2.2.1 直線的點斜式方程知識點一 直線的點斜式方程(一)教材梳理填空直線的點斜式方程
[微提醒] 當直線l的傾斜角為0°時(圖1),tan 0°=0,即k=0,這時直線l與x軸平行或重合,直線l的方程是y-y0=0,即y=y(tǒng)0.  當直線l的傾斜角為90°時(圖2),由于tan 90°無意義,直線沒有斜率,這時直線l與y軸平行或重合,它的方程不能用點斜式表示.又因為這時直線l上每一點的橫坐標都等于x0,所以它的方程是x-x0=0,即x=x0.
2.若直線l的點斜式方程是y-2=3(x+1),則直線l的斜率是(   )A.2           B.-1C.3 D.-3解析:由直線的點斜式方程可知直線l的斜率是3.答案:C 3.過點(-1,2),且傾斜角為135°的直線的點斜式方程為________.解析:k=tan 135°=-1,由直線的點斜式方程得y-2=-(x+1).答案:y-2=-(x+1)
知識點二 直線的斜截式方程(一)教材梳理填空1.直線在y軸上的截距定義:直線l與y軸的交點(0,b)的 叫做直線l在y軸上的截距.符號:可正,可負,也可為零.
(二)基本知能小試1.直線y=-2x+3的斜率和在y軸上的截距分別是(   )A.-2,3 B.3,-2C.-2,-2 D.3,3答案:A 2.傾斜角為135°,在y軸上的截距為-1的直線方程是(   )A.y=x+1 B.y=x-1C.y=-x+1 D.y=-x-1解析:由題意知,直線的斜率k=-1,又在y軸上截距為-1,故直線方程為y=-x-1,選D.答案:D 
題型一 直線的點斜式方程 [學透用活][典例1] 寫出下列直線的點斜式方程.(1)經(jīng)過點A(2,5),且與直線y=2x+7平行;(2)經(jīng)過點C(-1,-1),且與x軸平行;(3)經(jīng)過點D(1,2),且與x軸垂直.[解] (1)由題意知,直線的斜率為2,所以其點斜式方程為y-5=2(x-2).(2)由題意知,直線的斜率k=tan 0°=0,所以直線的點斜式方程為y-(-1)=0.(3)由題意知,直線的斜率不存在,所以直線的方程為x=1,該直線沒有點斜式方程.
求直線的點斜式方程的方法步驟(1)求直線的點斜式方程的步驟:定點(x0,y0)→定斜率k→寫出方程y-y0=k(x-x0).(2)點斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示過點P(x0,y0)的所有直線,但x=x0除外.  
[對點練清]1.若一條直線經(jīng)過點(2,5),傾斜角為45°,則這條直線的點斜式方程為____.解析:因為傾斜角為45°,所以斜率k=tan 45°=1,所以直線的點斜式方程為y-5=x-2.答案:y-5=x-22.經(jīng)過點(-5,2)且平行于y軸的直線方程為________.解析:因為直線平行于y軸,所以直線不存在斜率,所以方程為x=-5.答案:x=-5
題型二 直線的斜截式方程 [學透用活]對截距的理解(1)直線的斜截式方程是由點斜式推導而來的.直線與y軸的交點(0,b)的縱坐標b稱為此直線的縱截距,值得強調的是,截距是坐標,它可能是正數(shù),也可能是負數(shù),還可能是0,不能將其理解為“距離”而恒為非負數(shù).(2)直線與x軸的交點(a,0)的橫坐標a稱為此直線的橫截距. 并不是每條直線都有橫截距和縱截距,如直線x=1沒有縱截距,直線y=2沒有橫截距.
[典例2] 根據(jù)條件,寫出直線的方程:(1)經(jīng)過點A(-1,2),在y軸上的截距為-2;(2)經(jīng)過點(3,4)且在兩坐標軸上的截距相等.[解] (1)∵直線在y軸上的截距為-2,∴設直線的斜截式方程為y=kx-2,又直線過A(-1,2),代入直線方程得2=-k-2,解得k=-4,∴所求的直線方程為y=-4x-2.
求直線的斜截式方程的策略(1)直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊形式,其適用前提是直線的斜率存在,只要點斜式中的點在y軸上,就可以直接用斜截式表示.(2)直線的斜截式方程y=kx+b中只有兩個參數(shù),因此要確定直線方程,只需知道參數(shù)k,b的值即可.(3)利用直線的斜截式求方程務必靈活,如果已知斜率k,只需引入?yún)?shù)b;同理,如果已知截距b,只需引入?yún)?shù)k.  
[對點練清]1.已知直線l1的方程為y=-2x+3,l2的方程為y=4x-2,直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同,則直線l的斜截式方程為____________.解析:由斜截式方程知直線l1的斜率k1=-2,又因為l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2.由題意知l2在y軸上的截距為-2,所以l在y軸上的截距b=-2.由斜截式可得直線l的方程為y=-2x-2.答案:y=-2x-2
2.[變條件]若將本例2(1)中的“在y軸上的截距為-2”改為“在x軸上的截距為-2”,其他條件不變,求直線的方程.
3.[變條件]若將本例2(2)中的“截距相等”改為“截距互為相反數(shù)”,其他條件不變,求直線的方程.
題型三 利用直線的斜截式方程判斷兩直線的關系 [學透用活][典例3] (1)當a為何值時,直線l1:y=-x+2a與直線l2:y=(a2-2)x+2平行?(2)當a為何值時,直線l1:y=(2a-1)x+3與直線l2:y=4x-3垂直?
判斷兩條直線位置關系的方法直線l1:y=k1x+b1,直線l2:y=k2x+b2.(1)若k1≠k2,則兩直線相交.(2)若k1=k2,則兩直線平行或重合.當b1≠b2時,兩直線平行;當b1=b2時,兩直線重合.(3)特別地,當k1·k2=-1時,兩直線垂直.(4)對于斜率不存在的情況,應單獨考慮. 
[對點練清](1)求經(jīng)過點(0,2),且與直線l1:y=-3x-5平行的直線l2的方程;(2)求經(jīng)過點(-2,-2),且與直線l1:y=3x-5垂直的直線l2的方程.
[課堂思維激活] 一、綜合性——強調融會貫通1.求經(jīng)過點A(-2,2)并且和x軸的正半軸、y軸的正半軸所圍成的三角形的面積是1的直線方程.
二、應用性——強調學以致用2.一根彈簧掛6 N的物體時長11 cm,掛9 N的物體時長17 cm.已知彈簧長度l(cm)和所掛物體的重量G(N)的關系可用直線方程來表示,寫出點斜式方程,并根據(jù)這個方程,求彈簧長度為13 cm時所掛物體的重量.
3.在路邊安裝路燈,路寬23 m,燈桿長2.5 m,且與燈柱成120°.路燈采用錐形燈罩,燈罩軸線與燈桿垂直.當燈柱高h約為多少時,燈罩軸線正好與道路路面的中線相交?(精確到0.01 m)

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2.2 直線的方程

版本: 人教A版 (2019)

年級: 選擇性必修 第一冊

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