A．l的傾斜角為銳角且不過第二象限
B．l的傾斜角為鈍角且不過第一象限
C．l的傾斜角為銳角且不過第四象限
D．l的傾斜角為鈍角且不過第三象限
解析：選B 依題意知，直線l的截距式方程為eq \f(x,－a)＋eq \f(y,－b)＝1(a>0，b>0)，顯然直線l只能過第二、三、四象限，而不會過第一象限，且傾斜角為鈍角，故選B.
2．經過點(0，－2)，且在兩坐標軸上的截距和為2的直線方程是( )
A.eq \f(x,2)＋eq \f(y,－2)＝1 B．eq \f(x,－2)＋eq \f(y,2)＝1
C.eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1 D．eq \f(x,4)－eq \f(y,2)＝1
解析：選D 設直線在x軸上的截距設為a，由題意知直線在y軸上的截距為－2，所以－2＋a＝2，a＝4.故直線方程為eq \f(x,4)－eq \f(y,2)＝1.
3．已知△ABC三頂點A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M為AB中點，N為AC中點，則中位線MN所在直線方程為( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
解析：選A 點M的坐標為(2,4)，點N的坐標為(3,2)，由兩點式方程得eq \f(y－2,4－2)＝eq \f(x－3,2－3)，即2x＋y－8＝0.
4．兩條直線l1：eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝1和l2：eq \f(x,b)－eq \f(y,a)＝1在同一直角坐標系中的圖象可以是( )
解析：選A 兩條直線化為截距式分別為eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1，eq \f(x,b)＋eq \f(y,－a)＝1.假定l1，判斷a，b，確定l2的位置，知A項符合．
5．過P(4，－3)且在坐標軸上截距相等的直線有( )
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
解析：選B 當直線過原點時顯然符合條件，當直線不過原點時，設直線與坐標軸的交點為(a,0)，(0，a)，a≠0，則直線方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，把點P(4，－3)的坐標代入方程得a＝1.所以所求直線有兩條．
6．在x軸和y軸上的截距分別為－2,3的直線方程是____________．
解析：由直線的截距式方程可得eq \f(x,－2)＋eq \f(y,3)＝1.
答案：eq \f(x,－2)＋eq \f(y,3)＝1
7．已知直線eq \f(x,a)＋eq \f(y,6)＝1與坐標軸圍成的圖形面積為6，則a的值為________．
解析：由eq \f(x,a)＋eq \f(y,6)＝1知S＝eq \f(1,2)|a|·|6|＝6，所以a＝±2.
答案：±2
8．已知點A(3,2)，B(－1,4)，則經過點C(2,5)且經過線段AB的中點的直線方程為________．
解析：AB的中點坐標為(1,3)，由直線的兩點式方程可得eq \f(y－3,5－3)＝eq \f(x－1,2－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
9．已知直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，且過點(6，－2)，求直線l的方程．
解：法一：設直線l的截距式方程為eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1，
把點(6，－2)代入得eq \f(6,a＋1)－eq \f(2,a)＝1，
化簡整理得a2－3a＋2＝0，解得a＝2或a＝1，
故直線l的方程為eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,2)＋y＝1.
法二：設直線l的點斜式方程為y＋2＝k(x－6)(k≠0)．
令x＝0，得y＝－6k－2；令y＝0，得x＝eq \f(2,k)＋6.
于是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)＋6))－(－6k－2)＝1，
解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(1,2).
故直線l的方程為y＋2＝－eq \f(2,3)(x－6)或y＋2＝－eq \f(1,2)(x－6)，即y＝－eq \f(2,3)x＋2或y＝－eq \f(1,2)x＋1.
10．三角形的頂點坐標為A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直線AB和直線AC的方程．
解：∵直線AB過點A(0，－5)，B(－3,3)兩點，
由兩點式方程，得eq \f(y＋5,3＋5)＝eq \f(x－0,－3－0).
整理，得8x＋3y＋15＝0.
∴直線AB的方程為8x＋3y＋15＝0.
又∵直線AC過A(0，－5)，C(2,0)兩點，
由截距式得eq \f(x,2)＋eq \f(y,－5)＝1，
整理得5x－2y－10＝0，
∴直線AC的方程為5x－2y－10＝0.
1．已知A，B兩點分別在兩條互相垂直的直線y＝2x和x＋ay＝0上，且線段AB的中點為Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(10,a)))，則直線AB的方程為( )
A．y＝－eq \f(3,4)x＋5 B．y＝eq \f(3,4)x－5
C．y＝eq \f(3,4)x＋5 D．y＝－eq \f(3,4)x－5
解析：選C 依題意，a＝2，P(0,5)．設A(x0,2x0)，B(－2y0，y0)，則由中點坐標公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0－2y0＝0，,2x0＋y0＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝4，,y0＝2.))所以A(4,8)，B(－4,2). 由直線的兩點式方程，得直線AB的方程是eq \f(y－8,2－8)＝eq \f(x－4,－4－4)，即y＝eq \f(3,4)x＋5.
2．若直線l經過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，1))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－1))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析：選D 設直線的斜率為k，如圖
過定點A的直線經過點B時，直線l在x軸上的截距為3，此時k＝－1；過定點A的直線經過點C時，直線l在x軸上的截距為－3，此時k＝eq \f(1,2)，所以滿足條件的直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
3．已知A(3,0)，B(0,4)，P(m，n)是直線AB上一動點，則mn的最大值為________．
解析：易求得直線AB的方程為eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，∵P(m，n)在直線AB上，∴m＝3－eq \f(3,4)n，∴mn＝3n－eq \f(3,4)n2＝eq \f(3,4)(－n2＋4n)＝eq \f(3,4)[－(n－2)2＋4]≤3，當n＝2時，mn取得最大值，最大值為3.
答案：3
4．已知在△ABC中，A，B的坐標分別為(－1,2)，(4,3)，AC的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上．
(1)求點C的坐標；
(2)求直線MN的方程．
解：(1)設點C(m，n)，AC中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，
由中點坐標公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m－1,2)＝0，,\f(n＋3,2)＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝－3.))
∴點C的坐標為(1，－3)．
(2)由(1)可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，
由直線方程的截距式，得直線MN的方程是
eq \f(x,\f(5,2))＋eq \f(y,－\f(1,2))＝1，即y＝eq \f(1,5)x－eq \f(1,2).
5．一條光線從點A(3,2)發(fā)出，經x軸反射后，通過點B(－1，6)，求入射光線和反射光線所在的直線方程．
解：如圖所示，作A點關于x軸的對稱點A′，顯然，A′坐標為(3，－2)，連接A′B，則A′B所在直線即為反射光線．
由兩點式可得直線A′B的方程為eq \f(y－6,－2－6)＝eq \f(x＋1,3＋1)，
即2x＋y－4＝0.
同理，點B關于x軸的對稱點為B′(－1，－6)，連接AB′，則AB′所在直線即為入射光線．
由兩點式可得直線AB′的方程為eq \f(y－2,－6－2)＝eq \f(x－3,－1－3)，
即2x－y－4＝0，
∴入射光線所在直線方程為2x－y－4＝0，
反射光線所在直線方程為2x＋y－4＝0.

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2.2 直線的方程

版本： 人教A版 (2019)

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