1. 2013?紹興4分）小敏在作⊙O的內(nèi)接正五邊形時，先做了如下幾個步驟：
（1）作⊙O的兩條互相垂直的直徑，再作OA的垂直平分線交OA于點M，如圖1；
（2）以M為圓心，BM長為半徑作圓弧，交CA于點D，連結(jié)BD，如圖2．若⊙O的半徑為1，則由以上作圖得到的關(guān)于正五邊形邊長BD的等式是（ ）
【答案】C．
【解析】如圖2，連接BM，
根據(jù)題意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分線交OA于點M，
∴OM=AM=OA=，
∴BM==，
∴DM=，
∴OD=DM﹣OM=﹣=，、（2013深圳，9，3分）如圖1，有一張一個角為 SKIPIF 1 < 0 ，最小邊長為2的直角三角形紙片，沿圖中所示的中位線剪開后，將兩部分拼成一個四邊形，所得四邊形的周長是
A． SKIPIF 1 < 0 或B．10或 SKIPIF 1 < 0 C．10或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或
【答案】D
【解析】如圖，有三種拼接方式，前一種拼接方式的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，后兩種拼接方式的周長為均8，故選D
【方法指導(dǎo)】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系及特殊四邊形的相關(guān)性質(zhì)。拼接時注意分類，做到不重不漏，細心計算。
2. (2013山東煙臺，8,3分)將正方形圖1作如下操作：第1次：分別連結(jié)各邊中點如圖2，得到5個正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3．得到9個正方形……，依此類推，根據(jù)以上操作．若要得到2013個正方形，則需要操作的次數(shù)是（ ）
A．502 B.503 C.504 D. 505
【答案】B
【解析】從簡單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，通過觀察、分析、比較、提煉、驗證，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推出結(jié)論.
第一次操作后正方形的個數(shù)：4×1+1=5；第二次操作后正方形的個數(shù)：4×2+1=9；
第三次操作后正方形的個數(shù)：4×3+1=13……第n次操作后正方形的個數(shù)：4×n+1=4n+1（n為正整數(shù)）∴4n+1=2013∴n=503.
【方法指導(dǎo)】本題考查了圖形的規(guī)律探索.探索規(guī)律型問題一般包括數(shù)字規(guī)律問題、等式規(guī)律問題、圖形排列規(guī)律問題、圖形變換規(guī)律問題、數(shù)形結(jié)合規(guī)律問題和計算類問題等等.解決這類問題往往需要我們借助于一些特殊的情況，通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結(jié)論，并對結(jié)論進行驗證.通常以填空或選擇的形式出現(xiàn).
二．填空題
1.（2013四川綿陽，16，4分）對正方形ABCD進行分割，如圖1，其中E、F分別是BC、CD的中點，M、N、G分別是OB、OD、EF的中點，沿分化線可以剪出一副“七巧板”，用這些部件可以拼出很多圖案，圖2就是用其中6塊拼出的“飛機”。若△GOM的面積為1，則“飛機”的面積為 14 。
［解析］連接AC，四邊形ABCD是正方形，
AC⊥BD，E、F分別BC、CD的中
點，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰直角三角形，直線AC是△EFC底邊上的高所在直線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”，AC必過EF的中點G，點A、O、G和C在同一條直線上，OC=OB=OD，OC⊥OB，F(xiàn)G是△DCO的中位線，OG=CG= eq \f(1,2) OC, M、N分別是OB、OD的中點，OM=BM= eq \f(1,2) OB，ON=DN= eq \f(1,2) OD，OG=OM=BM=ON=DN= eq \f(1,4) BD，等腰直角三角形GOM的面積為1， eq \f(1,2) OM?OG= eq \f(1,2) OM2=1，OM= eq \r(,2) ,BD=4 OM=4 eq \r(,2) ,2AD2= BD2=32,AD=4,圖2中飛機面積圖1中多邊形ABEFD的面積，飛機面積=正方形ABCD面積-三角形CEF面積=16-2=14。
