【中考二輪】2024年中考數(shù)學(xué)（四川成都專用）熱點(diǎn)01 與圓有關(guān)的計(jì)算問題（命題趨勢(shì)+3類熱考題型+限時(shí)檢測(cè)）-專題訓(xùn)練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

圓得計(jì)算是四川成都中考數(shù)學(xué)的必考考點(diǎn)，常見以選填的形式，主要是求角、長度、面積等問題，一般出現(xiàn)在中考的第7或8題，偶爾也會(huì)出現(xiàn)在A卷填空題中，以簡單題為主，但除了常規(guī)考法以外，日常練習(xí)中多注意新穎題目的考向。
【題型1 與圓有關(guān)的角度問題】
【例1】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，若則的度數(shù)為（）

A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】D
【分析】利用圓周角定理求出再利用三角形角和定理求解即可．
【詳解】解：是的直徑，
故選：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解此題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則的大小是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接，再根據(jù)圓的性質(zhì)得，從而得到，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可得的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理得的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
則有，
∴，
根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可得：，
∴，
根據(jù)圓周角定理可得：，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，涉及了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)．
【變式1-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在中，弦，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用圓周角定理求出的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．
【詳解】解∶∵，
∴，
∵，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，平行線的性質(zhì)，利用圓周角定理求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形和正方形都內(nèi)接于，連接，則弦所對(duì)圓周角的度數(shù)為（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】先求出正六邊形和正方形的邊所對(duì)的圓心角，求差可得弦所對(duì)得圓心角，再分別求出優(yōu)弧和劣弧所對(duì)得圓周角即可．
【詳解】如圖，連接,,
∵四邊形是正方形
∴
∵六邊形是正六邊形
∴
∴
∴弦所對(duì)圓周角的度數(shù)為或
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓的關(guān)系，以及同弧所對(duì)圓周角是它所對(duì)圓心角得一半，注意有兩個(gè)答案．
【變式1-4】（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正五邊形，，A、B、C、D、E均在上，連接，則的度數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接，，，根據(jù)，得出，根據(jù)圓周角定理即可得出答案．
【詳解】解：連接，，，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∴，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓心角，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出．
【題型2 與圓有關(guān)的長度問題】
【例2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，若，，于點(diǎn)，則的長為．

【答案】
【分析】先利用圓周角定理得到，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)垂徑定理得到，則可判斷為的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求解．
【詳解】解：是的直徑，，
∵，，，
，，而，
為的中位線，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑，也考查了垂徑定理．
【變式2-1】（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】連接OB，OC，由⊙O的周長等于6π，可得⊙O的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，即可求得答案．
【詳解】解：連接OB，OC，
∵⊙O的周長等于6π，
∴⊙O的半徑為：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為3，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【變式2-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是正五邊形的外接圓，這個(gè)正五邊形的邊長為，半徑為，邊心距為，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，，再解直角三角形即可得到答案．
【詳解】解：是正五邊形的外接圓，
，
∵，
，，
∴，即，故B不符合題意；
，即，故C不符合題意；
，即，故A不符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接五邊形、解直角三角形的知識(shí)，掌握?qǐng)A內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，并求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023·四川成都·二模）如圖，把圓分成六等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，的半徑是R，它的外切正六邊形的邊長為（）

A．B．C．2D．6R
【答案】A
【分析】求出，然后解直角三角形求出，再根據(jù)邊長計(jì)算即可求解．
【詳解】解：如圖，，

所以，，
所以，外切六邊形的邊長．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，主要利用解直角三角形，熟記正多邊形的性質(zhì)并求出切點(diǎn)與相鄰的頂點(diǎn)所對(duì)的圓心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-4】（2023·四川成都·二模）如圖，半圓的直徑，正方形的頂點(diǎn)C，D在半圓上，一邊在上，則這個(gè)正方形的邊長等于．
【答案】
【分析】根據(jù)題意得，設(shè),則，由勾股定理得，從而求得正方形的面積．
【詳解】如圖，找到半圓的圓心O，根據(jù)題意得，

