尺規(guī)作圖問題是四川成都中考數(shù)學(xué)的必考考點(diǎn)，常見以填空題的形式，主要是考查角平分線、垂直平分線性質(zhì)等問題，一般出現(xiàn)在中考的第13題，以簡(jiǎn)單題為主，思路相對(duì)比較固定，但除了常規(guī)考法以外，日常練習(xí)中多注意新穎題目的考向。
【題型1 角平分線問題】
【例1】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)：④過點(diǎn)作射線交于點(diǎn)．若與四邊形的面積比為，則的值為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)作圖可得，然后得出，可證明，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：根據(jù)作圖可得，
∴，
∴，
∵與四邊形的面積比為，
∴
∴
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握基本作圖與相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)B為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交于E，分別以點(diǎn)C，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，則 ．
【答案】
【分析】利用基本作圖得到，平分，則，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，所以．
【詳解】解：由作法得，平分，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定．
【變式1-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖．在中，，．以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點(diǎn)P；作射線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，垂足用G．若，則的周長(zhǎng)等于 cm．
【答案】8
【分析】由角平分線的性質(zhì)，得到，然后求出的周長(zhǎng)即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，
在中，，，
由角平分線的性質(zhì)，得，
∴的周長(zhǎng)為：
；
故答案為：8
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．
【變式1-3】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E；②分別以A，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；③連接BF并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G．若，則 °．
【答案】130
【分析】根據(jù)基本作圖，∠ABG=∠CBG，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到∠AGB=∠CBG，利用平行線的同旁內(nèi)角互補(bǔ)計(jì)算即可．
【詳解】∵根據(jù)基本作圖，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AGB=∠CBG=25°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=50°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=130°，
故答案為：130．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-4】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，的頂點(diǎn)，按下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于點(diǎn)D、E；②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于DE的一半長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；③作射線OF，交邊AC于點(diǎn)G．則AG的長(zhǎng)度為 ．
【答案】
【分析】如圖，先利用勾股定理計(jì)算出OA＝，再利用基本作圖和平行線的性質(zhì)得到∠AOG＝∠AGO，則AG＝AO＝，從而求解．
【詳解】解：如圖，∵?AOBC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴ACOB，OA＝，
由作法得OG平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠BOG，而ACOB，
∴∠AGO＝∠BOG，
∴∠AOG＝∠AGO，∴AG＝AO＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．
【題型2 中垂線問題】
【例2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，已知，按如下步驟作圖：①分別以A，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點(diǎn)；②作直線，分別交，于點(diǎn)E，D，連接；③過C作交于點(diǎn)F，連接．則四邊形的形狀是（ ）
A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【分析】先根據(jù)作圖①得直線是線段的垂直平分線，從而得到，，根據(jù)作圖③得到，從而證明，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，結(jié)合即可證明平行四邊形是菱形．
【詳解】解：由作圖①得直線是線段的垂直平分線，
∴，，
由作圖③得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是菱形．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟知菱形的判定定理，根據(jù)題意得到直線是線段的垂直平分線是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)、，作直線交、于點(diǎn)、，連接、，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題目作圖方法可得為的垂直平分線，所以進(jìn)一步求得和，再根據(jù)勾股定理求出的值．
【詳解】解：由題得為的垂直平分線，
∴，，，
又∵，，
，
∴，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂直平分線的尺規(guī)作圖，相似三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意推斷線段之間的關(guān)系，往所求線段上靠．
【變式2-2】（2020·四川成都·樹德中學(xué)?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N；②作直線MN，且MN恰好經(jīng)過點(diǎn)A，與CD交于點(diǎn)E，連接BE，則BE的值為 ．
【答案】
【分析】利用基本作法得到得MN垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，再利用菱形的性質(zhì)得到AD＝CD＝AB＝4，CD∥AB，則利用勾股定理先計(jì)算出AE，然后計(jì)算出BE．
【詳解】解：由作法得MN垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD＝CD＝AB＝4，CD∥AB，
∴DE＝2，AE⊥AB，
在Rt△ADE中，AE＝，
在Rt△ABE中，BE＝＝2．
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．
【變式2-3】（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為 ．
【答案】/106度
【分析】由作圖可知，是的垂直平分線，則為的中點(diǎn)，如圖，連接，則，，，，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由作圖可知，是的垂直平分線，
∴為的中點(diǎn)，
如圖，連接，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
【變式2-4】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，連接，則的度數(shù)為 ．
【答案】/50度
【分析】根據(jù)作圖可知，，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，可得，根據(jù)即可求解．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
由作圖可知是的垂直平分線，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，直角三角形的兩銳角互余，根據(jù)題意分析得出是的垂直平分線，是解題的關(guān)鍵．
（建議用時(shí)：30分鐘）
1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若點(diǎn)到的距離為，則的長(zhǎng)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題目作圖知，是的平分線，過點(diǎn)D作，則，進(jìn)而求解．
【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則， 由題目作圖知，是的平分線，

則，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，勾股定理，涉及到幾何作圖、等腰直角三角形的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中．
