人教A版 (2019)選擇性必修第一冊1.4 空間向量的應用當堂達標檢測題-試卷下載-教習網

A． eq \r(a·a)＝|a|
B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)
C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a
D．a2b＝b2a
解析：選ABC ∵a·a＝|a|2，∴ eq \r(a·a)＝|a|，故A正確．
m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正確．
a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正確．
a2·b＝|a|2·b，b2·a＝|b|2·a，故D不一定正確．
2．已知a，b均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么|a＋3b|等于( )
A． eq \r(7) B． eq \r(10) C． eq \r(13) D．4
答案：C
3．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則 eq \(AE,\s\up6(―→))· eq \(AF,\s\up6(―→))的值為( )
A．a2 B． eq \f(1,2)a2 C． eq \f(1,4)a2 D． eq \f(\r(3),4)a2
解析：選C eq \(AE,\s\up6(―→))· eq \(AF,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AC,\s\up6(―→)))· eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \(AC,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→)))＝ eq \f(1,4)(a×a× eq \f(1,2)＋a×a× eq \f(1,2))＝ eq \f(1,4)a2.
4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱的長度都為2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF的長是( )
A．2 B． eq \r(3) C． eq \r(5) D． eq \r(7)
解析：選C 由于 eq \(EF,\s\up6(―→))＝ eq \(EA,\s\up6(―→))＋ eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(A1F,\s\up6(―→))，所以| eq \(EF,\s\up6(―→))|＝ eq \r((\(EA,\s\up6(―→))＋\(AA1,\s\up6(―→))＋\(A1F,\s\up6(―→)))2)＝ eq \r(1＋4＋1＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋0－\f(1,2))))＝ eq \r(5)，即EF的長是 eq \r(5).
5.如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于( )
A．6 eq \r(2) B．6
C．12 D．144
解析：選C 因為 eq \(PC,\s\up6(―→))＝ eq \(PA,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(BC,\s\up6(―→))，所以 eq \(PC,\s\up6(―→))2＝ eq \(PA,\s\up6(―→))2＋ eq \(AB,\s\up6(―→))2＋ eq \(BC,\s\up6(―→))2＋2 eq \(PA,\s\up6(―→))· eq \(AB,\s\up6(―→))＋2 eq \(PA,\s\up6(―→))· eq \(BC,\s\up6(―→))＋2 eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(BC,\s\up6(―→))＝36＋36＋36＋2×36cs 60°＝144，所以PC＝12.
6．若ABCD為空間四邊形，則 eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＋ eq \(BC,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \(CA,\s\up6(―→))· eq \(BD,\s\up6(―→))＝________．
解析： eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＋ eq \(BC,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \(CA,\s\up6(―→))· eq \(BD,\s\up6(―→))＝ eq \(AB,\s\up6(―→))·( eq \(AD,\s\up6(―→))－ eq \(AC,\s\up6(―→)))＋( eq \(AC,\s\up6(―→))－ eq \(AB,\s\up6(―→)))· eq \(AD,\s\up6(―→))－ eq \(AC,\s\up6(―→))·( eq \(AD,\s\up6(―→))－ eq \(AB,\s\up6(―→)))＝ eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))－ eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AC,\s\up6(―→))＋ eq \(AC,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))－ eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))－ eq \(AC,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \(AC,\s\up6(―→))· eq \(AB,\s\up6(―→))＝0.
答案：0
7.如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E為棱C1D1的中點，則 eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AE,\s\up6(―→))＝________．
解析： eq \(AE,\s\up6(―→))＝ eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(―→))， eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AE,\s\up6(―→))＝ eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(―→))2＝4×3×cs 60°＋0＋ eq \f(1,2)×42＝14.
答案：14
8.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點，則 eq \(B1C,\s\up6(―→))與 eq \(A1P,\s\up6(―→))所成角的大小為________， eq \(B1C,\s\up6(―→))· eq \(A1P,\s\up6(―→))＝________．
解析：如圖，連接A1D，則∠PA1D就是 eq \(B1C,\s\up6(―→))與 eq \(A1P,\s\up6(―→))所成角，連接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝ eq \r(2)，即△PA1D為等邊三角形，從而∠PA1D＝60°，即 eq \(B1C,\s\up6(―→))與 eq \(A1P,\s\up6(―→))所成角的大小為60°.因此 eq \(B1C,\s\up6(―→))· eq \(A1P,\s\up6(―→))＝ eq \r(2)× eq \r(2)×cs 60°＝1.
答案：60° 1
9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，D1D的中點，正方體的棱長為1.
(1)求〈 eq \(CE,\s\up6(―→))， eq \(AF,\s\up6(―→))〉的余弦值；
(2)求證：BD1⊥EF.
