全國各地中考數(shù)學試卷分類匯編：圓的有關(guān)性質(zhì)-試卷下載-教習網(wǎng)

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
考點：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．
分析：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，由垂徑定理可知AD=AB，設(shè)OA=r，則OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．
解答：解：如圖所示：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=AB=×8=4cm，
設(shè)OA=r，則OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=5cm．
故選C．
點評：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
2. （2013年佛山市，8，3分）半徑為3的圓中，一條弦長為4，則圓心到這條弦的距離是（）
A.3 B.4 C. D.
分析：過點O作OD⊥AB于點D，由垂徑定理可求出BD的長，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的長．
解：如圖所示：
過點O作OD⊥AB于點D，
∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，
∴BD=AB=×4=2，
在Rt△BOD中，OD===．
故選C．
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出OD的長是解答此題的關(guān)鍵
3．（2013廣東珠海，5，3分）如圖，?ABCD的頂點A、B、D在⊙O上，頂點C在⊙O的直徑BE上，∠ADC=54°，連接AE，則∠AEB的度數(shù)為（）
4．（2013貴州安順，10，3分）如圖，A、B、C三點在⊙O上，且∠AOB=80°，則∠ACB等于（）
A．100°B．80°C．50°D．40°
考點：圓周角定理．
分析：由圓周角定理知，∠ACB=∠AOB=40°．
解答：解：∵∠AOB=80°
∴∠ACB=∠AOB=40°．
故選D．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
5．（2013貴州畢節(jié)，12，3分）如圖在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足為C，且OC=3，則⊙O的半徑（）
6．（2013湖北孝感，6，3分）下列說法正確的是（）
7．（2013湖北宜昌，14，3分）如圖，DC 是⊙O直徑，弦AB⊥CD于F，連接BC，DB，則下列結(jié)論錯誤的是（）
8. ．（2013湖南婁底，14，4分）如圖，將直角三角板60°角的頂點放在圓心O上，斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A、B兩點，P是優(yōu)弧AB上任意一點（與A、B不重合），則∠APB= 30° ．
9．（2013·泰安，9，3分）如圖，點A，B，C，在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，則∠BOC等于（）
A．60° B．70° C．120° D．140°
考點：圓周角定理．
分析：過A、O作⊙O的直徑AD，分別在等腰△OAB、等腰△OAC中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出θ＝2α＋2β．
解答：解：過A作⊙O的直徑，交⊙O于D；
△OAB中，OA＝OB，
則∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，
同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×38°＝76°，故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝140°．
點評：本題考查了圓周角定理，涉及了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠COD及∠BOD的度數(shù)．
10．（2013·濰坊，8，3分）如圖，⊙O的直徑AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP：AP＝1：5，則CD的長為（）．