設(shè)，則，
由勾股定理得，
解得．
∴（負(fù)值舍去）．
∴正方形的邊長為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理，解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進(jìn)行計(jì)算．
【題型3 與圓有關(guān)的面積問題】
【例3】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準(zhǔn)備在一個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行川劇演出．該場(chǎng)館底面為一個(gè)圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時(shí)觀看演出．（取3.14，取1.73）

【答案】184
【分析】過點(diǎn)O作的垂線段，交于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的邊長關(guān)系求出的角度，陰影面積即為扇形的面積減去三角形的面積，隨機(jī)可以求出容納觀眾的數(shù)量．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作的垂線段，交于點(diǎn)，

圓心O到欄桿的距離是5米，
米，
，
，米，
，
，
，
可容納的觀眾
陰影部分面積（人），
最多可容納184名觀眾同時(shí)觀看演出，
故答案為：184．
【點(diǎn)睛】本題考查了弓形的面積，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟知扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2021·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形的邊長為6，以頂點(diǎn)A為圓心，的長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出∠FAB，利用扇形面積公式求出扇形ABF的面積計(jì)算即可．
【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面積=，
故選擇D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、扇形面積計(jì)算，掌握多邊形內(nèi)角的計(jì)算公式、扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，將直徑的半圓繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意知，，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
∵，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于確定陰影部分的面積表達(dá)式．
【變式3-3】（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，是的直徑，弦，，，則陰影部分的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)垂徑定理求得，然后由圓周角定理知，通過解直角三角形求得線段、的長度；最后將相關(guān)線段的長度代入．
【詳解】解：如圖，設(shè)線段、交于點(diǎn)，