．2（2013江西南昌，16，3分）平面內(nèi)有四個點A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，則滿足題意的OC長度為整數(shù)的值可以是 ．
【答案】2，3，4
【解析】由∠AOB=120°，AO=BO=2畫出一個頂角為120°、腰長為2的等腰三角形，由 SKIPIF 1 < 0 與互補， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一半，點C是動點想到構(gòu)造圓來解決此題．
【方法指導(dǎo)】本題主要考查學(xué)生閱讀理解能力、作圖能力、聯(lián)想力與思維的嚴謹性、周密性，所涉及知識點有等腰三角形、圓的有關(guān)知識，分類討論思想，不等式組的整數(shù)解，在運動變化中抓住不變量的探究能力．
3．（2013湖南永州，16，3分）電腦系統(tǒng)中有個“掃雷”游戲，要求游戲者標出所有的雷，游戲規(guī)則:一個方塊下面最多埋一個雷，掀開方塊下面就標有數(shù)字，提醒游戲者此數(shù)字周圍方塊(最多八個)中雷的個數(shù)(0常省略不標)，如圖甲中的“3”表示它的周圍八個方塊中有且只有3個埋有雷，圖乙是張三玩游戲的局部，圖中有4個方塊已確定是雷(方塊上標有旗子)，則圖乙第一行從左數(shù)起的七個方塊中(方塊上標有字母)，能夠確定一定是雷的有 ．(請?zhí)钊敕綁K上的字母)

圖甲 圖乙
【答案】D、F、G..
【解析】根據(jù)B下方2下方的1，判斷A下方的方塊一定是雷，再根據(jù)B、C、D、E、F下方的數(shù)字判斷A、B、C中只有1個雷，B、C、D中有2個雷，C、D、E中只有1個雷，D、E、F中有2個雷，E、F、G中有2個雷.
(1)如果A是雷，則B、C都不是雷，而B、C、D中有2個雷，相矛盾，則A不可能是雷.
(2)如果B是雷，則A、C都不是雷，則D是雷，E不是雷，F(xiàn)、G是雷，即B是雷時，B、D、F、G一定是雷；
(3)如果C是雷，則A、B都不是雷，則D是雷，E不是雷，F(xiàn)、G是雷，即C是雷時，C、D、F、G一定是雷；
所以圖乙第一行從左數(shù)起的七個方塊中，能夠確定一定是雷的有D、F、G.
【方法指導(dǎo)】我們在確定了A，B，C下有一只雷時，需要分情形來討論，于是我們分A是雷，B是雷，C是雷三種情形來討論。
4. （2013廣東省，15，4分）如題15圖，將一張直角三角形紙片ABC沿中位線DE剪開后，在平面上將△BDE繞著CB的中點D逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點E到了點 SKIPIF 1 < 0 位置，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀是 ．
【答案】 平行四邊形.
【解析】因為DE是△ABC的中位線，所以DE∥AC，且AC=2DE=2D SKIPIF 1 < 0 ，所以，旋轉(zhuǎn)之后，E SKIPIF 1 < 0 ∥AC，且E SKIPIF 1 < 0 =AC，所以四邊形的形狀是平行四邊形．又因為AC不一定恰好等于AE，所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀不一定是菱形．故答案填平行四邊形．
【方法指導(dǎo)】操作類的題目在近幾年的中考試卷中比較常見，解決這類問題最好的辦法就是實際操作，當然，也可以根據(jù)圖形的性質(zhì)通過計算確定答案．
5. (2013湖南邵陽,11,3分)在計算器上，依次按鍵 2, SKIPIF 1 < 0 ，得到的結(jié)果是______.
【答案】：4．
【解析】： SKIPIF 1 < 0
【方法指導(dǎo)】：本題考查了計算器﹣有理數(shù)，關(guān)鍵是考查學(xué)生的理解能力，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目.
三．解答題
1．（2013河南省，22，10分）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片和 SKIPIF 1 < 0 重合放置，其中 SKIPIF 1 < 0 .