2．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以E、F為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)G；作射線交于點(diǎn)H．若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】如圖所示，過點(diǎn)H作于M，由作圖方法可知，平分，即可證明，得到，從而求出，的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可利用勾股定理求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)H作于M，
由作圖方法可知，平分，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，特殊角的三角函數(shù)的應(yīng)用等，正確求出 的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·四川成都·三模）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，交AD于點(diǎn)M、AB于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O；再分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC，兩弧相交于P、Q兩點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)，則圖中= ．
【答案】56°
【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到∠DAC＝68°，再根據(jù)基本作圖得到AO平分∠DAC，則∠DAO＝∠CAO＝34°，根據(jù)基本作圖得到PQ垂直平分AC，所以∠ 1＝90°，然后利用互余計(jì)算出∠2，從而得到∠α的度數(shù)．
【詳解】解：如下圖所示：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴，
∴∠DAC＝∠BCA＝68°，
由作法得AO平分∠DAC，
∴∠DAO＝∠CAO＝×68°＝34°，
由作法得PQ垂直平分AC，
∴∠1＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠CAO＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝∠2＝56°．
故答案為：56°．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線及垂直平分線的作圖法，要由題目的作法理解AO是角平分線，PQ是垂直平分線，也考查了對(duì)頂角相等、互余、矩形的性質(zhì)等，靈活運(yùn)用知識(shí)是解題關(guān)鍵．
4．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于和，再分別以點(diǎn)為圓心，大于二分之一為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于．若，則的面積為 ．
【答案】5
【分析】作GM⊥AB于M，先利用基本作圖得到AG平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到GM=GH=2，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．
【詳解】解：作GM⊥AB于M，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM=GH=2，
∴,
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，還考查了角平分線的作圖方法，正確理解題意得到AG平分∠BAC是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，，則 ．
【答案】5
【分析】本題考查了作圖基本作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)．過作交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過作交的延長(zhǎng)線于，
則，
由作圖知，平分，
，
，
，
∵，
，
，
，
．
故答案為：5．
6．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】如圖所示，過點(diǎn)H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BM的長(zhǎng)，即可利用勾股定理求出BH的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)H作HM⊥BC于M，
由作圖方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，在邊上分別截取，使，分別以D、E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M，作射線交邊于點(diǎn)F．若，則點(diǎn)F到的距離為 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)作圖過程可知：平分，如圖：過點(diǎn)F作，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知：平分，
過點(diǎn)F作，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴點(diǎn)F到的距離為2．
故答案為：2．
8．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，以A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交于M，N；分別以M，N為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)G；作射線交于E；作交于F．若，則四邊形的面積等于 ．
【答案】24
【分析】本題考查了作圖-基本作圖，平行線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是判定四邊形是菱形．連接交于點(diǎn)O，證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)作圖過程可得AE平分，然后證明四邊形是菱形，進(jìn)而可得四邊形的面積．
【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)O，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
根據(jù)作圖過程可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，，
∴OB＝＝4，
∴，
∴四邊形的面積等于．
故答案為：24．
9．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在中，通過尺規(guī)作圖，得到直線和射線，仔細(xì)觀察作圖痕跡，若，，則 ．
【答案】22
【分析】由題意可知，為線段的垂直平分線，為的平分線，則，，即可得，，根據(jù)求出，由可得答案．
【詳解】解：由題意可知，為線段的垂直平分線，為的平分線，
，，，
，
，
，
．
故答案為：22．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖、三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線與角平分線的作圖方法及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，的周長(zhǎng)為，連接，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線，交邊于點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)為______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意求出，再利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問題．
【詳解】解：的周長(zhǎng)為，
，
由作圖可知垂直平分線段，
，
的周長(zhǎng)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖——基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
11．（2023·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃┤鐖D，矩形中，連接．按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和；②作直線分別交邊，于點(diǎn)，；③以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，；④分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；⑤作射線交邊于點(diǎn)．則 ．
【答案】/60度
【分析】根據(jù)作圖是線段的垂直平分線，得到，平分，得到，利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余計(jì)算即可．
【詳解】∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線和角的平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握基本作圖，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
滿分技巧
1、掌握角平分線的性質(zhì)與判定，理解如何通過尺規(guī)作圖畫出角平分線．
2、三角形、四邊形的基本性質(zhì)與判定，幾何中的邊角問題．
滿分技巧
1、掌握角中垂線的性質(zhì)與判定，理解如何通過尺規(guī)作圖畫出角平分線．
2、特殊三角形、四邊形的基本性質(zhì)與判定，幾何中的邊角問題．

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