第1講函數(shù)的旋轉(zhuǎn)、兩函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．選擇題（共9小題）
1．（2021?青島開學(xué)）將函數(shù)的圖象繞點(diǎn)逆時(shí)針旌轉(zhuǎn)，得到曲線，對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則最大時(shí)的正切值為
A．B．C．1D．
【解答】解：由，得，
原函數(shù)的圖象是以為圓心，以為半徑的圓的部分，
如圖：
設(shè)過(guò)與圓相切的直線的斜率為，
則直線方程為，即．
由，解得．
要使對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則最大角滿足，
，可得．
最大時(shí)的正切值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查函數(shù)的概念，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，屬難題．
2．（2021春?池州期末）設(shè)是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中（1）的取值只可能是
A．B．1C．D．0
【解答】解：由題意可得：
問(wèn)題相當(dāng)于圓上由6個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合．
設(shè)處的點(diǎn)為，
的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，
旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在的圖象上，
同理的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在圖象上，
以此類推，對(duì)應(yīng)的圖象可以為一個(gè)圓周上6等分的6個(gè)點(diǎn)，
當(dāng)（1）時(shí)，即，此時(shí)，不滿足函數(shù)定義；
當(dāng)（1）時(shí)，即，此時(shí)，不滿足函數(shù)定義；
當(dāng)（1）時(shí)，即，此時(shí)，，，，不滿足函數(shù)定義；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查函數(shù)定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題
3．（2017春?新華區(qū)校級(jí)期末）將函數(shù)圖象繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，若曲線仍是一個(gè)函數(shù)的圖象，則的最大值為
A．B．C．D．
【解答】解：由題意，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)．
設(shè)函數(shù)在處，切線斜率為，則（1）
，
（1），可得切線的傾斜角為，
因此，要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個(gè)函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)后的切線傾斜角最多為，也就是說(shuō)，最大旋轉(zhuǎn)角為，即的最大值為即．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象與圖象變化等知識(shí)點(diǎn)，將函數(shù)圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍是一個(gè)函數(shù)的圖象，求角的最大值，屬于中檔題．
4．（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）2021年第十屆中國(guó)花卉博覽會(huì)興辦在即，其中，以“蝶戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①，而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來(lái)生活中的賞心悅目，也展示了極致的數(shù)學(xué)美學(xué)世界．?dāng)?shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：
如圖②，平面上有兩定點(diǎn)，，兩動(dòng)點(diǎn)，，且，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到所形成的角記為．
設(shè)函數(shù)，，其中，，隨著的變化，就得到了的軌跡，其形似“蝴蝶”．則以下4幅圖中，點(diǎn)的軌跡（考慮蝴蝶的朝向）最有可能為
A．
B．
C．
D．
【解答】解：本題比較抽象，考慮特殊情況．
先考慮與共線的蝴蝶身方向，
令，，要滿足，故排除，；
再考慮與垂直的方向，令，要滿足，
故排除，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：信息題，實(shí)際問(wèn)題的處理，賦值法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2021秋?上高縣校級(jí)月考）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心．若函數(shù)，則
A．B．C．8084D．8088
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)，
則，，
令，解得，且（1），
由題意可知，的拐點(diǎn)為，
故的對(duì)稱中心為，
所以，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的新定義問(wèn)題，解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答即可，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題．
6．（2021春?齊齊哈爾期末）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．設(shè)函數(shù)，則
A．0B．1C．2D．4
【解答】解：，
，，
令，得，
又（1），
所以的對(duì)稱中心為，
所以，
所以
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)新定義，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
7．（2021?武侯區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【解答】解：由已知可得，方程在上有兩解，即在上有解．
設(shè)，則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，取得最小值（1），
時(shí)，，時(shí)，，
實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題．
8．（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在兩組關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．，
C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，
則方程，
即方程在區(qū)間上有兩組解，
設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)
，
又由，在有唯一的極值點(diǎn)．
分析可得：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
故函數(shù)有最小值（1），
又由，（e），比較可得（e），
故函數(shù)有最大值（e）．
故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>若方程在區(qū)間上有兩組解，
必有，則有，
則的取值范圍是，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難題型．
9．函數(shù)定義在上，已知的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后不變，則關(guān)于方程的根，下列說(shuō)法正確的是
A．沒有實(shí)根B．有且僅有一個(gè)實(shí)根
C．有兩個(gè)實(shí)根D．有兩個(gè)以上的實(shí)根
【解答】解：函數(shù)定義在上，的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后不變，
與其反函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，
關(guān)于對(duì)稱，原點(diǎn)是它的對(duì)稱點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，，
解得，是唯一解．
方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的根的判斷，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．
二．多選題（共3小題）
10．（2021?沈河區(qū)校級(jí)四模）將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，得到曲線，若曲線仍然是一個(gè)函數(shù)的圖象，則的可能取值為
A．B．C．D．
【解答】解：要使曲線仍然是一個(gè)函數(shù)的圖象，則需滿足在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，曲線的任意切線的傾斜角小于等于，
由，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即在時(shí)出的切線的斜率最小，
此時(shí)傾斜角為，
故，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題．
11．（2021秋?蒼南縣校級(jí)月考）取整函數(shù)：不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，，取整函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，如停車收費(fèi)、出租車收費(fèi)等等都是按照“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)的，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的性質(zhì)是真命題有
