1．（2013廣西欽州，12，3分）定義：直線l1與l2相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，點M到直線l1、l2的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對（p，q）是點M的“距離坐標”，根據(jù)上述定義，“距離坐標”是（1，2）的點的個數(shù)是（ ）
2．（2013·濰坊，12，3分）對于實數(shù)，我們規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例如，，，若，則的取值可以是（ ）．
A．40 B．45 C．51 D．56
答案：C
考點：新定義問題．
點評：本題需要學(xué)生先通過閱讀掌握新定義公式，再利用類似方法解決問題．考查了學(xué)生觀察問題，分析問題，解決問題的能力．
3．（2013?東營，6，3分）若定義：， ，例如，，則=（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：由題意得f(2，3)=(－2，－3)，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3)，故選B．
4．(2013浙江湖州,10,3分)如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．若拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，則以這三個格點為頂點的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點三角形”．以O(shè)為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，若拋物線與網(wǎng)格對角線OB的兩個交點之間的距離為，且這兩個交點與拋物線的頂點是拋物線的內(nèi)接格點三角形的三個頂點，則滿足上述條件且對稱軸平行于軸的拋物線條數(shù)是（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【解析】如圖，開口向下，經(jīng)過點（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=-x2+4x，然后向右平移1個單位，向上平移1個單位一次得到一條拋物線，可平移6次，所以，一共有7條拋物線，同理可得開口向上的拋物線也有7條，所以，滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是：7+7=14．故選C．
【方法指導(dǎo)】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識與二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，作出圖形更形象直觀．根據(jù)在OB上的兩個交點之間的距離為3
可知兩交點的橫坐標的差為3，然后作出最左邊開口向下的拋物線，再向右平移1個單位，向上平移1個單位得到開口向下的拋物線的條數(shù)，同理可得開口向上的拋物線的條數(shù)，然后相加即可得解．
二．填空題
1．（2013·鞍山，14，2分）劉謙的魔術(shù)表演風靡全國，小明也學(xué)起了劉謙發(fā)明了一個魔術(shù)盒，當任意實數(shù)對（a，b）進入其中時，會得到一個新的實數(shù)：a2+b－1，例如把（3，－2）放入其中，就會得到32+（－2）－1＝6．現(xiàn)將實數(shù)對（－1，3）放入其中，得到實數(shù)m，再將實數(shù)對（m，1）放入其中后，得到實數(shù)是 ．
考點：代數(shù)式求值．
專題：應(yīng)用題．
分析：觀察可看出未知數(shù)的值沒有直接給出，而是隱含在題中，需要找出規(guī)律，代入求解．
解答：解：根據(jù)所給規(guī)則：m＝（－1）2+3－1＝3∴最后得到的實數(shù)是32+1－1＝9．
點評：依照規(guī)則，首先計算m的值，再進一步計算即可．隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運算的能力．
2．（2013·濰坊，12，3分）對于實數(shù)，我們規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例如，，，若，則的取值可以是（ ）．
A．40 B．45 C．51 D．56
答案：C
考點：新定義問題．
點評：本題需要學(xué)生先通過閱讀掌握新定義公式，再利用類似方法解決問題．考查了學(xué)生觀察問題，分析問題，解決問題的能力．
3．（2013?東營，6，3分）若定義：， ，例如，，則=（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：由題意得f(2，3)=(－2，－3)，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3)，故選B．
4．（2013山東臨沂，19，3分）對于實數(shù)a、b，定義運算“*”：a*b＝例如：4*2，因為4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的兩個根，則x1*x2＝_________________．
【答案】3或－3．
【解析】可以用公式法求出方程x2－5x＋6＝0的兩個根是2和3，可能是x1=2，x2=3，也可能是x1=3，x2=2，根據(jù)所給定義運算可知原題有兩個答案.
【方法指導(dǎo)】用公式法或因式分解法求出方程對兩個根.
【易錯點分析】忽視討論思想，會少一種情況.