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖2，固定 SKIPIF 1 < 0 ，使繞點 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)。當點 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 邊上時，填空：
線段與 SKIPIF 1 < 0 的位置關(guān)系是 ；
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，的面積為 SKIPIF 1 < 0 。則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系是 。
【解析】①由旋轉(zhuǎn)可知：AC=DC，
∵，∴ SKIPIF 1 < 0
∴△ADC是等邊三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ,又∵ SKIPIF 1 < 0
∴∥ SKIPIF 1 < 0
②過D作DN⊥AC交AC于點N，過E作EM⊥AC交AC延長線于M，過C作CF⊥AB交AB于點F。
由①可知：△ADC是等邊三角形, SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，∴DN=CF,DN=EM
∴CF=EM
∵，∴ SKIPIF 1 < 0 ,又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
（2）猜想論證
當繞點 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 邊上的高，請你證明小明的猜想。
【證明】∵ SKIPIF 1 < 0
又∵
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴△ANC≌△DMC
∴AN=DM
又∵CE=CB,∴ SKIPIF 1 < 0
（3）拓展探究
已知 SKIPIF 1 < 0 ，點是其角平分線上一點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點（如圖4），若在射線 SKIPIF 1 < 0 上存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ,請直接寫出相應(yīng)的的長
【解析】如圖所示，作 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點,作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 。
按照（1）（2）求解的方法可以計算出
SKIPIF 1 < 0
2.（2013陜西，25，12分）（本題滿分12分）
問題探究
（1）請在圖 = 1 \* GB3 ①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；
（2）如圖 = 2 \* GB3 ②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點，請在圖 = 2 \* GB3 ②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.
問題解決
（3）如圖 = 3 \* GB3 ③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點P是AD的中點，如果AB= SKIPIF 1 < 0 ，CD= SKIPIF 1 < 0 ，且，那么在邊BC上是否存在一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由.
B
圖 = 3 \* GB3 ③
A
C
D
P
（第25題圖）
考點：本題陜西近年來考查的有：折疊問題，勾股定理，矩形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，面積問題及最值問題，位似的性質(zhì)應(yīng)用等。此題考查對圖形的面積等分問題。
解析：此題主要考查學(xué)生的閱讀問題的能力，綜合問題的能力，動手操作能力，問題的轉(zhuǎn)化能力，分析圖形能力和知識的遷徙能力，從特殊圖形到一般的過渡，從特殊中發(fā)現(xiàn)關(guān)系到一般的知識遷移的過程。
（1）問較易解決，圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達到目的。
（2）問中其實在八年級學(xué)習(xí)四邊形時好可解決此類問題。平行四邊形過對角線的交點的直線將平行四邊形分成面積相等的兩個部分。而在正方形中就更特殊，常見的是將正方形重疊在一起旋轉(zhuǎn)的過程中的圖形的面積不變的考查，此題有這些知識的積累足夠解決。
（3）問中可以考慮構(gòu)造（1）（2）中出現(xiàn)的特殊四邊形來解決。也可以用中點的性質(zhì)來解決。在中學(xué)數(shù)學(xué)中中點就有兩個方面的應(yīng)用，一是中線（倍長中線構(gòu)造全等三角形或者是平行四邊形）二是中位線的應(yīng)用。
解：（1）如圖 = 1 \* GB3 ①所示．
（2）如圖 = 2 \* GB3 ②，連接AC、BD相交于點O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點，過點O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分.
理由如下：
∵點O是正方形ABCD對角線的交點，∴點O是正方形ABCD的對稱中心
∴AP=CQ，EB=DF，
D在△AOP和△EOB中，
∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE
∴∠AOP=∠BOE
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°∴△AOP≌△EOB
∴AP=BE=DF=CQ ∴AE=BQ=CF=PD
設(shè)點O到正方形ABCD一邊的距離為 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分
另解：∵點O是正方形ABCD對角線的交點，∴點O是正方形ABCD的中心
∴OA=OB=OC=OD ∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45°
∵PQ⊥EF，∴∠POD+∠DOF=90°，∠POD+∠POA=90°
∴∠POA=∠DOF同理：∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ
∴△AOP≌△BOE≌△COQ≌△DOF
∴
∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分
（3）
存在.當BQ=CD= SKIPIF 1 < 0 時，PQ將四邊形ABCD面積二等分.
理由如下：如圖 = 3 \* GB3 ③，延長BA至點E，使AE= SKIPIF 1 < 0 ，
延長CD至點F，使DF= SKIPIF 1 < 0 ，連接EF.