∵是的直徑，弦，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，扇形面積的計(jì)算，運(yùn)用了割補(bǔ)法求陰影部分的面積．掌握垂徑定理和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3-4】（2021·四川成都·二模）如圖，圓O經(jīng)過平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、D，且圓心O在平行四邊形的外部，tan∠DAB＝，D為弧AB的中點(diǎn)，若圓O的半徑為5，則平行四邊形的面積為（）
A．10B．15C．16D．20
【答案】C
【分析】連接OD，交AB于點(diǎn)E，連接OA，由D為的中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得到OD垂直于AB，E為AB的中點(diǎn)，在直角三角形ADE中，由tan∠DAB的值，得到AE＝2DE，設(shè)DE＝x，則有AE＝2x，由半徑為5，得到OA＝OD＝5，由OD﹣DE表示出OE，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與DE的長，利用平行四邊形的面積公式即可求出面積．
【詳解】解：連接OD，交AB于點(diǎn)E，連接OA，如圖所示，
∵D為的中點(diǎn)，∴OD⊥AB，
∴E為AB的中點(diǎn)，即AE＝BE，
在Rt△ADE中，tan∠DAB＝，
設(shè)DE＝x，∵OA＝OD＝5，
∴AE＝2x，OE＝OD﹣DE＝5﹣x，
在Rt△AOE中，
根據(jù)勾股定理得：，即，
解得：x＝0（舍去）或x＝2，
∴AE＝4，DE＝2，
∴AB＝2AE＝8，
則．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系、圓周角定理、解直角三角形等知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．
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1．（2023·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，弦，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)垂徑定理可得，再由圓周角定理，即可求解．
【詳解】解：∵是的直徑，弦，
∴，
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，為的內(nèi)切圓，與三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，則的面積為___________（結(jié)果保留π）（）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】A
【分析】連接，，，，，，設(shè)，先由勾股定理求出的長，然后由面積法可求出半徑r，從而根據(jù)圓的面積公式可計(jì)算出圓的面積．
【詳解】解：如圖，連接，，，，，．
設(shè)，由勾股定理得．
，
，解得，
的面積為．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)切三角形，切線的性質(zhì)，勾股定理等，根據(jù)面積法求出半徑r是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形、等邊三角形內(nèi)接于同一個(gè)圓，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，，已知圖形是以正方形的對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，求得，則所對(duì)的圓心角為，所以的度數(shù)為．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，是等邊三角形，
∴，，
∵已知圖形是以正方形的對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，
∴，
∵是所對(duì)的圓周角，
∴所對(duì)的圓心角等于，∴的度數(shù)為，故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正方形及等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和弧的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出所對(duì)的圓心角的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2022·四川成都·校考三模）如圖，是的直徑，是的弦，若，則弧長為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連結(jié)，根據(jù)，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出圓心角的度數(shù)，根據(jù)直徑的長求出半徑，根據(jù)弧長公式即可得出答案．
【詳解】解：如圖，連結(jié)，
∵，
∴，
∴，
∵直徑，
∴半徑，
∴弧長，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接OE，由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可求解．
【詳解】解：連接OE，如圖所示：
∵OB=OC，，
∴，∴，
∵E是劣弧的中點(diǎn)，
∴，∴；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，且E為OB的中點(diǎn)，∠CDB=30°，CD=4，則陰影部分的面積為（）
A．πB．4πC．πD．π
【答案】D
【分析】連接，由，得，又，可得是等腰三角形，E為OB的中點(diǎn)，可得，由垂徑定理得，在中，可求得，然后由，即可求得答案．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵E為OB的中點(diǎn)，
∴，∴，
在中，，∴，
∵，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、解直角三角形和求扇形面積等，熟練掌握相關(guān)定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，圓形螺帽的內(nèi)接正六邊形的邊心距為，則圓形螺帽的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)可得△AOB是正三角形，由邊心距可求出半徑，進(jìn)而求得邊長，即可求得面積．
【詳解】解：如圖，
△AOB是正三角形，，
，
則半徑為4
圓形螺帽的面積是
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)解決問題的關(guān)鍵．
8.（2022·四川成都·校考一模）如圖，是一個(gè)圓形人工湖，弦AB是湖上的一座橋，已知AB的長為10，∠CAO+∠CBO=30°，則弧AB的長為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=60°，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵OA=OB=OC，∠CAO+∠CBO=30°，
∴∠ACO=∠CAO，∠BCO=∠CBO
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CAO+∠CBO=30°，
∴∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=10，
∴弧AB的長為：．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長計(jì)算以及圓周角定義，正確掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．
9．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知⊙O的半徑為5，AB、CD為⊙O的弦，且CD=6．若∠AOB+∠COD=180°，則弦AB的長為（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】延長AO交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD知∠BOE＝∠COD，據(jù)此可得BE＝CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【詳解】解：如圖，延長AO交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，
則∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝8，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角定理，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用圓心角定理和圓周角定理解決問題．
10．（2022·四川成都·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠OCA＝60°，AC＝6，則扇形OBMC的面積為（）
A．24πB．12πC．8πD．6π
【答案】B
【分析】先根據(jù)∠OCA=60°，OA=OC，判斷出△OAC是等邊三角形，從而得扇形OBMC的圓心角及半徑，再利用扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵∠OCA＝60°，OA＝OC，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠AOC＝60°，OA＝AC＝6，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴扇形OBMC的面積為＝12π．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，解題關(guān)鍵是掌握扇形面積計(jì)算公式，難度不大．
11.（2021·四川成都·統(tǒng)考三模）如圖，正方形內(nèi)接于⊙，，則圖中陰影部分的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接OB、OC，利用正方形的性質(zhì)得出OB=BCcs45°=，根據(jù)陰影部分的面積=（S⊙O-S正方形ABCD）÷4列式計(jì)算可得．
【詳解】解：連接OB、OC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠OBC=45°，
∴OB=BCcs45°=4×=，
所以陰影部分的面積=（S⊙O-S正方形ABCD）÷4=[π×（）2-4×4]÷4=2π-4．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和圓的面積公式．
12．（2021·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O與△ABC的邊AB，AC相切于點(diǎn)B，D，若圓心O在BC邊上，∠C=30°，OC=2，則圖中陰影部分的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用切線的性質(zhì)可證得∠ODC=90°，再求出∠DOC的度數(shù)，可得到∠BOD的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式可求出陰影部分的面積．
【詳解】解：∵⊙O與△ABC的邊AB，AC相切于點(diǎn)B，D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=90°，
∴∠DOC=90°-∠C=90°-30°=60°，OD=OC=1，
∴∠BOD=180°-∠DOC=180°-60°=120°，
∴S陰影部分=．
故答案為：B．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，30°直角三角形的的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，解題關(guān)鍵在于利用圓切線的性質(zhì)得出垂直關(guān)系．
13．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是⊙的直徑，，是⊙的弦，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用鄰補(bǔ)角的定義計(jì)算出∠BOF=140°,再根據(jù)圓周角定理計(jì)算出∠BEF=70°得到∠EBF=∠EFB然后利用三角形內(nèi)角和計(jì)算度數(shù)．再由°，再計(jì)算∠F的度數(shù)即可．
【詳解】解：連接BF
∵
∴°
，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)
∴，
35°
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及推論、鄰補(bǔ)角、三角形的內(nèi)角和、靈活進(jìn)行角的和差關(guān)系的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，已知圓周角，半徑，則扇形的面積是．
【答案】
【分析】根據(jù)圓周角定理可得出，進(jìn)而由扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，扇形面積公式．掌握扇形面積公式為是解題關(guān)鍵．
15．（2023·四川成都·校考二模）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，若，則．
【答案】/度
【分析】先根據(jù)圓周角定理求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得即可求解．
【詳解】解：連接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
16．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，已知是的弦，，，垂足為，交于點(diǎn)，若為上一點(diǎn)，連接、，則的度數(shù)是．
【答案】/35度
【分析】根據(jù)垂徑定理得出，進(jìn)而求出，再根據(jù)圓周角定理可得．
【詳解】解：，為半徑，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．
17．（2023·四川成都·成都七中?？既＃┤鐖D，已知的周長等于，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距為．
【答案】/
【分析】連接，，由正六邊形可求出，進(jìn)而可求出，根據(jù)角的銳角三角函數(shù)值即可求出邊心距的長．
【詳解】解：連接，，
正六邊形是圓的內(nèi)接多邊形，
，
，，
，
的周長等于，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、解直角三角形；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
18．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，B，D是上的點(diǎn)，若的半徑為3，，則扇形的面積為．
【答案】
【分析】本題考查的是圓周角定理，扇形面積的計(jì)算，掌握?qǐng)A周角定理、扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理求出，得到的度數(shù)，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：由圓周角定理得，，
∴，
∴扇形的面積為．
故答案為：．
19.（2021·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃┤鐖D，在中，直徑，弦，垂足為E，弦，則．