5．（2013浙江臺州，16，5分）任何實數(shù)a，可用表示不超過a的最大整數(shù)，如=4，
=1，現(xiàn)對72進行如下操作：72 第1次 =8第2次 =2第3次 =1，這樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?，類似地，①對81只需進行 次操作后變?yōu)?；②只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是 ．
【答案】：3；255．
【解析】①首先理解的意義，它表示不超過a的最大整數(shù)，然后仿照“72”的操作，
81 第1次 =9第2次 =3第3次 =1，，所以對81只需進行 3次操作后變?yōu)?；
②只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中找出最大的，需要進行逆向思維，若=1，則a可以取的最大整數(shù)為3；若=3，則a可以取的最大整數(shù)為15；若=15，則a可以取的最大整數(shù)為255，∴最大為255.
【方法指導(dǎo)】本題考查學(xué)生的閱讀理解能力和算術(shù)平方根的計算，本題定義了一種新的運算，需要學(xué)生清楚如何計算，并且能夠結(jié)合算術(shù)平方根的運算，進行求值計算。
三．解答題
1．（2013廣東珠海，20，9分）閱讀下面材料，并解答問題．
材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母為﹣x2+1，可設(shè)﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b
則﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
∵對應(yīng)任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1
∴==x2+2+
這樣，分式被拆分成了一個整式x2+2與一個分式的和．
解答：
（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
（2）試說明的最小值為8．
2. （2013?衢州10分）【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【思路分析】（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論；
（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到=，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論
【解析】（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）解：∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴=，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
【方法指導(dǎo)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．
3 2013?寧波12分）若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．
（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A．B．C均在格點上，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；
（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)．
【思路分析】（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點到頂點的距離相等，只要D在上任意一點構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，
（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．
【解析】（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD為等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）由題意作圖為：圖2，圖3
（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如圖4，當AD=AC時，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如圖5，當AD=CD時，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如圖6，當AC=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
【方法指導(dǎo)】本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時合理運用分類討論思想是關(guān)鍵．
4.（2013山西，25，13分）數(shù)學(xué)活動——求重疊部分的面積。
問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：
如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經(jīng)過點C，DF交AC于點G。
求重疊部分（△DCG）的面積。
（1）獨立思考：請解答老師提出的問題。
【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中點,
（25題（1））
∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC
又∵DC=DA,∴G是AC的中點,
∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3
∴SDCG=×CG·DG=×4×3=6
（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。
（25題（2））
【解析】解法一：∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1
∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2
∴GH=GD
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°
∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH
∴點G是AH的中點，
在Rt△ABC中，AB= 10
∵D是AB的中點，∴AD=AB=5
在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=,
∴S△DGH＝S△ADH＝××DH·AD=××5=
（25題（2））
解法二：同解法一，G是AH的中點，
連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點，∴AH=BH，設(shè)AH=x則CH＝８-ｘ
在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=
∴S△ABH=AH·BC=××6=
（25題（2））
∴S△ＤＧＨ=S△ADH=× S△ABH=×=.
解法三：同解法一，∠1=∠2
連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC,
作DM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，∵D是AB的中點，∠ACB=90°
∴CD=AD=BD，∴點M是AC的中點，∴DM=BC=×6=3
在Rt△ABC中，AB==10，AC·BC=AB·CN，
∴CN＝.