∴BE∥CF，BE=CF ∴四邊形BCFE為平行四邊形，
∵BC=BE=+ SKIPIF 1 < 0 ，∴平行四邊形DBFE為菱形
連接BF交AD于點M，則△MAB≌△MDF
∴AM=DM.即點P、M重合.
∴點P是菱形EBCF對角線的交點，
在BC上截取BQ=CD= SKIPIF 1 < 0 ，則CQ=AB= SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)點P到菱形EBCF一邊的距離為
∴ SKIPIF 1 < 0
所以當BQ= SKIPIF 1 < 0 時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.
另解：存在.當BQ=CD= SKIPIF 1 < 0 時，PQ將四邊形ABCD面積二等分.
理由如下：如圖 = 4 \* GB3 ④，連接BP并延長BP交CD延長線于點F，連接CP
∵點P是AD的中點，∴PA=PD
∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DFP，∵∠APB=∠DPF ∴△APB≌△DPF
∴AB=DF，PB=PF，所以CP是△CBF的中線，∴
∵AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，∴∠CBF=∠CFB
∵∠ABP=∠DFP∴∠ABP=∠CBP即PB是角平分線.
∴點P到AB與CB的距離相等，
∵BQ= SKIPIF 1 < 0 ，所以CQ=AB= SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴
所以當BQ= SKIPIF 1 < 0 時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.
3. （2013山西，26，14分）綜合與探究：如圖,拋物線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè))與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q
（1）求點A,B,C的坐標。
（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD，BC于點M,N。試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。
（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。
解析：（1）當y=0時，，解得， SKIPIF 1 < 0
∵點B在點A的右側(cè)，
∴點A,B的坐標分別為：（-2，0），（8，0）
當x=0時，y=-4
∴點C的坐標為（0，-4），
（2）由菱形的對稱性可知，點D的坐標為（0，4）.
設(shè)直線BD的解析式為y＝kx＋b，則 SKIPIF 1 < 0 .解得，k= SKIPIF 1 < 0 ，b=4.
∴直線BD的解析式為.
∵l⊥x軸，∴點M，Q的坐標分別是（m， SKIPIF 1 < 0 ），（m， SKIPIF 1 < 0 ）
如圖，當MQ=DC時，四邊形CQMD是平行四邊形.
∴（ SKIPIF 1 < 0 ）-()=4-(-4)
化簡得： SKIPIF 1 < 0 .解得，m1=0，（舍去）m2=4.
∴當m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形.
此時，四邊形CQBM是平行四邊形.
解法一：∵m=4，∴點P是OB中點.∵l⊥x軸，∴l(xiāng)∥y軸.
∴△BPM∽△BOD.∴ SKIPIF 1 < 0 .∴BM=DM.
∵四邊形CQMD是平行四邊形，∴DMCQ∴BMCQ.∴四邊形CQBM為平行四邊形.
解法二：設(shè)直線BC的解析式為y=k1x+b1，則 SKIPIF 1 < 0 .解得，k1= SKIPIF 1 < 0 ，b1=-4
∴直線BC的解析式為y= SKIPIF 1 < 0 x-4
又∵l⊥x軸交BC于點N.∴x=4時，y=-2. ∴點N的坐標為（4，-2）由上面可知，點M,Q的坐標分別為：（4，2），Q(4,-6).
∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.
又∵四邊形CQMD是平行四邊形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，
又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.
∴四邊形CQBM為平行四邊形.
（3）拋物線上存在兩個這樣的點Q，分別是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.
