利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值是重點(diǎn)考查內(nèi)容,多以選擇題、填空題壓軸考查,或以解答題的形式出現(xiàn),難度中等偏上,屬綜合性問題.
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
判斷函數(shù)的極值點(diǎn),主要有兩點(diǎn)(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的變號(hào)零點(diǎn),即為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).(2)利用函數(shù)f′(x)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值點(diǎn).
(2022·百師聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)= x2-(2a2-a+1)x+(2a-1)ln x+2,其中a≠0.(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),f′(x)=0,所以當(dāng)a=1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)當(dāng)a>0且a≠1時(shí),f(x)存在一個(gè)極小值點(diǎn)x0,若x0>3.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
故當(dāng)x∈(0,2a-1)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,2a-1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(2a-1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(2a-1,+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn)2a-1,即x0=2a-1.所以2a-1>3,解得a>2.
(1)不能忽略函數(shù)的定義域.(2)f′(x0)=0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件,即f′(x)的變號(hào)零點(diǎn)才是f(x)的極值點(diǎn),所以判斷f(x)的極值點(diǎn)時(shí),除了找f′(x)=0的實(shí)數(shù)根x0外,還需判斷f(x)在x0左側(cè)和右側(cè)的單調(diào)性.(3)函數(shù)的極小值不一定比極大值小.
(1)(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則A.abC.aba2
當(dāng)a>0時(shí),根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示,觀察可知b>a.當(dāng)ab.綜上,可知必有ab>a2成立.
(2)(2022·安康模擬)若函數(shù)f(x)=ex-ax2-2ax有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
由f(x)=ex-ax2-2ax,得f′(x)=ex-2ax-2a.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex-ax2-2ax有兩個(gè)極值點(diǎn),所以f′(x)=ex-2ax-2a=0有兩個(gè)不同的解,
當(dāng)x>0時(shí),g′(x)

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