1.（2013四川遂寧，10，4分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
2．（2013湖北省咸寧市，1，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)P．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2a，b+1），則a與b的數(shù)量關(guān)系為（ ）

. 3（2013福建福州，8，4分）如圖，已知△ABC，以點(diǎn)B為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫??；以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，且點(diǎn)A，點(diǎn)D在BC異側(cè)，連結(jié)AD，量一量線段AD的長(zhǎng)，約為（ ）
A．2.5cm
B．3.0cm
C．3.5cm
D．4.0cm
【答案】B
【解析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，可知四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線相等，得出AD＝BC．最后利用刻度尺進(jìn)行測(cè)量即可．
【方法指導(dǎo)】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解題意，畫出圖形．
二．填空題
三．解答題
1．（2013白銀，21，8分）兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門需在C處修建一座信號(hào)反射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）
2．（2013蘭州，22，8分）如圖，兩條公路OA和OB相交于O點(diǎn)，在∠AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要修建一個(gè)貨站P，使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）
考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．
分析：根據(jù)點(diǎn)P到∠AOB兩邊距離相等，到點(diǎn)C、D的距離也相等，點(diǎn)P既在∠AOB的角平分線上，又在CD垂直平分線上，即∠AOB的角平分線和CD垂直平分線的交點(diǎn)處即為點(diǎn)P．
解答：解：如圖所示：作CD的垂直平分線，∠AOB的角平分線的交點(diǎn)P即為所求．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了線段的垂直平分線和角平分線的作法．這些基本作圖要熟練掌握，注意保留作圖痕跡．
3．（2013貴州省六盤水，24，10分）（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．
如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為 ．
（2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為 ．
（3）拓展延伸
如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

4. （2013湖北宜昌，18，7分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點(diǎn)，AE=AF，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接DE，DF．
（1）請(qǐng)你判斷所畫四邊形的性狀，并說(shuō)明理由；
（2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長(zhǎng)．
5．（2013·鞍山，21，6分）如圖，已知線段a及∠O，只用直尺和圓規(guī)，求做△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B（在指定作圖區(qū)域作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖．
分析：先作一個(gè)角等于已知角，即∠MBN＝∠O，在邊BN上截取BC＝a，以射線CB為一邊，C為頂點(diǎn)，作∠PCB＝2∠O，CP交BM于點(diǎn)A，△ABC即為所求．
解答：解：如圖所示：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握作一個(gè)角等于已知角的基本作圖方法．
6. （2013杭州8分）如圖，四邊形ABCD是矩形，用直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)Q（不寫作法，保留作圖痕跡）．連結(jié)QD，在新圖形中，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)寫出一條．
【思路分析】根據(jù)角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法得出Q點(diǎn)位置，進(jìn)而利用垂直平分線的作法得出答案即可．
【解析】如圖所示：發(fā)現(xiàn)：DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等．
【方法指導(dǎo)】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及線段垂直平分線的作法和性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用其性質(zhì)得出系等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2. 2013?嘉興12分）小明在做課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小明的做法是：如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即直線a，b所成角的度數(shù)．
（1）請(qǐng)寫出這種做法的理由；
（2）小明在此基礎(chǔ)上又進(jìn)行了如下操作和探究（如圖3）：①以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫圓弧，分別交直線b，PC于點(diǎn)A，D；②連結(jié)AD并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)B，請(qǐng)寫出圖3中所有與∠PAB相等的角，并說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)?jiān)趫D3畫板內(nèi)作出“直線a，b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．
【思路分析】1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)題意，有3個(gè)角與∠PAB相等．由等腰三角形的性質(zhì)，可知∠PAB=∠PDA；又對(duì)頂角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行線性質(zhì)，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；
（3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質(zhì)可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形．
【解析】（1）PC∥a（兩直線平行，同位角相等）；
（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，
如圖，∵PA=PD，
∴∠PAB=∠PDA，
∵∠BDC=∠PDA（對(duì)頂角相等），
又∵PC∥a，
∴∠PDA=∠1，
∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；
（3）如圖，作線段AB的垂直平分線EF，則EF是所求作的圖形．
【方法指導(dǎo)】本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點(diǎn)包括：（1）平行線的性質(zhì)，（2）等腰三角形的性質(zhì)，（3）對(duì)頂角的性質(zhì)，（4）垂直平分線的性質(zhì)等．本題借助實(shí)際問(wèn)題場(chǎng)景考查了學(xué)生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長(zhǎng)，需要仔細(xì)閱讀，理解題意，正確作答．
7.（2013山西，21，8分）（本題8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)。
（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）。
①作∠DAC的平分線AM。②連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F。
【解析】解：①作圖正確，并有痕跡。
②連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F。
（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。
【解析】解：AF∥BC且AF=BC
理由如下：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C
由作圖可知：∠DAC=2∠FAC
∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC.
∵E是AC的中點(diǎn)， ∴AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC.
8.（2013四川樂(lè)山，18，9分）如圖，已知線段AB。
（1）用尺規(guī)作圖的方法作出線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）；
（2）在（1）中所作的直線l上任意取兩點(diǎn)M、N（線段AB的上方），連接AM、AN。BM、BN。
求證：∠MAN=∠MBN。
9．（2013江西南昌，17，6分）如圖AB是半圓的直徑，圖1中，點(diǎn)C在半圓外；圖2中，點(diǎn)C在半圓內(nèi)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求畫圖．
（1）在圖1中，畫出△ABC的三條高的交點(diǎn)；
（2）在圖2中，畫出△ABC中AB邊上的高．
【思路分析】圖1點(diǎn)C在圓外，要畫三角形的高，就是要過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，但題目限制了作圖的工具（無(wú)刻度的直尺，只能作直線或連接線段），說(shuō)明必須用所給圖形本身的性質(zhì)來(lái)畫圖（這就是創(chuàng)新作圖的魅力所在），作高就是要構(gòu)造90度角，顯然由圓的直徑就應(yīng)聯(lián)想到“直徑所對(duì)的圓周角為90度”.設(shè)AC與圓的交點(diǎn)為E, 連接BE,就得到AC邊上的高BE；同理設(shè)BC與圓的交點(diǎn)為D, 連接AD,就得到BC邊上的高AD，則BE與AD的交點(diǎn)就是△ABC的三條高的交點(diǎn)；題（2）是題（1）的拓展、升華，三角形的三條高相交于一點(diǎn)，受題（1）的啟發(fā)，我們能夠作出△ABC的三條高的交點(diǎn)P，再作射線PC與AB交于點(diǎn)D，則CD就是所求作的AB邊上的高．
[解]在圖1中，點(diǎn)P即為所求；在圖2中，CD即為所求．
【方法指導(dǎo)】本題屬創(chuàng)新作圖題，是江西近年熱點(diǎn)題型之一.考查考生對(duì)圓的性質(zhì)的理解、讀圖能力，題（1）是要作點(diǎn)，題（2）是要作高，都是要解決直角問(wèn)題，用到的知識(shí)就是“直徑所對(duì)的圓周角為直角”．
10．（2013山東德州,23,10分）
（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外做等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD。請(qǐng)你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）
（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外做正方形ABFD和正方形ACGE。連接BE，CD。BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：
如圖3，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC=450，∠CAE=900，AB=BC=100米，AC=AE。求BE的長(zhǎng)。
【思路分析】（1）根據(jù)題目要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，并加以證明其它結(jié)論；（2）用三角形全等分析BE與CD相等關(guān)系；（3）構(gòu)件建幾何模型解（添加輔助線、運(yùn)用勾股定理）決實(shí)際問(wèn)題.
【解】（1）完成作圖，字母標(biāo)注正確。
證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形。
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=600。
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC
即∠CAD=∠EAB
∴△CAD≌△EAB
∴BE=CD
（2）BE=CD
理由同（1）：
∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=900
∴∠CAD=∠EAB
∴△CAD≌△EAB
∴BE=CD
（3）由（1）（2）的解題經(jīng)驗(yàn)可知，過(guò)A作等腰直角三角形ABD，∠BAD =900，則AD＝AB＝1000，∠ABD＝450，
∴BD＝100 SKIPIF 1 < 0
連接CD，則由（2）可得BE＝CD。
∵∠ABC＝450，
∴∠DBC＝900，
在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100 SKIPIF 1 < 0
∴CD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝100
∴BE的長(zhǎng)為100 SKIPIF 1 < 0 米
【方法指導(dǎo)】本題考查了與等邊三角形、正方形的全等應(yīng)用實(shí)踐操作、探究題.圖形與幾何的實(shí)踐、探究題，是新中考比較熱點(diǎn)的命題方向.