A． B． C． D．
答案：D．
考點：垂徑定理與勾股定理．
點評：連接圓的半徑，構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理與垂徑定理解決．
11．（2013?徐州，5，3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD＝8，OP＝3，則⊙O的半徑為（）
A．10 B．8 C．5 D．3
考點：垂徑定理；勾股定理．
專題：探究型．
分析：連接OC，先根據(jù)垂徑定理求出PC的長，再根據(jù)勾股定理即可得出OC的長．
解答：解：連接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCP中，
∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5．故選C．
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
12．（2013·鞍山，5，2分）已知：如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為（）
A．45°B．35°C．25°D．20°
考點：圓周角定理．
專題：探究型．
分析：直接根據(jù)圓周角定理進行解答即可．
解答：解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°．故選A．
點評：本題考查的是圓周角定理，即在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
13. （2013?嘉興4分）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為（）
【答案】D．
【解析】∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=8，
∴AC=AB=4，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r﹣2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴AE=2r=10，
連接BE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE===6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE===2．
【方法指導】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
14. 2013浙江麗水3分)一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，則截面圓心O到水面的距離OC是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
15. （2013?紹興4分）紹興市著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為（）
【答案】D．
【解析】連接OA，
∵橋拱半徑OC為5m，
∴OA=5m，
∵CD=8m，
∴OD=8﹣5=3m，
∴AD===4m，
∴AB=2AD=2×4=8（m）；
．
【方法指導】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理
16. 2013?紹興4分）小敏在作⊙O的內(nèi)接正五邊形時，先做了如下幾個步驟：
（1）作⊙O的兩條互相垂直的直徑，再作OA的垂直平分線交OA于點M，如圖1；
（2）以M為圓心，BM長為半徑作圓弧，交CA于點D，連結(jié)BD，如圖2．若⊙O的半徑為1，則由以上作圖得到的關(guān)于正五邊形邊長BD的等式是（）
【答案】C．
【解析】如圖2，連接BM，
根據(jù)題意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分線交OA于點M，
∴OM=AM=OA=，
∴BM==，
∴DM=，
∴OD=DM﹣OM=﹣=，
∴BD2=OD2+OB2===OD．
【方法指導】此題考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及分母有理化的知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
17.（2013四川巴中，8，3分）如圖，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，則∠BCD等于（）
18
（2013四川樂山，9，3分）如圖，圓心在y軸的負半軸上，半徑為5的⊙B與y軸的正半軸交于點A（0，1）。過點P（0，－7）的直線l與⊙B相交于C、D兩點，則弦CD長的所有可能的整數(shù)值有【】
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
19.（2013四川內(nèi)江，12，3分）如圖，半圓O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，則AD的長為（）
20．（2013江蘇蘇州，7，3分）如圖，AB是半圓的直徑，點D是弧AC的中點，∠ABC＝50°，則∠DAB等于（）．
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C．
【解析】如圖，連接AC，因為AB是半圓的直徑，所以∠ACB＝90°．因為∠ABC＝50°，所以∠BAC＝40°．因為點D是弧AC的中點，∠ABC＝50°，所以∠DAC＝25°．所以∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝40°＋25°＝65°．所以應(yīng)選C．
【方法指導】直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半，這些定理都是圓中計算角度時常用的定理．
【易錯警示】沒有理解圓中角之間關(guān)系而出錯．
21.（2013貴州安順，10，3分）如圖A、B、C三點在⊙O上，且∠AOB=80°，則∠ACB等于( )
A．100° B．80° C．50° D．40°
【答案】：D．
【解析】∵∠AOB=80°,∴∠ACB=∠AOB=40°．
【方法指導】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．由圓周角定理知，∠ACB=∠AOB=40°．
22．（2013山東臨沂，12，3分）如圖，⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，則∠AOB的度數(shù)是（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
【答案】：B．
【解析】連接OC，因為OB=OC,所以∠OCB＝∠CBO＝45°；因為OA=OC,所以∠OCA＝∠CAO＝15°;所以∠BCA=45°-15°=30°，所以∠AOB=2∠BCA=60°。
【方法指導】在圓中，兩條半徑構(gòu)成的三角形是一個等腰三角形，一條弧所對的圓心角是所對圓周角的2倍。
23. （2013湖南益陽，12，4分）如圖3，若是⊙的直徑，cm，,則= cm．
【答案】：5
【解析】因為AB是直徑，所以，又因為，所以BC==5.
【方法指導】本題主要考查與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)，現(xiàn)在中考對圓的考查的難度已經(jīng)降低，主要考查關(guān)于圓的基本概念和性質(zhì)，以及一些基本的應(yīng)用。
24．（2013山東濱州，4，3分）如圖，在⊙O中圓心角∠BOC=78°，則圓周角∠BAC的大小為
A．156° B．78° C．39° D．12°
【答案】：C．
【解析】根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得∠BAC=∠BOC=39°.
【方法指導】本題考查圓周角與圓心角的關(guān)系.同弧所對的圓周角等于圓心角的一半.
25．（2013山東日照，10，4分）如圖，在△ABC中，以BC為圓的直徑分別交邊AC、AB于D、E兩點，連接BD、DE．若BD平分∠ABC，則下列結(jié)論不一定成立的是
A.BD⊥AC B.AC2=2AB·AE
C.△ADE是等腰三角形 D. BC＝2AD.
【答案】D
【解析】∵BC為圓的直徑，∴∠BDC=90°,即BD⊥AC。
∵BD平分∠ABC，∴AD=DC. ∴△ABC是等腰三角形。
由題意得∠ADE=∠ABC, ∠A為公共角，∴△ADE∽△ABC, ∴,∴AC2=2AB·AE?！唷鰽DE是等腰三角形。
故只有D不一定正確。
【方法指導】本題是以圓為背景的幾何證明題，涉及到的知道點等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)。
26．（2013廣東湛江，11，4分）如圖，AB是⊙O的直徑，∠AOC＝110°，則∠D=( )
A．25° B．35° C．55° D．70°
第11題圖
【答案】B.
【解析】由于∠AOC＝110°，由∠BOC=70°,于是∠D=35°
【方法指導】1.圓中通常把圓周角和圓心角以及它們所對的弧的度數(shù)進行轉(zhuǎn)換，怎么轉(zhuǎn)換需要根據(jù)題目的要求來確定。2.同圓的半徑相等，有時還需要連接半徑，用它來構(gòu)造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用等邊對等角以及三線合一來進行證明和計算。
【易錯警示】一條弧與它所對圓心角的度數(shù)是1比1的關(guān)系，一條弧與它所對的圓周角是2比1的關(guān)系，計算時容易搞錯。
27．(2013四川成都，10，3分)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，則∠BOC的度數(shù)為( )
(A)40° (B)50° (C)80° (D)100°
【答案】D．
【解析】∵一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的度數(shù)的一半，∴∠O＝2∠A＝2×50°＝100°．故選D．
【方法指導】與圓周角有關(guān)的計算，要注意兩解的情況，防止漏解．
28 （2013四川宜賓，10，3分）如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點D，OM⊥AB于點M，則sin∠CBD的值等于( )
A．OM的長 B． 2OM的長 C． CD的長 D． 2CD的長
【答案】A ．
【解析】連接OA可得∠OAB=∠CBD,所以sin∠CBD=sin∠OAB==OM故本題選A.
【方法指導】本題考查了（1）圓周角定理推論1：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上圓心角度數(shù)的一半；（2）等腰三角形“三線合一”；（3）銳角三角函數(shù)等知識.要求一個銳角的三角函數(shù)值若直接求不出來可求與它相等的角的三角函數(shù)值.
29. （2013四川瀘州，9，2分）已知的直徑CD＝10cm，AB是的弦，，垂足為M，且AB＝8cm，則AC的長為（）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】先畫出符合題意的圖形，分兩種情況：
①當AO在Rt△ACM內(nèi)部時，AC＝＝4(cm)；
②當AO在Rt△ACM外部時，AC＝＝2(cm)；
所以選C．
【方法指導】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，分類討論思想，畫圖能力．最大的難度在于畫圖時，考慮問題要全面．
【易錯警示】容易只畫出一種圖形而漏解，以致錯選A或B．
30. （2013四川雅安，10，3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，∠CDB＝30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于E，則sin∠E的值為( )