4.（2013四川綿陽，25，14分）（本題滿分14分）
我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質(zhì)，如在關(guān)線段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題。請你利用重心的概念完成如下問題：
（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結(jié)AO并延長交BC于D，證明：；
（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；
（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG．S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究 eq \f( S四邊形BCGH,S△AGH ) 的最大值。
解：（1）證明：如圖1，連結(jié)CO并延長交AB于點P，連結(jié)PD。
∵點O是△ABC的重心，
∴P是AB的中點，D是BC的中點，PD是△ABC的中位線，AC=2PD， AC // PD，
∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，
△OPD∽△CA， eq \f(OD,AO) = eq \f(PD,AC) = eq \f(1,2) , eq \f(AD,AO) = eq
eq \f(OD+OA,OA)= \f(1+2,2)= \f(3,2) ,∴ eq \f(AO,AD) = \f(2,3) ；
（2）點O是是△ABC的重心。
證明：如圖2，作△ABC的中線CP，與 AB邊交于點P，與△ABC的另一條中線AD交于點Q，則點Q是△ABC的重心，根據(jù)（1）中的證明可知 eq \f(AQ,AD) = \f(2,3) ，
而 eq \f(AO,AD) = \f(2,3) ，點Q與點O重合（是同一個點），所以點O是△ABC的重心；
（3）如圖3，連結(jié)CO交AB于F，連結(jié)BO交AC于E，過點O分別作AB、AC的平行線OM、ON，分別
與AC、AB交于點M、N，
∵點O是△ABC的重心，
∴ eq \f(OE,BE) = eq \f(1,3) ， eq \f(OF,CF) = eq \f(1,3) ,
∵ 在△ABE中，OM//AB， eq \f(OM,AB) = eq \f(OE,BE) = eq \f(1,3) ，OM = eq \f(1,3) AB，
在△ACF中，ON//AC， eq \f(ON,AC) = eq \f(OF,CF) = eq \f(1,3) ，ON = eq \f(1,3) AC，
在△AGH中，OM//AH， eq \f(OM,AG) = eq \f(OH,GH) ，
在△ACH中，ON//AH， eq \f(ON,AH) = eq \f(OG,GH) ，
∴ eq \f(OM,AG) + eq \f(ON,AH) = eq \f(OH,GH) + eq \f(OG,GH) =1， eq \f(\f(1,3)AB,AG) + eq \f(\f(1,3)AC,AH) =1, eq \f(AB,AG) + eq \f(AC,AH) = 3 ,
令 eq \f(AB,AG) = m , eq \f(AC,AH) = n , m=3-n,
∵ eq \f( S四邊形BCGH,S△AGH ) = eq \f(S△ABC-S△AGH,S△AGH) ,
eq \f( S四邊形BCGH,S△AGH ) = eq \f(\f(1,2)AB?AC?sin∠BAC- \f(1,2) AG?AH?sin∠BAC, \f(1,2) AG?AH?sin∠BAC) = eq \f(AB?AC-AG?AH, AG?AH)
= eq \f(AB?AC,AG?AH) -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- eq \f(3,2) )2 + eq \f(5,4) ,
∴ 當 eq \f(AC,AH) = n = eq \f(3,2) ，GH//BC時， eq \f( S四邊形BCGH,S△AGH ) 有最大值 eq \f(5,4) 。
附： eq \f(BG,AG) + \f(CH,AH)=1 或 eq \f(AB,AG) + \f(AC,AH)=3 的另外兩種證明方法的作圖。
方法一：分別過點B、C作AD的平行線BE、CF，分別交直線GH于點E、F。
方法二：分別過點B、C、A、D作直線GH的垂線，垂足分別為E、F、N、M。
下面的圖解也能說明問題：
5．(2013浙江湖州,23,8分)一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)：
如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于點O，點P、D分別在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于點E．
求證：△BPO≌△PDE．
（1）理清思路，完成解答．
本題證明的思路可以用下面的框圖表示：
根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程．
（2）特殊位置，證明結(jié)論．
若BP平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP＝CD．
（3）知識遷移，探索新知．
若點P是一個動點，當點P運動到OC的中點 SKIPIF 1 < 0 時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系（不必寫解答過程）．
【思路分析】（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）設(shè)OP=CP=x，求出AP=3x，CD= SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【解】 （1）證明：∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠2．
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠C＝45°．
∵BO⊥AC于點O，∴∠1＝45°．
∴∠1＝∠C＝45°．
∵∠3＝∠PBD－∠1，∠4＝∠2－∠C，
∴∠3＝∠4．
又∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP＝∠PED＝90°．
∵PB＝PD，∴△BPO≌△PDE．
（2）由（1）可得∠3＝∠4．
∵BP平分∠ABO，∴∠ABP＝∠3．
∴∠ABP＝∠4．
又∵∠A＝∠C，PB＝PD，∴△APB≌△CPD．
∴AP＝CD．
（3）與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系是： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【方法指導(dǎo)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．
