，
則．
由，得，
代入橢圓的方程，
得，
由，得，
，
令，則，
所以．
7．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過橢圓中心的弦長(zhǎng)為2，且，的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，設(shè)、分別為△、的面積，求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）弦過橢圓中心，且，則，（2分）
不妨設(shè)，，，
，的面積，則，，（4分）
，
橢圓方程為；（5分）
（Ⅱ）設(shè)，，直線，則，
整理，解得，（7分）
同理，設(shè)直線，
得，解得，（8分）
則（10分）
，（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“” （12分）
8．已知橢圓，為其右焦點(diǎn)，過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以線段，為鄰邊作平行四邊形，其中頂點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】解：由已知得，解得，（3分）
橢圓，（4分）
設(shè)，，，，，
由已知得，，（5分）
由消去得（6分）
則（7分）
又（9分）
又△，
（10分）
，
，
．（11分）
的取值范圍是（12分）
9．如圖，過點(diǎn)作兩條直線和分別交拋物線于，和，（其中，位于軸上方，的斜率大于，直線，交于點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)在定直線上；
（2）若，求的最小值．
【解析】解：證明：設(shè)，，，，
因?yàn)檫^點(diǎn)作兩條直線和，
設(shè)代入得
，
所以，
由直線的兩點(diǎn)式可得，的直線方程，
，
，
聯(lián)立消得
，
故點(diǎn)在定直線上，
（Ⅱ）由題意可得，；
因?yàn)椋?br>所以，
令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到；
所以的最小值為．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足．記的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．
【解析】解：（1）由雙曲線的定義可知，的軌跡是雙曲線的右支，設(shè)的方程為，
根據(jù)題意，解得，
的方程為；
（2）（法一）設(shè)，直線的參數(shù)方程為，
將其代入的方程并整理可得，，
由參數(shù)的幾何意義可知，，，則，
設(shè)直線的參數(shù)方程為，，，同理可得，，
依題意，，則，
又，故，則，即直線的斜率與直線的斜率之和為0．
（法二）設(shè)，直線的方程為，，，，，設(shè)，
將直線方程代入的方程化簡(jiǎn)并整理可得，，
由韋達(dá)定理有，，
又由可得，
同理可得，
，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
同理可得，
又，則，化簡(jiǎn)可得，
又，則，即，即直線的斜率與直線的斜率之和為0．
11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，以為直徑的圓過點(diǎn)，直線與圓相交得到的弦長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸，軸分別相交于，兩點(diǎn)，滿足：①記的中點(diǎn)為，且，兩點(diǎn)到直線的距離相等；②記，的面積分別為，，若．當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值．
【解析】解：（Ⅰ）因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，則圓的方程為，
直線的方程為，
則，解得，
所以，所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）由題意，設(shè)直線的方程為，，，，，
則．
由方程組，得，
△，所以，
由韋達(dá)定理得，
因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)到直線的距離相等，
所以線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，
所以，解得．
于是，
．
由及，解得．
所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)，故．
12．已知兩點(diǎn)，、，，設(shè)圓與軸交于、兩點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足：以線段為直徑的圓與圓相內(nèi)切，如圖所示，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，過點(diǎn)與軸不重合的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)．
（1）求軌跡的方程；
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：；
（3）記、面積分別為、，求的最大值及此時(shí)直線的方程．
【解析】解：（1）依題意：設(shè)的中點(diǎn)為，切點(diǎn)為，由圖可知為△的中位線，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡為橢圓，所以，，．
所以方程為．
證明：（2）設(shè)直線，，，，．
所以，整理得，
變形為，
所以，．
點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
直線為與直線相交于點(diǎn)，所以．
由，直線的方向向量，
所以，即：；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上設(shè)點(diǎn)和在軸的上下兩側(cè)，
所以，．
．
由，所以，代入，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，
直線方程為．
13．如圖，已知圓，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，．
（Ⅰ）已知，求切線的方程；
（Ⅱ）直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）若，兩條切線分別交軸于點(diǎn)，，記四邊形面積為，三角形面積為，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）情況1．當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，有切線，
情況2．設(shè)切線：，即．
由得，解得，切線為，
綜上：切線為；
（Ⅱ），在以點(diǎn)為圓心，切線長(zhǎng)為半徑的圓上，即在圓上，
聯(lián)立得，
所以過定點(diǎn)；
（Ⅲ），
設(shè)，；
得，，
，，
切線統(tǒng)一記為，即，
由得，得兩根為，，
所以，
所以，則，
記，
當(dāng)，即時(shí)，．
14．已知直線與橢圓交于，，，兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明和均為定值；
（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；
（Ⅲ）橢圓上是否存在點(diǎn)，，，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，
所以，，
，在橢圓上，
①
又，
②
由①②得，．此時(shí)，；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，是直線的方程為，將其代入得
，△
即，
又，，
，
點(diǎn)到直線的距離為，
，
又，
整理得，此時(shí)，
；
綜上所述，．結(jié)論成立．
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）知
，，
因此．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（Ⅰ）知，
，
，
所以
．
．當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立．
綜合得的最大值為；
（Ⅲ）橢圓上不存在三點(diǎn)，，，使得，
證明：假設(shè)存在，，，，，使得
由（Ⅰ）得
，，；，，
解得；．
因此，，只能從中選取，
，，只能從中選取，
因此點(diǎn)，，，只能在，這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，
而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，與矛盾．
所以橢圓上不存在滿足條件的三點(diǎn)，，．