A． eq \f(1,2) B． eq \f(3,2) C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),3)
【答案】A
【解析】連CO，則CO⊥CD．因為∠COE＝2∠CDB＝60°，所以∠E＝30°，則sin∠E＝ eq \f(1,2)．
【方法指導】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，特殊角的三角函數(shù)值，以及識圖、推理能力．
31．（2013四川南充，13，4分）點A，B，C是半徑為15cm的圓上三點，∠BAC=36°，則eq \(\s\up2 (⌒ ),\s\d 5(BC))的長為 cm．
【答案】：
【解析】根據(jù)圓周角定理及弧長公式即可求得結(jié)果為.
【方法指導】本題主要考察了一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半和弧長公式．根據(jù)題意畫出圖形尤為重要.
二．填空題
1．（2013蘭州，18，4分）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點E，第24秒，點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是度．
考點：圓周角定理．
分析：首先連接OE，由∠ACB=90°，易得點E，A，B，C共圓，然后由圓周角定理，求得點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)．
解答：解：連接OE，
∵∠ACB=90°，
∴A，B，C在以點O為圓心，AB為直徑的圓上，
∴點E，A，B，C共圓，
∵∠ACE=3×24=72°，
∴∠AOE=2∠ACE=144°．
∴點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是：144°．
故答案為：144．
點評：本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
2．（2013年佛山市，14，3分）圖中圓心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延長CO與圓交于點D，則∠BOD= ．
分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)由CA∥OB得到∠CAO=∠AOB=30°，利用半徑相等得到∠C=∠OAC=30°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠AOD=2∠C=60°，則∠BOD=60°﹣30°=30°．
解：解：∵CA∥OB，∴∠CAO=∠AOB=30°，
∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=30°，∴∠AOD=2∠C=60°，∴∠BOD=60°﹣30°=30°．故答案為30°．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角度數(shù)的一半．也考查了平行線的性質(zhì)．
3 ．（2013湖南郴州，13，3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，∠BAC=70°，則∠OCB= 20 °．
4 ．[2013湖南邵陽，17，3分]如圖(五)所示，弦AB、CD相交于點O，連結(jié)AD、BC，在不添加輔助線的情況下，請在圖中找出一對相等的角，它們是_______..
圖（五）
知識考點：圓周角定理.
審題要津：熟記“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半”即可解答.
滿分解答：解：∵弧AC=弧AC，∴∠B=∠D；∵弧BD=弧BD，∴∠A=∠C；.∠AOD=∠BOC（對頂角相等）；∠AOC=∠BOD（對頂角相等）.故答案為∠A=∠C，∠B=∠D，∠AOD=∠BOC，∠AOC=∠BOD中的任一個均可.
名師點評：此題為開放性題目，答案不唯一.
5．（2013湖南張家界，12，3分）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD垂直，且∠BAC=40°，則∠BOD= 80° ．
6．（2013?徐州，16，3分）如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠C＝30°，則∠AOB的度數(shù)為．
考點：圓周角定理．
分析：根據(jù)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半得：∠AOB＝2∠C，進而可得答案．
解答：解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠C＝30°，
∴∠AOB＝2∠C＝2×30°＝60°．故答案為：60°．
點評：此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
7．（2013上海市，14，4分）在⊙中，已知半徑長為3，弦長為4，那么圓心到的距離為___________．
8.（2013陜西，16，3分）如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，
且∠ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，
直線EF與⊙O交于G、H兩點，若⊙O的半徑為7，
則GE+FH的最大值為．
考點：此題一般考查的是與圓有關(guān)的計算，考查有垂徑定理、相交弦定理、圓心角與圓周角的關(guān)系，及扇形的面積及弧長的計算公式等知識點。
解析：本題考查圓心角與圓周角的關(guān)系應(yīng)用，中位線及最值問題。連接OA，OB，
因為∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以O(shè)A=OB=AB=7，因為E、F中AC、BC的中點，
所以EF==3.5，因為GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF為定值，所以GH取最大值時GE+FH有最大值，所以當GH為直徑時，GE+FH的最大值為14-3.5=10.5
9.（2013四川內(nèi)江，25，6分）在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y=kx﹣3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為 24 ．
10．（2013貴州省黔西南州，14，3分）如圖所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，則∠ABO的度數(shù)為 50° ．
11.（2013湖北黃岡，13，3分）如圖，M是CD的中點，EM⊥CD，若CD＝4，EM=8，則所在圓的半徑為．
【答案】．
【解析】連接OC，設(shè)圓的半徑為r，由弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，知點O在EM上，則OC＝r，OM＝8－r．在Rt△OCM中，由勾股定理，得22＋(8－r) 2＝r2，解得r＝．
【方法指導】本題考查垂徑定理及其推論，勾股定理，方程思想．如下圖，在⊙O中，OC⊥AB于D，OA是半徑，我們把OD叫做弦心距（即圓心到弦的距離），AD叫做半弦，求解與垂徑定理相關(guān)的圓類計算問題時，通常需要把相關(guān)數(shù)量集中到由它們所組成的直角三角形中，運用勾股定理解決．事實上，若AB＝l，OA＝R，OD＝d，CD＝h，根據(jù)OA2＝AD2＋OD2及OC＝OD＋CD，當知道l、R、d、h中的任意兩個量時，就可求出剩余的兩個量．
12. （2013江蘇揚州，18，3分）如圖，已知⊙O的直徑AB=6，E、F為AB的三等分點，M、N為上兩點，且∠MEB= ∠NFB= 60°，則EM＋FN= ．
【答案】．
【解析】分析：如圖，延長ME交⊙O于G，根據(jù)圓的中心對稱性可得FN=EG，過點O作OH⊥MN于H，連接MO，根據(jù)圓的直徑求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根據(jù)垂徑定理可得MG=2MH，從而得解．
解：如圖，延長ME交⊙O于G．
∵E、F為AB的三等分點，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG．
過點O作OH⊥MN于H，連接MO．
∵⊙O的直徑AB=6，
∴OE=OA－AE=×6－×6=1，OM=×6=3．
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE?sin60°=1×=．
在Rt△MOH中，MH===．
根據(jù)垂徑定理，MG=2MH=2×=．
即EM＋FN=．所以應(yīng)填．
【方法指導】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，以及解直角三角形，作輔助線并根據(jù)圓的中心對稱性得到FN=EG是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
【易錯警示】不會作輔助線，不會運用圓的對稱性．