6．(2013湖北荊門，24，10分)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m2＋m的圖象與關(guān)于x的函數(shù)y＝kx＋1的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)．
(1)當k＝1，m＝0，1時，求AB的長；
(2)當k＝1，m為任何值時，猜想AB的長是否不變？并證明你的猜想．
(3)當m＝0，無論k為何值時，猜想△AOB的形狀，證明你的猜想．
(平面內(nèi)兩點間的距離公式AB＝)
【思路分析】(1)、(2)當k＝1時，直線y＝x＋1與坐標軸圍成一個等腰直角三角形，于是可知AB的長是一個等腰直角三角形的斜邊．求AB的長轉(zhuǎn)化為求A，B兩點橫坐標之差的絕對值；
(3)猜想△AOB是直角三角形，這一猜想可利用兩點間的距離公式等知識進行證明．
【解】解：(1)當k＝1，m＝0時，y＝x2，如圖5，聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得x2－x－1＝0．
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－1．
∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 AC＝ SKIPIF 1 < 0 |x1－x2|＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
同理，當k＝1，m＝1時，AB＝ SKIPIF 1 < 0 ．
C
(2)猜想：當k＝1，m為任何值時，AB的長不變，即AB＝．
下面證明：聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0
消y整理得：x2－(2m＋1)x＋m2＋m－1＝0．
∴x1＋x2＝2m＋1，x1x2＝m2＋m－1．
∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 AC＝ SKIPIF 1 < 0 |x1－x2|＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
(3)當m＝0，k為任意常數(shù)時，△AOB為直角三角形．
①當k＝0時，則函數(shù)y＝kx＋1的圖象為直線y＝1．則由 SKIPIF 1 < 0
得A(－1，1)，B(1，1)．
顯然△AOB為直角三角形．
②當k＝1時，則一次函數(shù)y＝kx＋1為直線y＝x＋1．
則由得x2－x－1＝0．
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－1．
∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 AC＝ SKIPIF 1 < 0 |x1－x2|＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
∴AB2＝10．
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴OA2＋OB2＝x12＋y12＋x22＋y22＝10．
∴AB2＝OA2＋OB2．
∴△AOB為直角三角形．
③當k為任意常數(shù)時，△AOB仍為直角三角形．如圖6，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得x2－kx－1＝0．
∴x1＋x2＝k，x1x2＝－1．
∴AB2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝k4＋5k2＋4．
∴OA2＋OB2＝x12＋y12＋x22＋y22＝k4＋5k2＋4．
∴AB2＝OA2＋OB2．
∴△AOB為直角三角形．
以上試題和解答來自2013-6-23《荊門晚報》．
錄入者對壓軸題的第(3)問給出如下解法：
當k為任意常數(shù)時，△AOB為直角三角形．如圖6，證明如下：
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得x2－kx－1＝0．
∴x1＋x2＝k，x1x2＝－1．
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝k2＋2，
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝k2＋4．
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在直線y＝kx＋1上，∴y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1．
∴y2－y1＝k(x2－x1)．
∴AB2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(x2－x1)2＋k2(x2－x1)2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)(4＋k2)
＝k4＋5k2＋4．
∵OA2＋OB2＝x12＋y12＋x22＋y22＝x12＋(kx1＋1)2＋x22＋(kx2＋1)2
＝(1＋k2)(x12＋x22)＋2k(x1＋x2)＋2
＝(1＋k2)(k2＋2)＋2k2＋2
＝k4＋5k2＋4．
∴AB2＝OA2＋OB2．
∴△AOB為直角三角形．
【方法指導(dǎo)】求函數(shù)圖象的交點坐標即是求由它們的解析式所組成的方程組的解．直線與拋物線若有交點，則它們交點的橫坐標是消去y后所得一元二次方程的解．平面直角坐標系內(nèi)，求兩點之間的距離的方法如下：(1)若兩點的連線平行于橫軸(縱軸)，則它們之間的距離等于橫坐標(縱坐標)之差的絕對值；(2)若兩點的連線與坐標軸不平行，則它們之間的距離可用勾股定理求出．
7．（2013江西南昌，24，12分）某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：
●操作發(fā)現(xiàn)：
在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是 （填序號即可）
①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DMB．
●數(shù)學(xué)思考：
在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；
●類比探索：
在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．
答： ．
【思路分析】（1） 由圖形的對稱性易知①、②、③都正確，④∠DAB=∠DMB=45°也正確；（2）直覺告訴我們MD和ME是垂直且相等的關(guān)系，一般由全等證線段相等，受圖1△DFM≌△MGE的啟發(fā)，應(yīng)想到取中點構(gòu)造全等來證MD=ME，證MD⊥ME就是要證∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四個角相加為180°，∠FMG可看成三個角的和，通過變形計算可得∠DME=90°． （3）只要結(jié)論，不要過程，在（2）的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形.
