1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
第34講 用空間向量法求角和距離
【典型例題】
例1．如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．
（1）求證：；
（2）求直線與所成角的余弦值．
【解析】（1）證明：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，，所以?br>所以，即，，
因?yàn)?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，?br>所以平面，
以為原點(diǎn)，的方向分別為，，軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，可得，
因?yàn)椋?br>所以直線與所成角的余弦值為．
例2．如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
【解析】解：（1），，，，平面，平面，
平面平面，平面，平面，
所以為二面角的平面角，
則，平面，平面，則．
又，，
則是等邊三角形，則，
又因?yàn)椋矫?，平面?br>所以平面．
（2）由于平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；
于是，，，，，0，，，0，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，，
則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則．
故直線與平面所成角為．
（3）由（2）知，，，，，0，，，0，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
所以，
故點(diǎn)到平面的距離．
例3．如圖，是三棱錐的高，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【解析】解：（1）證明：連接，，依題意，平面，
又平面，平面，則，，
，
又，，則，
，
延長交于點(diǎn)，又，則在中，為中點(diǎn)，連接，
在中，，分別為，的中點(diǎn)，則，
平面，平面，
平面；
（2）過點(diǎn)作，以，，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由于，，由（1）知，
又，則，
，
又，即，12，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，
則，則可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，
則，則可取，
設(shè)銳二面角的平面角為，則，
，即二面角正弦值為．
例4．如圖，三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是的重心．
（1）證明：平面；
（2）若平面平面，，，，，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【解析】解：（1）證明：延長交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，分別是棱，的中點(diǎn)，
是的中位線，，
又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，
平面，
同理可證平面，
又，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，
平面平面，
在平面內(nèi)，
平面；
（2）連接，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，
又平面平面，平面平面，在平面內(nèi)，
平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，以與垂直的方向?yàn)檩S，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，
設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則，
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．
例5．如圖1，有一個(gè)邊長為4的正六邊形，將四邊形沿著翻折到四邊形的位置，連接，，形成的多面體如圖2所示．
（1）證明：；
（2）設(shè)二面角的大小為，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與，不重合），四棱錐與四棱錐的體積之和為，試寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并探究為何值時(shí)，有最大值，求出最大值．
【解析】（1）證明：如圖，連接交于，則為的中點(diǎn)，
，，即，，
，，平面，
平面，
又平面，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，即，
．
（2）解：如圖1，連接交于，則為的中點(diǎn)，
由正六邊形的性質(zhì)，可知，，
，，即，，
，，平面，
平面，
就是二面角的平面角，即，
過作，垂足為點(diǎn)，過作，垂足為點(diǎn)，如圖3，
平面，，平面，
，，
，，，平面，，平面，
平面，平面，
，
，
在中，，，，，如圖4，
，
，，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，，取得最大值24．
例6．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為棱的中點(diǎn)，且．
（1）證明：底面；
（2）若，求二面角的余弦值的取值范圍．
【解析】（1）證明：如圖，連接，．
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，?br>所以為等邊三角形，則．
因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，所以平面?br>又平面，所以，．
又，所以底面．
（2）解：設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，1，，，，．
設(shè)平面的法向量為，則
即令，則．
設(shè)平面的法向量為，則
即令，則．
，，
令，則，．
因?yàn)?，所以，?br>由圖可知二面角為鈍角，
故二面角的余弦值的取值范圍為．
例7．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，平面平面，平面平面．
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】解：（1）證明：過作，交于，
平面平面，且平面平面，
平面，
，
，，，
，則，
又，則平面，
，
（2）解：因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅危?br>所以，又因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，平面平面?br>所以，
由（1）知平面，所以平面，
又因?yàn)椋矫?，所以且?br>所以二面角的平面角為，
在中，，
由余弦定理得，，
所以二面角的余弦值為．
例8．如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．
（1）證明：；
（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角為時(shí)，求平面與側(cè)面的交線長．
【解析】解：（1）證明：由題意，，兩兩垂直．
所以以分別作為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，0，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，．
是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，
設(shè)，，0，，則，
則，所以．
（2）設(shè)，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即
令，則，
又平面的一個(gè)法向量為，
平面與平面所成的銳二面角為時(shí)，
，即，