∵△DGH∽△BDC, ∴,
∴=
∴
（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，再提出一個求重疊部分面積的問題?！皭坌摹毙〗M提出的問題是：如圖(3)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN求重疊部分(△DMN)的面積、
任務(wù)：①請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是
②請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時針方向旋轉(zhuǎn)）。
（25題（3））
（25題（4））
【答案】①
②注：此題答案不唯一，語言表達清晰、準確得1分，畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點M，DF交AC于點N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。
5.（2013四川樂山，25，12分）閱讀下列材料：
如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點M、N分別在邊AB、BC上，且MN∥AD，記AD=a，BC=b，若，則有結(jié)論：。
請根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問題：
如圖2，3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點P分別作△ABC三邊的垂線段PP1、PP2、PP3，交BC于點P1，交AB于點P2，交AC于點P3。
（1）若點P為線段EF的中點，求證：PP1=PP2＋PP3；
（2）若點P在線段EF上任意位置時，試探究PP1、PP2、PP3的數(shù)量關(guān)系，給出證明。
6. （2013?衢州10分）【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【思路分析】（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論；
（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到=，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論
【解析】（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）解：∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴=，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
【方法指導(dǎo)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．
7. 2013?寧波12分）若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．
（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A．B．C均在格點上，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；
（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)．
【思路分析】（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點到頂點的距離相等，只要D在上任意一點構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，
（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．
【解析】（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD為等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）由題意作圖為：圖2，圖3
（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如圖4，當AD=AC時，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如圖5，當AD=CD時，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如圖6，當AC=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
【方法指導(dǎo)】本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時合理運用分類討論思想是關(guān)鍵．
8.（2013山西，25，13分）數(shù)學(xué)活動——求重疊部分的面積。
問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：
如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經(jīng)過點C，DF交AC于點G。
求重疊部分（△DCG）的面積。
（1）獨立思考：請解答老師提出的問題。
【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中點,
（25題（1））
∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC
又∵DC=DA,∴G是AC的中點,
∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3
∴SDCG=×CG·DG=×4×3=6
（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。
（25題（2））
【解析】解法一：∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1
∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2
∴GH=GD
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°
∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH
∴點G是AH的中點，
在Rt△ABC中，AB= 10
∵D是AB的中點，∴AD=AB=5
在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=,
∴S△DGH＝S△ADH＝××DH·AD=××5=
（25題（2））
解法二：同解法一，G是AH的中點，
連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點，∴AH=BH，設(shè)AH=x則CH＝８-ｘ
在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=
∴S△ABH=AH·BC=××6=
（25題（2））
∴S△ＤＧＨ=S△ADH=× S△ABH=×=.
解法三：同解法一，∠1=∠2
連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC,
作DM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，∵D是AB的中點，∠ACB=90°
∴CD=AD=BD，∴點M是AC的中點，∴DM=BC=×6=3
在Rt△ABC中，AB==10，AC·BC=AB·CN，
∴CN＝.
∵△DGH∽△BDC, ∴,
∴=
∴
（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，再提出一個求重疊部分面積的問題?！皭坌摹毙〗M提出的問題是：如圖(3)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN求重疊部分(△DMN)的面積、
任務(wù)：①請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是
②請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時針方向旋轉(zhuǎn)）。
（25題（3））
（25題（4））
【答案】①
②注：此題答案不唯一，語言表達清晰、準確得1分，畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點M，DF交AC于點N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。
9.（2013四川樂山，25，12分）閱讀下列材料：
如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點M、N分別在邊AB、BC上，且MN∥AD，記AD=a，BC=b，若，則有結(jié)論：。
請根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問題：
如圖2，3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點P分別作△ABC三邊的垂線段PP1、PP2、PP3，交BC于點P1，交AB于點P2，交AC于點P3。
（1）若點P為線段EF的中點，求證：PP1=PP2＋PP3；
（2）若點P在線段EF上任意位置時，試探究PP1、PP2、PP3的數(shù)量關(guān)系，給出證明。
10．（2013貴州省六盤水，22，10分）閱讀材料：
關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcsβ±csasinβ
tan（α±β）=
利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值．
例：tan15°=tan（45°﹣30°）===
根據(jù)以上閱讀材料，請選擇適當?shù)墓浇獯鹣旅鎲栴}
（1）計算：sin15°；
（2）烏蒙鐵塔是六盤水市標志性建筑物之一（圖1），小華想用所學(xué)知識來測量該鐵塔的高度，如圖2，小華站在離塔底A距離7米的C處，測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，小華的眼睛離地面的距離DC為1.62米，請幫助小華求出烏蒙鐵塔的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)，）
11．（2013貴州省黔西南州，25，14分）閱讀材料：
小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明進行了以下探索：
設(shè)a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b=，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a= m2+3n2 ，b= 2mn ；
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？
12. （2013江蘇揚州，28，12分）如果，那么稱為的勞格數(shù)，記為=，由定義可知：與=所表示的是，兩個量之間的同一關(guān)系.