[解]●操作發(fā)現(xiàn)：①②③④
答：MD=ME，MD⊥ME，
先證MD=ME；
如圖2，分別取AB，AC的中點F，G，連接DF，MF，MG，EG，
∵M是BC的中點，
∴MF∥AC，MF= SKIPIF 1 < 0 AC，
又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線，
∴EG⊥AC且EG= SKIPIF 1 < 0 AC，
∴MF=EG，
同理可證DF=MG，
∵MF∥AC，
∠MFA=∠BAC=180°
同事可得∠MGA+∠BAC=180°，
∴∠MFA=∠MGA，
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°，
同理可得∠DFA=90°，
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，
即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，
再證MD⊥ME；
證法一：∵MG∥AB，
∴∠MFA+∠FMG=180°，
又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF，
∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，
其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，
∴∠DME=90°，
即MD⊥ME；
證法二：如圖2，MD與AB交于點H，
∵AB∥MG，
∴∠DHA=∠DMG，
又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH
即∠DHA=∠FDM+90°
∵∠DMG=∠DME+∠GME，
∴∠DME=90°
即MD⊥ME；
●類比探究
答：等腰直角三解形
【方法指導(dǎo)】本題考查了軸對稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉(zhuǎn)化等知識，能力要求很高．
8．（2013廣東湛江，24，10分）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：
， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ＝ ；①
SKIPIF 1 < 0 ，，則 SKIPIF 1 < 0 ＝ ；②
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則＝ ；③
…
觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有 SKIPIF 1 < 0 = ．④
（1）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對∠A證明你的猜想；
（2）已知：∠A為銳角（ SKIPIF 1 < 0 ）且 SKIPIF 1 < 0 ，求
【思路分析】先具體計算，從計算中歸納出規(guī)律，再進行證明，最后再加以運用。
【解】①②③④都填1
（1）如下圖，過點B作BH⊥BC于點H， SKIPIF 1 < 0
則， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ，，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴csA= SKIPIF 1 < 0
【方法指導(dǎo)】解決探究類題的步驟：
1.計算一些特殊的數(shù)值或特殊的位置關(guān)系；
2.猜想規(guī)律，數(shù)據(jù)或圖形的位置變化了，如果某種數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系不變，就猜想一般情形下也成立；
3.利用所學(xué)的相關(guān)知識對猜想出的結(jié)論進行講明；
4.用猜想，證明出的結(jié)論解決實際問題。
9．(2013山東煙臺，25,10分)已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過點A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F，Q為斜邊AB的中點.
（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是_____________,QE與QF的數(shù)量關(guān)系是_____________.
（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.
（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明.
【思路分析】（1）∵BF與AE都垂直于CF，∴BF與AE平行，然后證明△BFQ（P）≌△AEQ（P）,即可證明QE=QF（2）對第一問進行分析、類比、歸納、聯(lián)想，可以發(fā)現(xiàn)延長FP交AE于點D，然后證明△BFQ≌△ADQ，即可得出FQ=DQ，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證出.（3）在解答前兩問已經(jīng)有的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，認真審題，先根據(jù)題意畫圖，然后結(jié)合圖形，仔細觀察，透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，分離出基本圖形.延長EQ，與FB的延長線交于點D.通過證明△BDQ≌△AEQ,得出點Q為DE的中點，然后依然運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證出（2）中結(jié)論依然成立.
【解】（1）AE∥BF,QE=QF.
（2） QE=QF.
證明:延長FQ交AE于點D.
∵AE∥BF，∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4，AQ=BQ,
∴⊿AQD≌⊿BQF. ∴QD=QF.