解得，此時(shí)，如圖位置，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，
由且，
所以△，則為中點(diǎn)．
連接，由，分別為，中點(diǎn)，可知，
又，分別為，中點(diǎn)，則，所以，
所以點(diǎn)，，，共面，又，
所以，，，，共面，即面與面重合．
所以平面與側(cè)面的交線為，
所以交線長度為．
【同步練習(xí)】
一．選擇題
1．如圖，在三棱錐中，，，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是
A．B．，C．，D．，
【解析】解：因?yàn)椋?，又因?yàn)闉楣策?，所以?br>所以，
又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，，設(shè)，則，
設(shè)如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，
由已知得各點(diǎn)坐標(biāo)如下：
，，，，0，，，1，，，0，，
，，
所以，
平面的法向量為，1，，
因?yàn)橹本€與平面所成角為，
，
因?yàn)椋谑?，所以?br>所以，．
故選：．
2．如圖，四面體中，，，兩兩垂直，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若直線與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為
A．B．C．D．
【解析】解：如圖，四面體中，，，兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
設(shè)，則，0，，，0，，，0，，，2，，
，0，，，0，，，2，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
直線與平面所成角的正切值為，
直線與平面所成角的正弦值為，
，解得，，舍），
平面的法向量，1，，，0，，
點(diǎn)到平面的距離為：
．
故選：．
3．如圖，在正四面體中，，，，記平面與平面、平面、平面所成的銳二面角分別為、、，則
A．B．C．D．
【解析】解：因?yàn)?，，?br>所以，分別為，的中點(diǎn)，為上靠近的三等分點(diǎn)，
取的中點(diǎn)，連結(jié)，
過作平面，交于點(diǎn)，
在平面中過作，交于，
設(shè)正四面體的棱長為2，
則，
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，
，
所以，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
不妨令，則，
同理可計(jì)算出平面，平面，平面的法向量分別為，
則可得，
，
，
所以，
又在上單調(diào)遞減，
所以．
故選：．
二．填空題
4．如圖，三棱臺(tái)中，平面平面，，，，則異面直線與所成角的余弦值為 ．
【解析】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，，，，0，，，，，
，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則，
異面直線與所成角的余弦值為．
故答案為：．
三．解答題
5．如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】證明：由于，，
平面平面，平面，平面，
所以為二面角的平面角，
則，平面，則．
又，
則是等邊三角形，則，
因?yàn)椋?，，平面，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?br>又因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，故?br>解：（Ⅱ）由于平面，如圖建系：
于是，則，
，
設(shè)平面的法向量，，，
則，，令，則，，
平面的法向量，
設(shè)與平面所成角為，
則．
6．在四棱錐中，底面，，，，．
（1）證明：；
（2）求與平面所成的角的正弦值．
【解析】解：（1）證明：底面，面，
，
取中點(diǎn)，連接，
，，
，又，
，，
為直角三角形，且為斜邊，
，
又，面，面，
面，
又面，
；
（2）由（1）知，，，兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，
設(shè)與平面所成的角為，則，
與平面所成的角的正弦值為．
7．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為中點(diǎn)，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【解析】解：（1）連結(jié)，因?yàn)榈酌?，且平面?br>則，又，，，平面，
所以平面，又平面，則，
所以，又，
則有，所以，
則，所以，解得；
（2）因?yàn)?，，兩兩垂直，故以點(diǎn)位坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，0，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，即，
令，則，，故，
設(shè)平面的法向量為，
則有，即，
令，則，故，
所以，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
所以二面角的正弦值為．
8．如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)，，，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的大?。?br>【解析】證明：（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，
在和中，，，
所以，所以，又為的中點(diǎn)，
所以，又，平面，，
所以平面；
解：（2）連接，由（1）知，平面，平面，
所以，則，
當(dāng)時(shí)最小，即的面積最小，
因?yàn)?，則，，
由且，所以是等邊三角形，
由且，為的中點(diǎn)，
所以，在等腰直角中，則，
故，又且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，取，則，
又，所以，
所以，
設(shè)與平面所成的角的正弦值為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為．
9．如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，、、分別為、、的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離．
【解析】解：（Ⅰ）由題意，可知，，兩兩垂直，于是可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，從而可得以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，，2，，
．．即．
又知，平面．
（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，
由．得即，
令，得平面的法向量，
點(diǎn)到平面的距離．
10．如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，且，，分別為棱，的中點(diǎn)．
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求與平面的所成角的余弦值．
【解析】（1）證明：由題意可得：側(cè)面底面，
取中點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>則交線，
所以底面，
如圖，以，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，1，，，1，，，，，，0，，，，，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則．
所以異面直線與所成角的余弦值為；
（2）解：因?yàn)椋?br>設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
由，得，
取，得，．
所以，，，，
設(shè)直線與平面所成的角為，
，
．
與平面的所成角的余弦值為．
11．如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）證明：，為的中點(diǎn)．，