【答案】1或9
【分析】由題意知，分靠近點(diǎn)，靠近點(diǎn)，兩種情況求解；①當(dāng)靠近點(diǎn)時(shí)，如圖，連接，由垂徑定理得，由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；②當(dāng)靠近點(diǎn)，同理，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，分靠近點(diǎn)，靠近點(diǎn)，兩種情況求解；
①當(dāng)靠近點(diǎn)時(shí)，如圖，連接，

∵直徑，弦，弦，
∴，，，
由勾股定理得，，
∴；
②當(dāng)靠近點(diǎn)，同理，
∴；
綜上所述，的值為1或9，
故答案為：1或9．
20．（2023·四川成都·校考三模）如圖，多邊形為內(nèi)接正五邊形，與相切于點(diǎn)，則．

【答案】/度
【分析】連接，，由多邊形是正五邊形可求出中心角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)，利用切線的性質(zhì)求出即可．
【詳解】解：連接，，

多邊形是正多邊形，，
．
直線與相切于點(diǎn)，．
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓、圓周角定理、切線性質(zhì)；作出適當(dāng)?shù)妮o助線（遇到切線，連接過切點(diǎn)的半徑），利用切線性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
21．（2023·四川成都·成都七中?？既＃┤鐖D，分別以邊長為2的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑作弧，三段弧所圍成的圖形是一個(gè)曲邊三角形，現(xiàn)隨機(jī)地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，針尖落在內(nèi)的概率為．
【答案】
【分析】根據(jù)幾何概率公式，的面積比上圖形總面積，即為針尖落在內(nèi)的概率．
【詳解】解：等邊三角形，
，，如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，,，
分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑作弧，
可知曲邊三角形的三個(gè)弓形部分面積相等，為，
圖形的總面積為，
故針尖落在內(nèi)的概率為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，幾何概率，熟練求得總面積是解題的關(guān)鍵．

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