∵AE⊥CP, ∴QE為斜邊FD中線.
(3)(2)中結(jié)論仍然成立.
理由：延長EQ,FB交于點D．
∵AE∥BF，∴∠1=∠D.
∵∠2=∠3，AQ=BQ,
∴⊿AQE≌⊿BQD. ∴QE=QD
∵BF⊥CP, ∴FQ為斜邊DE中線.
∴QE=QF.
【方法指導(dǎo)】這是一道結(jié)論探索型問題，考查了平行線的性質(zhì)和判定、三角形全等以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.結(jié)論探索型題是指在一定的條件下無結(jié)論或結(jié)論不明確，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論.
解結(jié)論探索型題的方法是由因?qū)Ч唤Y(jié)論探索型問題根據(jù)已知條件，從基礎(chǔ)知識和基本數(shù)學(xué)思想方法出發(fā)，結(jié)合基本圖形，抓住本質(zhì)聯(lián)系進行探究，常用觀察、試驗、聯(lián)想、歸納、類比等方法，進行分析、歸納、猜想、比較、推理等，直到得出答案.有些題目的答案也是多種多樣的，有的題目有唯一解，有的題無解，也有的題要分幾種情況討論.
10. （2013廣東省，25，9分）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC= SKIPIF 1 < 0 ，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE= SKIPIF 1 < 0 ，DF=4，DE= SKIPIF 1 < 0 ，將這副直角三角板按如題25圖（1）所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上．現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停止運動．
（1）如題25圖（2），當三角板DEF運動到點D與點A重合時，設(shè)EF與BC交于點M，則∠EMC= 度；
（2）如題25圖（3），在三角板DEF運動過程中，當EF經(jīng)過點C時，求FC的長；
（3）在三角板DEF運動過程中，設(shè)BF=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出對應(yīng)的x取值范圍．
【思路分析】（1）利用三角形的外角性質(zhì)或者三角形的內(nèi)角和即可求得答案；（2）解直角三角形AFC即可；（3）本題需要分類討論，當0＜x＜6-2 SKIPIF 1 < 0 時，重疊部分是五邊形，可以轉(zhuǎn)化為大三角形面積減去小三角形面積，當x=6-2 SKIPIF 1 < 0 時，由第（2）問的結(jié)論直接計算出面積，當6-2 SKIPIF 1 < 0 ＜x＜6時，重疊部分為三角形，直接由三角形面積公式可求出函數(shù)解析式。
【解】（1） 計算過程如下：
三角板ABC中，∠BAC= SKIPIF 1 < 0 ，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= SKIPIF 1 < 0 ，
三角板DEF中，∠FDE= SKIPIF 1 < 0 ，DF=4，DE=，
∵tanE= SKIPIF 1 < 0
∴∠E= SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠EMC= SKIPIF 1 < 0 -= SKIPIF 1 < 0 ，故答案填 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由平移可知，∠ACF=∠E= SKIPIF 1 < 0
在Rt△ACF中，cs∠ACF=
∵AC=6, ∠ACF= SKIPIF 1 < 0
∴FC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
（3）如圖，分三種情況討論：
設(shè)過點M作MN⊥AB于點N,則MN∥DE,∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x
∵MN∥DE
∴△FMN∽FED,∴ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
①當時，如答案圖(1)，設(shè)DE與BC相交于點G ,則DG=DB=4+x
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ;
②當 SKIPIF 1 < 0 時，如答案圖(2)
即 SKIPIF 1 < 0 ;
③當 SKIPIF 1 < 0 時，如答案圖(3) 設(shè)AC與EF交于點H，
∵AF=6－x，∠AHF=∠E=30°
∴AH= SKIPIF 1 < 0
綜上所述，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
當 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
【方法指導(dǎo)】本題屬于“操作類”問題，解題的重要方法是“實際操作”，考試完之后，我調(diào)查了部分學(xué)生，他們告訴我，在解題的時候，他們都用自己帶了三角板進行了實際操作，所以，很快就求得第（1）問的結(jié)論，對于第（3）的結(jié)論，他們也是通過“操作”確定只需分三種情況討論即可.

A．
BD2=OD
B．
BD2=OD
C．
BD2=OD
D．
BD2=OD

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