解：(1) eq \(AF,\s\up6(―→))＝ eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \(DF,\s\up6(―→))＝ eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(―→))，
eq \(CE,\s\up6(―→))＝ eq \(CC1,\s\up6(―→))＋ eq \(C1E,\s\up6(―→))＝ eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(CD,\s\up6(―→))＝ eq \(AA1,\s\up6(―→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(―→)).
因為 eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))＝0， eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AA1,\s\up6(―→))＝0， eq \(AD,\s\up6(―→))· eq \(AA1,\s\up6(―→))＝0，
所以 eq \(CE,\s\up6(―→))· eq \(AF,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(―→))－\f(1,2)\(AB,\s\up6(―→))))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(―→))＋\f(1,2)\(AA1,\s\up6(―→))))＝ eq \f(1,2).
又| eq \(AF,\s\up6(―→))|＝| eq \(CE,\s\up6(―→))|＝ eq \f(\r(5),2)，所以cs 〈 eq \(CE,\s\up6(―→))， eq \(AF,\s\up6(―→))〉＝ eq \f(2,5).
(2)證明：因為 eq \(BD1,\s\up6(―→))＝ eq \(BD,\s\up6(―→))＋ eq \(DD1,\s\up6(―→))＝ eq \(AD,\s\up6(―→))－ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AA1,\s\up6(―→))，
eq \(EF,\s\up6(―→))＝ eq \(ED1,\s\up6(―→))＋ eq \(D1F,\s\up6(―→))＝－ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AA1,\s\up6(―→)))，
所以 eq \(BD1,\s\up6(―→))· eq \(EF,\s\up6(―→))＝0，所以 eq \(BD1,\s\up6(―→))⊥ eq \(EF,\s\up6(―→)).即BD1⊥EF.
10.如圖所示，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求線段AC1的長；
(2)求證：AA1⊥BD；
(3)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值．
解：(1)設 eq \(AB,\s\up6(―→))＝a， eq \(AD,\s\up6(―→))＝b， eq \(AA1,\s\up6(―→))＝c，則|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cs 120°＝－1.
∵ eq \(AC1,\s\up6(―→))＝ eq \(AC,\s\up6(―→))＋ eq \(CC1,\s\up6(―→))＝ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \(AA1,\s\up6(―→))＝a＋b＋c，
∴| eq \(AC1,\s\up6(―→))|＝|a＋b＋c|＝ eq \r((a＋b＋c)2)
＝ eq \r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a))
＝ eq \r(12＋12＋22＋2(0－1－1))＝ eq \r(2).
∴線段AC1的長為 eq \r(2).
(2)證明：∵ eq \(AA1,\s\up6(―→))＝c， eq \(BD,\s\up6(―→))＝b－a，∴ eq \(AA1,\s\up6(―→))· eq \(BD,\s\up6(―→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴ eq \(AA1,\s\up6(―→))⊥ eq \(BD,\s\up6(―→))，即AA1⊥BD.
(3)設異面直線AC1與A1D所成的角為θ，則cs θ＝|cs 〈 eq \(AC1,\s\up6(―→))， eq \(A1D,\s\up6(―→))〉|＝ eq \f(|\(AC1,\s\up6(―→))·\(A1D,\s\up6(―→))|,|\(AC1,\s\up6(―→))||\(A1D,\s\up6(―→))|).由(1)知 eq \(AC1,\s\up6(―→))＝a＋b＋c，∵ eq \(A1D,\s\up6(―→))＝b－c，∴ eq \(AC1,\s\up6(―→))· eq \(A1D,\s\up6(―→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，| eq \(A1D,\s\up6(―→))|＝ eq \r((b－c)2)＝ eq \r(|b|2－2b·c＋|c|2)＝ eq \r(12－2×(－1)＋22)＝ eq \r(7).∴cs θ＝ eq \f(|\(AC1,\s\up6(―→))·\(A1D,\s\up6(―→))|,|\(AC1,\s\up6(―→))||\(A1D,\s\up6(―→))|)＝ eq \f(|－2|,\r(2)×\r(7))＝ eq \f(\r(14),7).∴異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為 eq \f(\r(14),7).