（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：= ，= ；
（2）勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：
若，為正數(shù)，則=＋，=－.
根據(jù)運算性質(zhì)，填空：
= （為正數(shù)），
若=0.3010，則= ，= ，= ；
（3）下表中與數(shù)對應(yīng)的勞格數(shù)有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤的勞格數(shù)，說明理由并改正.
【思路分析】本題首先要理解“如果，那么稱為的勞格數(shù)，記為=，”明確與=所表示的是，兩個量之間的同一關(guān)系，從而找到規(guī)律，才可以解決問題．
【解】（1）1，－2；
（2）3，0.6020，0.6990，-1.0970；
（3）當時，可推出，符合，同理也符合，
如果錯誤，則和兩個也都錯誤，不可能，所以、和全部正確.
當時，可推出，
則，，全部符合.
如果錯誤，則和兩個也都錯誤，不可能，所以、和全部正確.
所以、錯誤.改正如下：
，
【方法指導(dǎo)】本題是一道定義新運算題，關(guān)鍵是理解“如果，那么稱為的勞格數(shù)，記為=，”明確與=所表示的是，兩個量之間的同一關(guān)系．
【易錯警示】沒找出新定義運算的方法，導(dǎo)致錯誤．由于找不到規(guī)律，而采用錯誤的計算方法，出現(xiàn)錯誤．
13．（2013湖南益陽，21，10分）閱讀材料：如圖9，在平面直角坐標系中，、兩點的坐標分別為， ，中點的坐標為．由，得，同理，所以的中點坐標為．由勾股定理得，所以、兩點間的距離公式為．
注：上述公式對、在平面直角坐標系中其它位置也成立．
解答下列問題：
如圖10，直線：與拋物線交于、兩點，為的中點，過作軸的垂線交拋物線于點．
（1）求、兩點的坐標及點的坐標；
（2）連結(jié)，求證為直角三角形；
（3）將直線平移到點時得到直線，求兩直線與的距離．
【思路分析】（1）把直線與拋物線人解析式聯(lián)立起來組成方程，其解即為A、B兩點的坐標；要求C點的坐標，先求出中點P的坐標，從而知道C點的橫坐標，進一步求出C點的縱坐標；（2）有兩種方法：一是先用兩點間距離公式分別求出AC、BC、AB的長，然后運用勾股定理的逆定理判定為直角三角形；二是證明PC=AP=BP，進而證得是直角。（3）過點作于點，求出CG的長即可，可以考慮用面積法。
【答案】：解：（1）由，解得， ．
則,兩點的坐標分別為：，，
∵是,的中點，由中點坐標公式得點坐標為，
又軸交拋物線于點，將代入中得,
∴點坐標為．
（2）由兩點間距離公式得：
，，
∴，
∴，，
∴，即

∴ 為直角三角形．
（3）過點作于 ，過點作于 ，
則點的坐標為，
∴ ,
∴．
又直線與之間的距離等于點C到的距離CG，
∴直線與之間的距離為．
【方法指導(dǎo)】這是一道閱讀理解題，這類問題是今后的熱點，主要考查學(xué)生理解和運用新知識的能力，其取材往往來自于高中課本或其他數(shù)學(xué)書籍。兩點間距離公式雖然初中不講，但在初中經(jīng)常涉及求兩點間距離，學(xué)生一般用構(gòu)造直角三角形以及勾股定理來求，這樣往往比較麻煩。而如果運用兩點間距離公式，則會方便得多。本題的最后一題求CG的長，運用面積法來求顯得比較巧妙。
14．（2013山東德州,22,10分）設(shè)A是由2×4個整數(shù)組成的2行4列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”。
（1）數(shù)表A如表1所示，如果經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表；（寫出一種方法即可）
（2）數(shù)表A如表2所示，若經(jīng)過任意一次“操作”以后，便可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，求整數(shù)a的值。
【思路分析】1）根據(jù)提供信息，理解題目要達到要求，答案不唯一，屬于開放題（2）分析各行、各列上數(shù)字和情況，同時注意其和要符合非負數(shù)（≥0）.