又，，，，
，又為的中點(diǎn)．，又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面；
（2）解：連接，由（1）知，，
故最小時(shí)，的面積最小，時(shí)，的面積最小，
又平面，平面，，又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
過作于點(diǎn)，則平面，
故，即為直線與平面所成的角，
由，，知是2為邊長的等邊三角形，
故，由已知可得，，又，，
，所以，
，，
在中，由余弦定理得，
．
故與平面所成的角的正弦值為．
12．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)且，．
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的大?。?br>【解析】證明：（1）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，
平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)且，
，
，，
平面平面，平面，
平面，平面平面．
解：（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，
為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，2，，，0，，，2，，，，，
，2，，，，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，得，0，，
平面的法向量，0，，
設(shè)二面角的大小為，
則，
，二面角的大小為．
13．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，．
（1）求證：平面平面；
（2）若滿足，求異面直線與所成角的余弦值；
（3）若二面角大小為，求的長．
【解析】（1）證明：，，為的中點(diǎn)，
四邊形為平行四邊形，
．（1分）
，即．
又平面平面且平面平面，（2分）
平面．（3分）
平面，
平面平面．（4分）
（2）解：，為的中點(diǎn)，
．
平面平面，且平面平面，
平面．（5分）
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．則，0，，，0，，，，
由，且，得
，
（6分）
設(shè)異面直線與所成角為，則（9分）
異面直線與所成角的余弦值為（10分），
（3）解：由（2）知平面的法向量為（11分）
由且，得，，
，又，
平面法向量為．（13分）
二面角為，，
．（15分）
14．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，．
（1）求證：平面平面；
（2）若平面，求的值；
（3）若，求二面角的大?。?br>【解析】（1）證明：且，四邊形是平行四邊形，，
，，
平面底面，平面底面，平面，
平面，平面平面．
（2）解：設(shè)，平面，，．
（3）解：連接，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，
，，，
，平面底面，平面底面，平面，平面，
，，二面角的平面角為，
，，
，，
，，
二面角的大小為．
15．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，，．
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）證明：在平行四邊形中，由已知可得，，
，，
由余弦定理可得，，
則，即，
又，，平面，
而平面，．
（2）解：由（1）知，平面，
又平面，平面平面，
且平面平面，
，且平面，平面，
連接，則，
在中，，，，
可得，
又，在中，求得，
取中點(diǎn)，連接，則，可得、、兩兩互相垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，2，，，0，，，，，
又為的中點(diǎn)，，，，
，，，，0，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
則，取，則，，，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，．
故直線與平面所成角的正弦值為．
16．如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．
（1）證明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)連接，．
是等邊三角形，，
與中，，，
，，
是直角三角形，是斜邊，，
，，，，
又，平面．
又平面，平面平面．
（2）解：由題知，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
不妨取，則，0，，，0，，，0，，，0，，，，，，，．
，0，，，，，，0，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，得，，．
同理可得：平面的法向量為，1，．
，
二面角的余弦值為．
17．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為，的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，．
（1）求證：；
（2）若為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成二面角（銳角）最??？
【解析】解：（1）證明：在直三棱柱中，，平面，
平面，
，
，，平面，平面，
平面，
平面，
，
；
（2）由（1）得建立以為原點(diǎn)，以、、所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，分別為，的中點(diǎn)，
則，0，，，1，，，2，，，0，，
則，0，，，1，，，2，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
則，即，取，則，，
平面的一個(gè)法向量為，2，，
，，
點(diǎn)到平面的距離為，，
故點(diǎn)到平面的距離為；
（3）設(shè)，，，則，0，，
，，，，1，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
則，即，取，則，，
平面的一個(gè)法向量為，，，
由（1）得平面，則平面的一個(gè)法向量為，0，，
設(shè)平面與平面所成二面角為（銳角），
則，，
令，
要使平面與平面所成二面角（銳角）最小，則最大，即取得最小值，
當(dāng)時(shí)，最大，最小，
故當(dāng)時(shí)，平面與平面所成二面角（銳角）最?。?br>18．如圖，已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，在底面上的射影落在正方形內(nèi)，的長為3，到，的距離分別為2和1，是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面底面；
（Ⅱ）設(shè)是棱上的一點(diǎn)，若，求平面與底面所成的銳二面角余弦值的大?。?br>【解析】解：（Ⅰ）是頂點(diǎn)在底面上的射影，
底面，
又平面，
平面底面（3分）
（Ⅱ）如圖，以0為原點(diǎn)，以垂直的直線為軸，垂直的直線為軸，
所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
由正方形邊長為4，且0到、的距離分別為2、1，
得，，，，3，，，3，，
，0，，，，
，可得，，，
，，，，，
，0，是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)，，是平面的一個(gè)法向量，
由，取得，
，3，，
可得，
因此，平面與底面所成的銳二面角的余弦值的大小為（8分）
19．如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且四棱錐的體積為．
（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面平面；
（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）證明：依題意，平面，
又是邊長為的正方形，且四棱錐的體積為，
所以，
所以，，
又，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以，