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考點(diǎn)：
角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖．
分析：
①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的角平分線；
②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求∠ADC的度數(shù)；
③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；
④利用30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來(lái)求兩個(gè)三角形的面積之比．
解答：
解：①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是∠BAC的平分線．
故①正確；
②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正確；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上．
故③正確；
④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD．
∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD，
∴S△DAC：S△ABC=AC?AD： AC?AD=1：3．
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個(gè)．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖﹣基本作圖．解題時(shí)，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)．

A．
a=b
B．
2a+b=﹣1
C．
2a﹣b=1
D．
2a+b=1
考點(diǎn)：
作圖—基本作圖；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．
分析：
根據(jù)作圖過(guò)程可得P在第二象限角平分線上，有角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得|2a|=|b+1|，再根據(jù)P點(diǎn)所在象限可得橫縱坐標(biāo)的和為0，進(jìn)而得到a與b的數(shù)量關(guān)系．
解答：
解：根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)P在第二象限角平分線上，
則P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的和為0，
故2a+b+1=0，
整理得：2a+b=﹣1，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：
此題主要考查了每個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)|橫坐標(biāo)|=|縱坐標(biāo)|．
考點(diǎn)：
作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．
分析：
仔細(xì)分析題意，尋求問(wèn)題的解決方案．
到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C．
由于兩條公路所夾角的角平分線有兩條，因此點(diǎn)C有2個(gè)．
解答：
解：（1）作出線段AB的垂直平分線；
（2）作出角的平分線（2條）；
它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C（2個(gè)）．
點(diǎn)評(píng)：
本題借助實(shí)際場(chǎng)景，考查了幾何基本作圖的能力，考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用．題中符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)，注意避免漏解．
考點(diǎn)：
圓的綜合題；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題．
分析：
（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值；由AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=；
（2）實(shí)踐運(yùn)用：過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱，則AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值；
由于的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；
（3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱點(diǎn)E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于M、交BC于N．
解答：
解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（2），CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值，
∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=BE=；
故答案為；
（2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖（3），過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱，
∵的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE=OA=，
∵AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值．
故答案為；
（3）拓展延伸
如圖（4）．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題．
考點(diǎn)：
菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．
分析：
（1）由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；
（2）首先連接EF，由AE=AF，∠A=60°，可證得△EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長(zhǎng)．
解答：
解：（1）菱形．
理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF，
∴四邊形AEDF是菱形；
（2）連接EF，
∵AE=AF，∠A=60°，
∴△EAF是等邊三角形，
∴EF=AE=8厘米．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

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