15．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）不過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若三直線、、的斜率，，成等比數(shù)列，求直線的斜率及的值．
【解析】解：（1）依題意得，，得，
又得，
橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，，，，
由，得，
，．
由題設(shè)知，
，，
，，
此時(shí)，，
則，
故直線的斜率為，．
16．如圖，已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過左焦點(diǎn)且斜率為正的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)、分別作與直線垂直的直線，交軸于、兩點(diǎn)，求的最小值．
【解析】解：（1）根據(jù)題意可得，
解得，，，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立，得，
所以，，
所以，
同理可得，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)橹本€斜率為，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
所以最小值為．
17．如圖，已知拋物線，點(diǎn)，，拋物線上的點(diǎn)，，直線與軸相交于點(diǎn)，記，的面積分別是，．
（1）若，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（2）求的最小值．
【解析】解：（1）因?yàn)?，，?br>所以，
；
由，得，
即，得；
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；
（2）設(shè)直線，則，，
由，知；
聯(lián)立，消去得，
則，，；
所以，
同理，
點(diǎn)到直線的距離為
；
所以
；
故當(dāng)時(shí)，有最小值為．
方法2：設(shè)，，則，
所以直線，則；
又直線，；
則點(diǎn)到直線的距離為，
點(diǎn)到直線的距離為；
所以
；
故當(dāng)時(shí)，有最小值．
18．已知橢圓，離心率分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足，且△的面積為1．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．過點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn)，，證明：為定值．
【解析】（1）解：方法一：由離心率，得：，
所以，
橢圓上一點(diǎn)，滿足，
所以點(diǎn)為圓：與橢圓的交點(diǎn)，
聯(lián)立方程組解得，
所以，
解得：，，所以柯圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
方法二：由橢圓定義；，
，
得到：，即，又，得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）證明：設(shè)直線的方程為：．
得，
，
設(shè)過點(diǎn)且平行于的直線方程：，．
19．已知是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，，分別是的左，右焦點(diǎn)，△是面積為的等邊三角形．
（1）求的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線交于不同的兩點(diǎn)，，求的取值范圍．
【解析】解：（1）依題意，是短軸的端點(diǎn)，
因?yàn)椤魇敲娣e為的等邊三角形，所以，
設(shè)，則，且，
所以，
所以，
即的方程為．
（2）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)其方程為，
聯(lián)立方程，消去得：，
整理得：，
由△，即，得，
設(shè)，，，，
則，，
則，
同理，
則，
令，則，且，，
則，
由，得，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，且，，
則，所以，
所以，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，即為短軸端點(diǎn)，且都在的下方，
此時(shí)，
綜上，的取值范圍是．
20．已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，過
作的垂線交于點(diǎn)．求與的面積之比．
【解析】解：（Ⅰ）焦點(diǎn)在軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，
，
由，，
，；
（Ⅱ）設(shè)，，，，，，，
可得，
直線的方程是，
，
，直線的方程是，
直線的方程是，
直線與直線聯(lián)立可得，，
整理為：，
即，
即，
解得，
代入直線方程，求得，
則 又
，
則與的面積之比為．
21．已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，過作的垂線交于點(diǎn)．求證：與的面積之比為．
【解析】解：（Ⅰ）由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程：，
則，，則，
，
橢圓的方程；
（Ⅱ）證明：設(shè)，，，，，，，，
則直線的斜率，直線的斜率，
直線的方程：，
直線的斜率，直線的方程，
，解得：，
過做軸，，
則，
則，
與的面積之比為．
22．如圖，已知橢圓，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，，設(shè)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，連接得到直線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（Ⅰ）若，求直線的斜率：
（Ⅱ）記，，的面積分別為，，，求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ），
，，
由，，可得所在直線方程為．
聯(lián)立，可得，解得，，
；
（Ⅱ）設(shè)，，，，，，
則．
，在直線上，
．
．
，．
直線．
，，．
．
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．
的最大值為．
23．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，其離心率，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接得到直線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，記、的面積分別為，，求的最小值．
【解析】解：（1）由題知橢圓的離心率，且，所以，，
所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）
（2）令直線的方程為，，，，，，，由軸，則，，
則，，則，
由將點(diǎn)，代入橢圓的方程可得：兩式作差可得：，
所以，（6分）
由，所以，（7分）
所以直線的方程可設(shè)為，令時(shí)，，
令時(shí)，，
則的面積為，
的面積為，（10分）
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
所以的最小值為4．（12分）
24．如圖所示，橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的最大值為，的最小值為，滿足．
（1）若線段垂直于軸時(shí)，，求橢圓的方程；
（2）線段的中點(diǎn)為，的垂直平分線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．
【解析】解析：（1）設(shè)，，由橢圓性質(zhì)得，，
而，有，
又且，得，
所以橢圓的方程為；
（2）由（1）可知，橢圓的方程為，
由題意知直線的斜率一定存在不為零，設(shè)直線的方程為，，，，，
則聯(lián)立方程，消去整理可得，
，
，，，，
由與相似得，
所以的取值范圍為．
25．已知拋物線，過拋物線上第一象限的點(diǎn)作拋物線的切線，與軸交于點(diǎn)．過作的垂線，交拋物線于，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線過定點(diǎn)；
（Ⅱ）若，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）證明：拋物線切線
設(shè)點(diǎn)，，則，
直線的方程為：，
即，，又，，
直線的方程：經(jīng)過定點(diǎn)．
（Ⅱ）解：點(diǎn)坐標(biāo)求解
由（Ⅰ）直線的方程為：，
與拋物線聯(lián)立得，
解得，而，即，
，解得，
，，
，
當(dāng)時(shí)，．

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