13．（2013廣東廣州，16，3分）如圖7，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P在第一象限，⊙P與x軸交于O,A兩點，點A的坐標為（6,0），⊙P的半徑為，則點P的坐標為____________.
【答案】（3，2）.
【解析】如圖，作PB⊥OA于點B，連接PO
∵點A的坐標為（6,0），∴OB=3，在Rt△POB中，PO=，OB=3，∴由勾股定理求得PB=2，所以，點P的坐標是（3，2），故答案填（3，2）.
【方法指導】對于這類問題，通常都需先作已知弦的垂線段并連接半徑，由垂徑定理和勾股定理聯(lián)合求解
14． (2013湖南邵陽,17,3分)如圖(五)所示，弦AB、CD相交于點O，連結(jié)AD、BC，在不添加輔助線的情況下，請在圖中找出一對相等的角，它們是_______..
【答案】：∠A=∠C，∠B=∠D，∠∠AOD=∠BOC，
∠AOC=∠BOD中的任一個均可.
【解析】：∵∠A與∠C是同弧所對的圓周角，
∴∠A=∠C（答案不唯一）．故答案為：∠A=∠C（答案不唯一）．
【方法指導】：本題考查的是圓周角定理，此題屬開放性題目，答案不唯一．
15. (湖南株洲,13,3分) 如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=420，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數(shù)是度.
【答案】：480
【解析】:∵AB是⊙O的直徑，∴OA=OC,∵∠A=42°,∴∠ACO=∠A=42°∵D為AC的中點，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°-∠DCO=90°-42°=48°．故答案為：48．
【方法指導】:本題考查了垂徑定理的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)弦的中點得到弦的垂線.根據(jù)點D是弦AC的中點，得到OD⊥AC，然后根據(jù)∠DOC=∠DOA即可求得答．
三．解答題
1．（2013江西，16，3分）如圖AB是半圓的直徑，圖1中，點C在半圓外；圖2中，點C在半圓內(nèi)，請僅用無刻度的直尺按要求畫圖．
（1）在圖1中，畫出△ABC的三條高的交點；
（2）在圖2中，畫出△ABC中AB邊上的高．
【思路分析】圖1點C在圓外，要畫三角形的高，就是要過點B作AC的垂線，過點A作BC的垂線，但題目限制了作圖的工具（無刻度的直尺，只能作直線或連接線段），說明必須用所給圖形本身的性質(zhì)來畫圖（這就是創(chuàng)新作圖的魅力所在），作高就是要構(gòu)造90度角，顯然由圓的直徑就應(yīng)聯(lián)想到“直徑所對的圓周角為90度”.設(shè)AC與圓的交點為E, 連接BE,就得到AC邊上的高BE；同理設(shè)BC與圓的交點為D, 連接AD,就得到BC邊上的高AD，則BE與AD的交點就是△ABC的三條高的交點；題（2）是題（1）的拓展、升華，三角形的三條高相交于一點，受題（1）的啟發(fā)，我們能夠作出△ABC的三條高的交點P，再作射線PC與AB交于點D，則CD就是所求作的AB邊上的高．
[解]在圖1中，點P即為所求；在圖2中，CD即為所求．
【方法指導】本題屬創(chuàng)新作圖題，是江西近年熱點題型之一.考查考生對圓的性質(zhì)的理解、讀圖能力，題（1）是要作點，題（2）是要作高，都是要解決直角問題，用到的知識就是“直徑所對的圓周角為直角”．
2 ．[2013湖南邵陽，22，8分]如圖(八)所示，某窗戶由矩形和弓形組成.已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m.現(xiàn)計劃安裝玻璃，請幫工程師求出eq \(⌒,AB)所在圓O的半徑.
知識考點：垂徑定理的實際應(yīng)用.
審題要津：根據(jù)垂直于弦的直徑平分弦可知OE⊥AB，AF=FB，根據(jù)勾股定理即可求得圓的半徑.
滿分解答：解：設(shè)⊙O的半徑為r,則OF=r -1.
由垂徑定理，得BF= eq \f(1,2)AB=1.5,OF⊥AB,
由OF2 +BF2= OB2，得(r -1)2+1.52 =r2,
解得r= eq \f(13,8).
答：eq \(⌒,AB)所在圓O的半徑為 eq \f(13,8).
名師點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的實際應(yīng)用.
3.（2013陜西，23，8分）（本題滿分8分）
如圖，直線與⊙O相切于點D，過圓心O作EF∥交⊙O于E、F兩點，點A是⊙O上一點，連接AE，AF，并分別延長交直線于B、C兩點；
（1）求證：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）若⊙O的半徑，BD=12，求tan∠ACB的值．
考點：切線的性質(zhì)應(yīng)用，圓內(nèi)角的性質(zhì)的應(yīng)用，
正方形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用及三角函數(shù)的定義及
正切值的求法。構(gòu)造矩形的過程與12年的類似。
解析：切線的性質(zhì)的應(yīng)用是：有切線，連切點，
得垂直。直徑所對的圓周角是直角的應(yīng)用及等價轉(zhuǎn)化的思想的應(yīng)用。
證明：如圖，∵EF是⊙O的直徑，∴∠EAF=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°
解：連接OD，則OD⊥BD．過點E作EH⊥BC，垂足為點H，
∴ EH∥OD ∵EF∥BC，EH∥OD OE=OD
∴四邊形EODH是正方形．∴EH=HD=OD=5
∵BD=12，∴BH=7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH=
又∵∠ABC+∠BEH=90°,∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BEH
∴tan∠ACB．
4.（2013四川綿陽，21，12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE。
（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若E是的中點，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積。
解（1）直線CD與⊙O相切。
證明：連結(jié)AC，OA=OC，
∠OAC=∠OCA，
AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，
∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD與⊙O相切。
（2）連結(jié)OE，，點E是的中點，
，∠DAC=∠ECA（相等的弧所對的圓周角相等），
∠DAC=∠OAC（（1）中已證），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，
四邊形AOCE是平行四邊形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1，
OC=OE=CE=OA=AE=1，四邊形AOCE是菱形，△OCE是等邊三角形，
∠OCE=60o，∠OCD=90o，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90o-60o=30o，
AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED= eq \f(1,2) CE = eq \f(1,2) ,DC=cs30o?CE= eq \f(\r(,3),2) ,
CE弧與CE弦所圍成部分的面積 = AE弧與AE弦所圍成部分的面積，
S陰影=S△DCE= eq \f(1,2) ?ED?DC= eq \f(1,2) × eq \f(1,2) × eq \f(\r(,3),2) = eq \f(\r(,3),8) .
答：圖中陰影部分的面積為 eq \f(\r(,3),8) 。
5.（2013四川內(nèi)江，25，12分）如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．
（1）求證：BC平分∠PDB；
（2）求證：BC2=AB?BD；
（3）若PA=6，PC=6，求BD的長．
6．（2013貴州省六盤水，24，10分）（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（1）：若點A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作點B關(guān)于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．
如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為．
（2）實踐運用
如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為．
（3）拓展延伸
如圖（4）：點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