同理，，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：連接，易得，，互相垂直，
分別以為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，1，，，0，，，0，，
因?yàn)闉槔馍弦稽c(diǎn)，設(shè)，
所，
設(shè)平面的法向量，
則由得令，則，
所以，
又平面的法向量為，
所以，解得，
所以，
又，所以．
直線與平面所成角的正弦值為．．
20．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，且側(cè)面為等邊三角形．為線段的中點(diǎn)．
（1）求證：直線；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為．
【解析】解：（1）證明：連接，，如圖所示：
三角形為正三角形，，
又四邊形為菱形，且，
是等邊三角形，
，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）平面平面，，
平面，
直線，，兩兩垂直，則建立以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
菱形邊長為2，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
平面的法向量為，
是線段上的點(diǎn)，
存在實(shí)數(shù)，使得，，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，解得或，
線段上存在點(diǎn)滿足題意，且為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
21．如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長為3，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn)．
（1）求證：面面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值．
【解析】解：（1）證明：連接、、、，如圖所示：
在三棱柱中，底面，平面，
，
又為等邊三角形，為的中點(diǎn)，．
，且平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，
，分別為，的中點(diǎn)，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
則建立以為原點(diǎn)，以、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，0，，，3，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，，
平面的法向量為，
又平面的法向量，
，
故平面與平面的夾角的余弦值是．
22．在圖1中，四邊形為梯形，，，，，過點(diǎn)作，交于．現(xiàn)沿將折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐，在圖2中解答下列兩問：
（1）求四棱錐的體積；
（2）若在側(cè)棱上，，求證：二面角為直二面角．
【解析】解：（1）在圖1中，，
，
又，
，
又，
四邊形為平行四邊形，
，
平行四邊形為菱形．
在圖2中，連接，則，
又，平面，平面，，
平面，
平面，
，
，，平面，平面，
平面，則．
（2）證明：在圖2中，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則，，2，，，，
，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，
由，則可取，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，
由，
令，則，取，
所以，
，從而二面角為直二面角．
23．如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，．
（1）求證：；
（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．
【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，如圖所示：
中，，所以，
又因?yàn)?，?br>所以，所以，所以，
又因?yàn)?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以，即?br>（2）解：因?yàn)?，，所以?br>所以，所以，
又因?yàn)?，所以?br>過點(diǎn)作于點(diǎn)，中，，，
所以，
所以，
，，
即平面與平面的夾角余弦值為．
24．如圖，在四棱錐中，，，側(cè)面底面，底面為矩形，為上的動(dòng)點(diǎn)（與，兩點(diǎn)不重合）．
（1）判斷平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請(qǐng)證明：如果不垂直，請(qǐng)說明理由；
（2）若，試求二面角的余弦值的絕對(duì)值的取值范圍．
【解析】解：（1）平面平面，證明如下：
平面平面，平面平面，，平面，
平面，又平面，
，又，，
平面，又平面，
平面平面；
（2）分別取，中點(diǎn)，，連接，，
又，為中點(diǎn)，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又，平面，
平面，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，
，0，，，0，，，2，，
設(shè)，，，則，，，
設(shè)平面的法向量，
則，取，
設(shè)平面的法向量，
則，取，
，
，，
，
，，，
即，
所求取值范圍為．
25．如圖，在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且，，分別為，的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若平面與平面的交線為，求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面．
（2）解：因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，
又平面平面，平面，
所以，
故直線與平面所成角可轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角，
取的中點(diǎn)，
因?yàn)槠叫兴倪呅?，且，所以?br>因?yàn)?，所以?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，，，，3，，
所以，，，，4，，
設(shè)，，，
因?yàn)?，所以，解得，即，，?br>所以，，，
設(shè)平面的法向量為，，，則，即，
令，則，，所以，0，，
設(shè)直線與平面所成角為，則，，
所以直線與平面所成角的正弦值為，
故直線與平面所成角的正弦值為．
26．如圖，在直三棱柱中，，，分別為線段，及的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，，，三棱柱的體積為240．
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）試確定動(dòng)點(diǎn)的位置，使直線與平面所成角的正弦值最大．
【解析】解：（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，且，，
所以為直角三角形，
所以，
又三棱柱的體積為240，
所以，即，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)?，所以，即?br>所以．
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，0，，，8，，，8，，，0，，
所以，8，，，，，，0，，
設(shè)，，，，，，
所以，，，8，，即，，，所以，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，
令，則，，所以，3，，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．

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