【解】（1）法1：
法2：
（寫出一種即可）
（2）每一列所有數(shù)之和分別為2,0,-2,0,每一行所有數(shù)之和分別為-1,1.
①如果操作第三列，則
則第一行之和為2a-1，第二行這和為5-2a，
2a-1≥0,
5-2a≥0 解得
又∵a為整數(shù)，
∴a=1 ，或a=2
②如果操作第一行，
則每一列之和分別為2-2a,2-2a2,2a-2,2a2,
2-2a≥0,
2a-2≥0 解得a=1,此時2-2a2=0, 2a2=2.
綜上可知a=1
【方法指導(dǎo)】本題考查了新定義閱讀題、分類討論思想.本題是一道以數(shù)列為素材的新定義閱讀理解題，解這類題的關(guān)鍵是順著題意，理解題目的告訴了什么，要做什么？模仿或拓展運用相關(guān)知識內(nèi)容解決. 本題中運用了分類討論思想，發(fā)揮解題的多樣性與嚴謹性.

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考點：
點到直線的距離；坐標確定位置；平行線之間的距離．
專題：
新定義．
分析：
“距離坐標”是（1，2）的點表示的含義是該點到直線l1、l2的距離分別為1、2．由于到直線l1的距離是1的點在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上，到直線l2的距離是2的點在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上，它們有4個交點，即為所求．
解答：
解：如圖，
∵到直線l1的距離是1的點在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上，
到直線l2的距離是2的點在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上，
∴“距離坐標”是（1，2）的點是M1、M2、M3、M4，一共4個．
故選C．
點評：
本題考查了點到直線的距離，兩平行線之間的距離的定義，理解新定義，掌握到一條直線的距離等于定長k的點在與已知直線相距k的兩條平行線上是解題的關(guān)鍵．
考點：
分式的混合運算．
專題：
閱讀型．
分析：
（1）由分母為﹣x2+1，可設(shè)﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b，按照題意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式；
（2）對于x2+7+當x=0時，這兩個式子的和有最小值，最小值為8，于是求出的最小值．
解答：
解：（1）由分母為﹣x2+1，可設(shè)﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b
則﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
∵對應(yīng)任意x，上述等式均成立，
∴，
∴a=7，b=1，
∴===x2+7+
這樣，分式被拆分成了一個整式x2+7與一個分式的和．
（2）由=x2+7+知，
對于x2+7+當x=0時，這兩個式子的和有最小值，最小值為8，
即的最小值為8．
點評：
本題主要考查分式的混合運算等知識點，解答本題的關(guān)鍵是能熟練的理解題意，此題難度不是很大．
考點：
解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．
分析：
（1）把15°化為45°﹣30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcsβ±csasinβ計算，即可求出sin15°的值；
（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，再根據(jù)AB=AE+BE即可得出結(jié)論．
解答：
解：（1）sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cs30°﹣cs45°sin30°=×﹣×=﹣=；
（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，
∴BE=DE?tan∠BDE=DE?tan75°．
∵tan75°=tan（45°+30°）===2+，
∴BE=7（2+）=14+7，
∴AB=AE+BE=1.62+14+7≈27.7（米）．
答：烏蒙鐵塔的高度約為27.7米．
點評：
本題考查了：
（1）特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來求解．
（2）解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出BE的長是解題的關(guān)鍵．
考點：
二次根式的混合運算．
分析：
（1）根據(jù)完全平方公式運算法則，即可得出a、b的表達式；
（2）首先確定好m、n的正整數(shù)值，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出a、b的值；
（3）根據(jù)題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值．
解答：
解：（1）∵a+b=，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案為m2+3n2，2mn．
（2）設(shè)m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案為4、2、1、1．
（3）由題意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
點評：
本題主要考查二次根式的混合運算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于熟練運算完全平方公式和二次根式的運算法則．

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