7．（2013貴州省黔西南州，22，12分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點E，點P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求證：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直徑．

8．（2013湖北省鄂州市，22，9分）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．
（1）求證：DE為⊙O的切線．
（2）求證：AB：AC=BF：DF．

9．（2013湖北省十堰市，1，10分）如圖1，△ABC中，CA=CB，點O在高CH上，OD⊥CA于點D，OE⊥CB于點E，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O．
（1）求證：⊙O與CB相切于點E；
（2）如圖2，若⊙O過點H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積和tan∠BHE的值．

10．（2013山東德州,20,8分）如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過D點作⊙O的切線AD，C是AD的中點，AE交⊙O于B點，四邊形BCOE是平行四邊形。
（1）求AD的長；
（2）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明，說明理由。
【思路分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)、直線與圓位置關(guān)系與
平行四邊形等.（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，通過添加輔助線（連接BD），再根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半可求出AD長；（2）連接OB，證OB⊥BC即可.
【解】1）連接BD，則∠DBE=90，
∵四邊形BCOE是平行四邊形，
∴BC∥OE，BC=OE=1
在Rt△ABD中，C為AD的中點，
∴BC=AD=1
∴AD=2
（2）連接OB，由（1）得BC∥OD，且BC=OD。
∴四邊形BCDO是平行四邊形
又∵AD是⊙O的切線。
∴OD⊥AD
∴四邊形BCDO是矩形。
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線
【方法指導】本題以圓為背景，但考查了圓周角、圓的切線性質(zhì)判定與性質(zhì)、平行四邊形、矩形等知識.一般情況下，證明一條直線是否為圓的切線，看這條直線是否過徑外斷，如果沒有，哪可以添加這條輔助線，再證其相互垂直.
11．（2013湖南永州，23，10分）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，圓心在AC上，∠A=30°，D為的中點．
(1)求證:AB=BC；
(2)求證:四邊形BOCD是菱形．
【思路分析員】（1）利用等角對等邊來證；（2）證對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。
【解】證明：（1）∵AB是⊙O的切線
∴∠OBA=90°,∠AOB=90°-30°=60°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∵∠AOB=∠OBC+∠OCB
∴∠OCB=30°=∠A
∴AB=BC
(2)連接OD交BC于點M
∵D是的中點
∴OD垂直平分BC
在直角△OMC中
∵∠OCM=30°
∴OC=2OM=OD
∴OM=DM
于是四邊形BOCD是菱形
【方法指導】（1）有切線一定用過切點的半徑來證垂直關(guān)系，進而得出其它的有關(guān)系；（2）有了弧的中點一定會連接過中點的半徑構(gòu)造垂徑定理的基本圖形來證題。
12． (2013山東煙臺，24,8分) 如圖，AB是⊙O的直徑．BC是⊙O 的切線，連接AC交⊙O于點D，E為弧AD上一點，連結(jié)AE，BE，BE交AC于點F,且

(1)求證CB=CF
(2)若點E到弦AD的距離為1，求⊙O 的半徑.
【思路分析】（1）利用以及∠E為公共角易證
△AEF∽△BEA，進而可得∠5=∠4，然后證明∠2=∠3即可證出CF=BC.
(2)通過證明⊿AEF∽⊿BEA.可得∠5=∠4∴點E為弧AD的中點，連接OE，利用垂徑定理可得OE垂直平分AD.然后把
轉(zhuǎn)化成,設(shè)半徑為R，運用方程思想列出方程即可求出圓的半徑.
【解】(1)證明：∵
又∴⊿AEF∽⊿BEA.
∴∠4=∠5.
∵AB是直徑，BC切⊙O于點B，
∴
∴∠1=∠3
∵∠1=∠2∴∠2=∠3
∴BC=CF∴
(2)連結(jié)OE交AC于點G．

