3.2.1　直線的點(diǎn)斜式方程
斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡(jiǎn)約剛毅，力感十足．若以橋面所在直線為x軸，橋塔所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么斜拉索可看成過橋塔上同一點(diǎn)的直線．怎樣表示直線的方程呢？
1．直線的點(diǎn)斜式方程(1)定義：如下圖所示，直線l過定點(diǎn)P(x0，y0)，斜率為k，則把方程_________________叫做直線l的點(diǎn)斜式方程．(2)說明：如下圖所示，過定點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角是90°的直線沒有點(diǎn)斜式，其方程為________．
y－y0＝k(x－x0)　
2．直線的斜截式方程(1)定義：如下圖所示，直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，則方程____________叫做直線l的斜截式方程．(2)說明：一條直線與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的________.傾斜角是________的直線沒有斜截式方程．
強(qiáng)調(diào)：(1)截距是坐標(biāo)，它可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，還可能是0，不能將其理解為“距離”．(2)并不是每條直線都有橫截距和縱截距，如直線x＝1沒有縱截距，直線y＝2沒有橫截距．
[解析]　由直線的點(diǎn)斜式方程的定義可知選項(xiàng)C正確．
2．(2018·鄭州一中檢測(cè))已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則(　　)A．直線經(jīng)過點(diǎn)(－1,2)，斜率為－1B．直線經(jīng)過點(diǎn)(－1,2)，斜率為1C．直線經(jīng)過點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1D．直線經(jīng)過點(diǎn)(－1，－2)，斜率為1[解析]　方程y＋2＝－x－1可寫成y＋2＝－(x＋1)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程的定義可知該直線的斜率為－1，過點(diǎn)(－1，－2)．
3．直線y＝－2x＋3的斜率是_______，在y軸上的截距是_____，在x軸上的截距是______．
4．寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程并化成斜截式：(1)經(jīng)過點(diǎn)A(2,5)，斜率是4；(2)經(jīng)過點(diǎn)B(2,3)，傾斜角為45°．[解析]　(1)y－5＝4(x－2)，y＝4x－3．(2)k＝tan45°＝1，所以y－3＝x－2.即y＝x＋1．
命題方向1　?直線的點(diǎn)斜式方程
　　　　　求滿足下列條件的直線的點(diǎn)斜式方程：(1)過點(diǎn)P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)過點(diǎn)P(3，－4)，且與x軸平行；(3)過P(－2,3)、Q(5，－4)兩點(diǎn)．
『規(guī)律方法』　求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0、y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．點(diǎn)斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示過點(diǎn)P(x0、y0)的所有直線，但x＝x0除外．
〔跟蹤練習(xí)1〕你能寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程嗎？沒有點(diǎn)斜式方程的直線和斜率為0的直線如何表示？(1)經(jīng)過點(diǎn)A(－2,5)，斜率是3；(2)經(jīng)過點(diǎn)B(2，－3)，傾斜角是135°；(3)經(jīng)過點(diǎn)C(－1，－1)，與x軸平行；(4)經(jīng)過點(diǎn)D(1,1)，與x軸垂直．[解析]　(1)y－5＝3(x＋2)．(2)k＝tan135°＝－1，∴y＋3＝－(x－2)．(3)y＝－1．(4)x＝1．
命題方向2　?直線的斜截式方程
　　　　　寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是3，在y軸上的截距是－3；(2)傾斜角是60°，在y軸上的截距是5；(3)傾斜角是150°，在y軸上的截距是0．
『規(guī)律方法』　斜截式是點(diǎn)斜式的特例，應(yīng)用斜截式方程時(shí)，應(yīng)注意斜率不存在的情形．當(dāng)k≠0時(shí)，斜截式方程y＝kx＋b是一次函數(shù)的形式；而一次函數(shù)y＝kx＋b中，k是直線的斜率，常數(shù)b是直線在y軸上的截距．
直線(曲線)過定點(diǎn)問題——分離參數(shù)法與賦值法
　　　　　無(wú)論a取何值，直線y＝3a(x－1)＋4＋a恒過定點(diǎn)_________．[思路分析]　(1)聯(lián)想直線方程的點(diǎn)斜式，可將參數(shù)a分離求解．(2)注意到a的任意性，可給a賦值求解．
　　　　　當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行？[錯(cuò)解]　由題意，得a2－2＝－1，∴a＝±1．[錯(cuò)因分析]　該解法只注意到兩直線平行時(shí)斜率相等，而忽視了斜率相等的兩直線還可能重合．[思路分析]　要解決兩直線平行的問題，一定要注意檢驗(yàn)，看看兩直線是否重合．[正解]　∵l1∥l2，∴a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1．
忽視兩條直線平行的條件
1．過點(diǎn)P(－2,0)，斜率為3的直線的方程是(　　)A．y＝3x－2　　　B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2)　　　D．y＝3(x＋2)[解析]　由點(diǎn)斜式方程可知，直線的方程為y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，故選D．
3．經(jīng)過點(diǎn)P(－2,1)，且斜率為－1的直線方程為______________．[解析]　由題意知，直線方程為y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．4．(2018·煙臺(tái)質(zhì)檢)寫出下列直線的方程．(1)經(jīng)過點(diǎn)C(－1，－1)，且與x軸平行；(2)經(jīng)過點(diǎn)D(1,1)，且與x軸垂直．[點(diǎn)撥]　注意斜率是否存在．[解析]　(1)由題意可知，直線的斜率k＝0，所以直線的點(diǎn)斜式方程為y－(－1)＝0，即y＝－1．(2)由題意可知，直線的斜率不存在，所以直線的方程為x＝1．
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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修2電子課本

3.2 直線的方程

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 必修2

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