A．，B．，
C．，，，則D．，，
【解答】解：根據(jù)題意：對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，．故選項(xiàng)正確．
對(duì)于選項(xiàng)：只要滿足的整數(shù)或所取的整數(shù)相同，則，故選項(xiàng)正確．
對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)，，所以，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)的取整問(wèn)題，賦值法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2021?雨花區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，且，函數(shù)，的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得新的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，其中可以取任意正整數(shù)，則的值不可能為
A．0B．C．D．
【解答】解：若，則通過(guò)連續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，依次可得,
，此時(shí) 對(duì)應(yīng),不符合函數(shù)概念，所以選項(xiàng)不可能對(duì)，
同理選項(xiàng)也不可能對(duì)，而有可能成立，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的概念，一個(gè)只能對(duì)應(yīng)一個(gè)，考查的方式比較創(chuàng)新，屬于難題．
三．填空題（共8小題）
13．（2021秋?天心區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)．
（1）該函數(shù)的最小值為 2 ；
（2）將該函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到曲線．若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則的取值范圍是．
【解答】解：（1）先畫出函數(shù)的圖象
由圖可知，該函數(shù)的最小值為 2．
（2）由圖可知，
當(dāng)圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角大于等于時(shí)，
曲線都不是一個(gè)函數(shù)的圖象
則的取值范圍是：，．
故答案為：2；，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)期中）設(shè)，，為實(shí)數(shù)，，．記集合，，，，若，分別為集合元素，的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能的是 ①②③
①且②且③且④且．
【解答】解：方程若有實(shí)數(shù)根，則方程也有實(shí)數(shù)根，且相應(yīng)的互為倒數(shù)，
且若，則方程與方程的根也互為倒數(shù)．
若，則滿足且，故①正確；
若，，，則滿足且，故②正確；
若，，，則滿足且，故③正確；
若．則方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則他們的倒數(shù)也不同，故，則④錯(cuò)誤．
故答案為①②③．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合中元素的個(gè)數(shù)及集合元素的特征，同時(shí)考查了二次方程的解，屬于中檔題．
15．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）設(shè)是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，是定義在上的函數(shù)．
（1）若的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則（1）是（填是或否）可能為1．
（2）若的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則（1）可能取值只能是．
①
②
③
④0
【解答】解：（1）由題意得到：?jiǎn)栴}相當(dāng)于圓上由4個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合．
我們可以通過(guò)代入和賦值的方法當(dāng)（1）
（2）通過(guò)代入，當(dāng)（1），，0時(shí)
此時(shí)得到的圓心角為，，0，
然而此時(shí)或者時(shí)，都有2個(gè)與之對(duì)應(yīng)，
而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)只能對(duì)應(yīng)一個(gè)，
因此只有當(dāng)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)，
此時(shí)滿足一個(gè)只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)，
因此答案就選：②．
故答案為：1；②．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：定義性函數(shù)的應(yīng)用．
16．（2021?香洲區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則 8 ；的最大值為．
【解答】解：由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
則且（1），
所以，解得，，
所以，
則，
令，可得，
當(dāng)或時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)或時(shí)，，則單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的最大值為16．
故答案為：8；16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，考查了學(xué)生邏輯思維能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題．
17．（2021?云南模擬）已知函數(shù)，，若函數(shù)與，的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
【解答】解：函數(shù)與，的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，
等價(jià)于在，有零點(diǎn)，
令，
則，
所以在，上，，單調(diào)遞增，
在，上，，單調(diào)遞減，
則（1），又（1），
，（4），
因?yàn)椋?），
所以（4），
則（4），
所以（4）①，
（1）②，
解得，
即的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的最值，綜合性很強(qiáng)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
18．（2021春?大同期中）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
【解答】解：函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為，
若函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，
只需要方程有解，方程可化為，
令，有，
由函數(shù)單調(diào)遞增，且（1），可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
可得，
當(dāng)時(shí)，，，，可得函數(shù)的值域?yàn)?，?br>故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，是難題．
19．（2021?景德鎮(zhèn)模擬）對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若滿足（1）；（2）當(dāng)，且時(shí)，都有；（3）當(dāng)，且時(shí)，都有，則稱為“偏對(duì)稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：
①；②；③；④，則“偏對(duì)稱函數(shù)”有 1 個(gè)．
【解答】解：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以在上不單調(diào)，故不滿足條件（2），
所以不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；
，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，故不滿足條件（2），
所以不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；
對(duì)于，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
取，，則，但，不滿足條件（3），故不滿足條件（3），
所以不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；
對(duì)于，，滿足條件（1），
在上，為減函數(shù)，在上，為增函數(shù)，滿足條件（2），
令，，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
當(dāng)，且時(shí)，，
所以，
即，滿足條件（3），
所以是“偏對(duì)稱函數(shù)”，
所以“偏對(duì)稱函數(shù)”有1個(gè)．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．
20．（2021春?連云港期末）曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線的方程為．
【解答】解：設(shè)曲線上一點(diǎn)
繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后
對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
即，
即，
即，
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換，正確理解點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換公式，是解答的關(guān)鍵

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