由(1)知∠4=∠5，∴⌒AE= eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(ED))
∴OE⊥AD. ∴EG=1
∵且∴
設(shè)⊙O半徑為r，則,解得.
∴圓半徑為
【方法指導】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形、垂徑定理、圓周角定理的推論、三角形相似、三角函數(shù)以及方程思想的運用，本題綜合能力較強，解題時注意仔細分析、觀察圖形，適當添加輔助線，才能將問題層層分解.
13. （2013四川宜賓，22，8分）(本題滿分8分)
如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點D，E是邊BC的中點，連接DE．
(1)求證：直線DE是⊙O的切線；(2)連接OC交DE于點F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．
【思路分析】（1）連接OD、OE、BD由△ODE≌△OBE證明OD⊥DE（∠ODE =90°）.
（2）要求tan∠ACO的值首先應(yīng)將∠ACO構(gòu)造在直角三角形中，可過點O作AC的垂直平分線，因為O，E分別為AB,BC的中點可得OE為△ABC的中位線，因為OF=CF所以△DCF≌△EOF得到OE=CD=AD.根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等得出AB=AC，所以△ABC為等腰直角三角形，所以∠A=45°，由垂徑定理及等腰三角形的性質(zhì)可知OH=AH=DH，所以CH=3OH，故tan∠ACO=
【解】 (1)連接OD、OE、BD．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠CDB=∠ADB=90°，
∵E點是BC的中點，∴DE=CE=BE．
∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE．
∴∠ODE=∠OBE=90°，∴直線DE是⊙O的切線．
(2)作OH⊥AC于點H，
由(1)知，BD⊥AC，EC=EB．
∵OA=OB，∴OE∥AC，且．
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF．
∵CF=OF， ∴△DCF≌△EOF， ∴DC=OE=AD．
∴BA=BC， ∴∠A=45°．
∵OH⊥AD，∴OH=AH=DH．
∴CH=3OH，∴tan∠ACO=．
【方法指導】（1）證切線共有兩種類型題①已知半徑則證垂直.在證垂直時要充分運用題目中已有的直角.②不知半徑則作垂直證半徑.（2）要求一個銳角的三角函數(shù)值首先要把這個角構(gòu)造在直角三角形中或把與這個角相等的角構(gòu)造在直角三角形中.解決此類問題要注意三角形中位線、線段垂直平分線及三角形全等（相似）等知識的應(yīng)用.
14.（2013四川瀘州，24，10分）如圖，D為上一點，點C在直徑BA的延長線上，且．
（1）求證：；
（2）求證：是的切線；
（3）過點B作的切線交CD的延長線于點E，若BC＝12，tan＝，求BE的長．
【答案】（1）證明：，∴△ACD～△DCB，∴，即，
（2）證明：連OD，OE，如圖，
∵AB為直徑，∴，即，
又∵，而，
∴，
∴，即，
∴CD是的切線．
（3）解：∵EB為的切線，
∴ED＝EB，OE⊥BD．
∴，∴．
而tan＝，∴tan＝，
∵Rt△CDO～△CBE，∴，
∴，
在Rt△CBE中，設(shè)BE＝x，∴，解得．
即BE的長為5．
【解析】（1）通過相似三角形（△ADC∽△DBC）的對應(yīng)邊成比例來證得結(jié)論；
（2）如圖，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OA即可；
（3）通過相似三角形△EBC∽△ODC的對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于BE的方程，通過解方程來求線段BE的長度即可．
【方法指導】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；同時考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．
15（2013福建福州，20，12分）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點M，弦MN∥BC交AB于點E，且ME＝1，AM＝2，AE＝ ]
（1）求證BC是⊙O的切線；
（2）求的長．
【思路分析】（1）由題意知三角形三條邊長，可根據(jù)勾股定理逆定理得出△AME是直角三角形，從而得出∠AEM＝90°，再利用平行線的性質(zhì)得出∠ABC＝∠AEM＝90°，從而證出BC是⊙O的切線．
（2）欲求的長需先求得半徑與圓心角，在Rt△AME中利用銳角三角函數(shù)易求出∠A＝30°，利用垂徑定理得出＝ EQ \ \ac ( EQ \s \up8 (⌒),MB)和EN＝EM＝1，再利用“在同圓中，同弧所對圓周角的度數(shù)等于所對圓心角的度數(shù)的一半” 得出∠BON＝2∠A＝60°，連接ON，在Rt△ONE中運用銳角三角函數(shù)求出ON長，最后，應(yīng)用弧長公式計算即可．
解：（1）證明：∵ME＝1，AE＝，AM＝2．
∴ME2＋AE2＝AM2
∴∠AEM＝90°
∵MN∥BC
∴∠ABC＝∠AEM＝90°
即OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線
（2）解：連接ON
在Rt△AME中，sinA＝＝
∴∠A＝30°
∵AB⊥MN
∴＝，EN＝EM＝1
∴∠BON＝2∠A＝60°
在Rt△ONE中sin∠EON＝
∴ON＝＝
∴的長＝·＝π
【方法指導】此題是一道以圓為載體設(shè)計銳角三角函數(shù)的綜合性題目，主要考查了勾股定理逆定理、平行線的性質(zhì)、切線的判定、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、弧長公式、圓周角與圓心角之間的關(guān)系等有關(guān)知識．掌握切線的判定方法，即作半徑證垂直（已知點在圓上）；作垂直證相等（點不知是否在圓上）；垂徑定理要掌握“知二推三”；銳角三角函數(shù)的應(yīng)用要找準直角三角形，選準銳角三角函數(shù)．總之，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解答綜合題目的根本．
16. (2013湖南邵陽,22,8分)如圖(八)所示，某窗戶由矩形和弓形組成.已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m.現(xiàn)計劃安裝玻璃，請幫工程師求出eq \(⌒,AB)所在圓O的半徑.
【解析】：解：設(shè)⊙O的半徑為r,則OE=r -1.
由垂徑定理，得BF= eq \f(1,2)AB=1.5,OF⊥AB,
由OF2 +BF2= OB2，得(r -1)2+1.52 =r2,
解得r= eq \f(13,8).
答：eq \(⌒,AB)所在圓O的半徑為 eq \f(13,8).
【方法指導】：本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，此類題目通常采用把半弦，弦心距，半徑三者放到同一個直角三角形中，利用勾股定理解答．
17. (湖南株洲,20) 已知AB是⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點B，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，AD的延長線交BC于點C.
⑴求∠BAC的度數(shù)；
⑵求證：AD=CD.
【解析】：
⑴解：∵OB是⊙O的半徑，直線BC與⊙O相切于點B
∴∠ABC=90°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠ABC=45°
∵AB是⊙O的直徑,即∠ADB=90°
∴∠BAD=45°即∠BAC的度數(shù)為45°.
⑵證明：由（1）可知△ADB與△CDB均為等腰直角三角形，且∠ADB=∠CDB=90°
∴AD=DB=DC即AD=CD.
【方法指導】:此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

A．
36°
B．
46°
C．
27°
D．
63°
考點：
圓周角定理；平行四邊形的性質(zhì)．
分析：
根據(jù)BE是直徑可得∠BAE=90°，然后在?ABCD中∠ADC=54°，可得∠B=54°，繼而可求得∠AEB的度數(shù)．
解答：
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=54°，
∴∠B=∠ADC=54°，
∵BE為⊙O的直徑，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°．
故選A．
點評：
本題考查了圓周角定理及平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠B=∠ADC．

A．
5
B．
10
C．
8
D．
6
考點：
垂徑定理；勾股定理．
專題：
探究型．
分析：
連接OB，先根據(jù)垂徑定理求出BC的長，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的長度．
解答：
解：連接OB，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴BC=AB=×8=4，
在Rt△OBC中，OB===．
故選A．
點評：
本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．

A．
平分弦的直徑垂直于弦

B．
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角

C．
相等的圓心角所對的弧相等

D．
若兩個圓有公共點，則這兩個圓相交
考點：
圓與圓的位置關(guān)系；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．
分析：
利用圓與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、圓周角定理等有關(guān)圓的知識進行判斷即可
解答：
解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項錯誤；
B、半圓或直徑所對的圓周角是直角，故本選項正確；
C、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項錯誤；
D、兩圓有兩個公共點，兩圓相交，故本選項錯誤，
故選B．
點評：
本題考查了圓與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、圓周角定理等有關(guān)圓的知識，牢記這些定理是解決本題的關(guān)鍵．

A．
B．
AF=BF
C．
OF=CF
D．
∠DBC=90°
考點：
垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．
分析：
根據(jù)垂徑定理可判斷A、B，根據(jù)圓周角定理可判斷D，繼而可得出答案．
解答：
解：∵DC是⊙O直徑，弦AB⊥CD于F，
∴點D是優(yōu)弧AB的中點，點C是劣弧AB的中點，
A、=，正確，故本選項錯誤；
B、AF=BF，正確，故本選項錯誤；
C、OF=CF，不能得出，錯誤，故本選項錯誤；
D、∠DBC=90°，正確，故本選項錯誤；
故選C．
點評：
本題考查了垂徑定理及圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理、圓周角定理的內(nèi)容，難度一般．
考點：
圓周角定理．
分析：
根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，即可得出答案．
解答：
解：由題意得，∠AOB=60°，
則∠APB=∠AOB=30°．
故答案為：30°．
點評：
本題考查了圓周角定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理的內(nèi)容．

A．
2
B．
8
C．
2
D．
2

A．
4m
B．
5m
C．
6m
D．
8m

A．
BD2=OD
B．
BD2=OD
C．
BD2=OD
D．
BD2=OD

A．
116°
B．
32°
C．
58°
D．
64°
考點：
圓周角定理．
分析：
由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB=90°，繼而求得∠A的度數(shù)，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得答案．
解答：
解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，
∴∠BCD=∠A=32°．
故選B．
點評：
此題考查了圓周角定理與直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

A．
cm
B．
cm
C．
cm
D．
4cm
考點：
圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
分析：
連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，運用圓周角定理，可證得∠DOB=∠OAC，即證△AOF≌△OED，所以O(shè)E=AF=3cm，根據(jù)勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理，可求AD的長．
解答：
解：連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD（角平分線的性質(zhì)），
∴=，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△OED，
∴OE=AF=AC=3cm，
在Rt△DOE中，DE==4cm，
在Rt△ADE中，AD==4cm．
故選A．
點評：
本題考查了翻折變換及圓的有關(guān)計算，涉及圓的題目作弦的弦心距是常見的輔助線之一，注意熟練運用垂徑定理、圓周角定理和勾股定理．
考點：
圓周角定理．
分析：
根據(jù)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，在等腰三角形OBC中可求出∠OCB．
解答：
解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=70°，
∴∠B0C=2∠BAC=2×70°=140°，
∵OC=OB（都是半徑），
∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣∠BOC）=20°．
故答案為：20°．
點評：
此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
考點：
圓周角定理；垂徑定理．
分析：
根據(jù)垂徑定理可得點B是中點，由圓周角定理可得∠BOD=2∠BAC，繼而得出答案．
解答：
解：∵，⊙O的直徑AB與弦CD垂直，
∴=，
∴∠BOD=2∠BAC=80°．
故答案為：80°．
點評：
此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
考點：
一次函數(shù)綜合題．
分析：
根據(jù)直線y=kx﹣3k+4必過點D（3，4），求出最短的弦CD是過點D且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD的長，再根據(jù)以原點O為圓心的圓過點A（13，0），求出OB的長，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．
解答：
解：∵直線y=kx﹣3k+4必過點D（3，4），
∴最短的弦CD是過點D且與該圓直徑垂直的弦，
∵點D的坐標是（3，4），
∴OD=5，
∵以原點O為圓心的圓過點A（13，0），
∴圓的半徑為13，
∴OB=13，
∴BD=12，
∴BC的長的最小值為24；
故答案為：24．
點評：
此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、圓的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是求出BC最短時的位置．
考點：
圓周角定理．
分析：
連接OA，根據(jù)圓周角定理可得出∠AOB的度數(shù)，再由OA=OB，可求出∠ABO的度數(shù)．
解答：
解：連接OA，
由題意得，∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=80°，
∵OA=OB（都是半徑），
∴∠ABO=∠OAB=（180°﹣∠AOB）=50°．
故答案為：50°．
點評：
本題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
考點：
切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．
專題：
計算題．
分析：
（1）連接OC，由PD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC與BD平行，利用兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等，再由OC=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證；
（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到△ABC為直角三角形，根據(jù)一對直角相等，以及第一問的結(jié)論得到一對角相等，確定出△ABC與△BCD相似，由相似得比例，變形即可得證；
（3）由切割線定理列出關(guān)系式，將PA，PC的長代入求出PB的長，由PB﹣PA求出AB的長，確定出圓的半徑，由OC與BD平行得到△PCO與△DPB相似，由相似得比例，將OC，OP，以及PB的長代入即可求出BD的長．
解答：
（1）證明：連接OC，
∵PD為圓O的切線，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBD=∠OBC，
則BC平分∠PBD；
（2）證明：連接AC，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴=，即BC2=AB?BD；
（3）解：∵PC為圓O的切線，PAB為割線，
∴PC2=PA?PB，即72=6PB，
解得：PB=12，
∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6，
∴OC=3，PO=PA+AO=9，
∵△OCP∽△BDP，
∴=，即=，
則BD=4．
點評：
此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
考點：
圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題．
分析：
（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點E是AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=；
（2）實踐運用：過B點作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值；
由于的度數(shù)為60°，點B是的中點得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；
（3）拓展延伸：分別作出點P關(guān)于AB和BC的對稱點E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于M、交BC于N．
解答：
解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（2），CE的長為BP+PE的最小值，
∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=BE=；
故答案為；
（2）實踐運用
如圖（3），過B點作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱，
∵的度數(shù)為60°，點B是的中點，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE=OA=，
∵AE的長就是BP+AP的最小值．
故答案為；
（3）拓展延伸
如圖（4）．
點評：
本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱﹣最短路徑問題．
考點：
圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義．
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）要證明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根據(jù)=可以確定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；
（2）根據(jù)題意可知∠P=∠CAB，則sin∠CAB=，即=，所以可以求得圓的直徑．
解答：
（1）證明：∵∠C=∠P
又∵∠1=∠C
∴∠1=∠P
∴CB∥PD；
（2）解：連接AC
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠P=∠CAB，
∴sin∠CAB=，
即=，
又知，BC=3，
∴AB=5，
∴直徑為5．
點評：
本題考查的是垂徑定理和平行線、圓周角性質(zhì)，解題時細心是解答好本題的關(guān)鍵．
考點：
切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．
專題：
證明題．
分析：
（1）連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）證△ABD∽△CAD，推出=，證△FAD∽△FDB，推出=，即可得出AB：AC=BF：DF．
解答：
證明：（1）連結(jié)DO、DA，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠CDA=∠BDA=90°，
∵CE=EA，
∴DE=EA，
∴∠1=∠4，
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠EDO=90°，
∵OD是半徑，
∴DE為⊙O的切線；
（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠DBA，
∵∠CDA=∠BDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴=，
∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，
又∵OD=OB，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠3=∠FDB，
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FDB，
∴=，
∴=，
即AB：AC=BF：DF．
點評：
本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．
考點：
切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．
專題：
計算題．
分析：
（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證；
（2）由CA=CB，CH為高，利用三線合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的長，由圓O過H，CH垂直于AB，得到圓O與AB相切，由（1）得到圓O與CB相切，利用切線長定理得到BE=BH，如圖所示，過E作EF垂直于AB，得到EF與CH平行，得出△BEF與△BCH相似，由相似得比例，求出EF的長，由BH與EF的長，利用三角形面積公式即可求出△BEH的面積；根據(jù)EF與BE的長，利用勾股定理求出FB的長，由BH﹣BF求出HF的長，利用銳角三角形函數(shù)定義即可求出tan∠BHE的值．
解答：
（1）證明：∵CA=CB，點O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圓O與CB相切于點E；
（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=AB=3，
∴CH==4，
∵點O在高CH上，圓O過點H，
∴圓O與AB相切于H點，
由（1）得圓O與CB相切于點E，
∴BE=BH=3，
如圖，過E作EF⊥AB，則EF∥CH，
∴△BEF∽△BCH，
∴=，即=，
解得：EF=，
∴S△BHE=BH?EF=×3×=，
在Rt△BEF中，BF==，
∴HF=BH﹣BF=3﹣=，
則tan∠BHE==2．
點評：
此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

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