1．[多選]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，則下列命題正確的是( )
A．( eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→)))2＝3 eq \(AB,\s\up6(―→))2
B． eq \(A1C,\s\up6(―→))·( eq \(A1B1,\s\up6(―→))－ eq \(A1A,\s\up6(―→)))＝0
C． eq \(AD1,\s\up6(―→))與 eq \(A1B,\s\up6(―→))的夾角為60°
D．正方體的體積為| eq \(AB,\s\up6(―→))· eq \(AA1,\s\up6(―→))· eq \(AD,\s\up6(―→))|
解析：選AB 如圖所示，( eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→)))2＝( eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(A1D1,\s\up6(―→))＋ eq \(D1C1,\s\up6(―→)))2＝ eq \(AC1,\s\up6(―→))2＝3 eq \(AB,\s\up6(―→))2； eq \(A1C,\s\up6(―→))·( eq \(A1B1,\s\up6(―→))－ eq \(A1A,\s\up6(―→)))＝ eq \(A1C,\s\up6(―→))· eq \(AB1,\s\up6(―→))＝0； eq \(AD1,\s\up6(―→))與 eq \(A1B,\s\up6(―→))的夾角是 eq \(D1C,\s\up6(―→))與 eq \(D1A,\s\up6(―→))夾角的補角，而 eq \(D1C,\s\up6(―→))與 eq \(D1A,\s\up6(―→))的夾角為60°，故 eq \(AD1,\s\up6(―→))與 eq \(A1B,\s\up6(―→))的夾角為120°；正方體的體積為| eq \(AB,\s\up6(―→))|·| eq \(AA1,\s\up6(―→))|| eq \(AD,\s\up6(―→))|.綜上可知，A、B正確．
2．已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則異面直線a，b所成的角等于__________．
解析：如圖所示，設 eq \(AC,\s\up6(―→))＝a， eq \(CD,\s\up6(―→))＝b， eq \(DB,\s\up6(―→))＝c，則 eq \(AB,\s\up6(―→))＝a＋b＋c，所以cs 〈 eq \(AB,\s\up6(―→))， eq \(CD,\s\up6(―→))〉＝ eq \f((a＋b＋c)·b,|a＋b＋c||b|)＝ eq \f(1,2)，所以異面直線a，b所成的角等于60°.
答案：60°
3．已知正三棱柱ABC-DEF的側棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點，若直線 CF上有一點N，使MN⊥AE，則 eq \f(CN,CF)＝________．
解析：如圖，設 eq \(CN,\s\up6(―→))＝m eq \(CF,\s\up6(―→))，由于 eq \(AE,\s\up6(―→))＝ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(BE,\s\up6(―→))， eq \(MN,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(―→))＋m eq \(AD,\s\up6(―→))，又 eq \(AE,\s\up6(―→))· eq \(MN,\s\up6(―→))＝0，因此 eq \f(1,2)×1×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋4m＝0，
解得m＝ eq \f(1,16)，所以 eq \f(CN,CF)＝ eq \f(1,16).
答案： eq \f(1,16)
4.在四面體OABC中，各棱長都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點，求異面直線OE與BF所成角的余弦值．
解：取 eq \(OA,\s\up6(―→))＝a， eq \(OB,\s\up6(―→))＝b， eq \(OC,\s\up6(―→))＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·b＝b·c＝c·a＝ eq \f(1,2).
又∵ eq \(OE,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2)(a＋b)， eq \(BF,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2)c－b，
∴ eq \(OE,\s\up6(―→))· eq \(BF,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2)(a＋b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－b))＝ eq \f(1,4)a·c＋ eq \f(1,4)b·c－ eq \f(1,2)a·b－ eq \f(1,2)|b|2＝－ eq \f(1,2).
又| eq \(OE,\s\up6(―→))|＝ eq \f(\r(3),2)，| eq \(BF,\s\up6(―→))|＝ eq \f(\r(3),2)，
∴cs 〈 eq \(OE,\s\up6(―→))， eq \(BF,\s\up6(―→))〉＝ eq \f(\(OE,\s\up6(―→))·\(BF,\s\up6(―→)),|\(OE,\s\up6(―→))||\(BF,\s\up6(―→))|)＝－ eq \f(2,3)，
∵異面直線夾角的范圍為 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為 eq \f(2,3).
5．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時B，D間的距離．
解：∵∠ACD＝90°，∴ eq \(AC,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＝0，
同理可得 eq \(AC,\s\up6(―→))· eq \(BA,\s\up6(―→))＝0.∵AB與CD成60°角，
∴〈 eq \(BA,\s\up6(―→))， eq \(CD,\s\up6(―→))〉＝60°或〈 eq \(BA,\s\up6(―→))， eq \(CD,\s\up6(―→))〉＝120°.
又 eq \(BD,\s\up6(―→))＝ eq \(BA,\s\up6(―→))＋ eq \(AC,\s\up6(―→))＋ eq \(CD,\s\up6(―→))，
∴| eq \(BD,\s\up6(―→))|2＝| eq \(BA,\s\up6(―→))|2＋| eq \(AC,\s\up6(―→))|2＋| eq \(CD,\s\up6(―→))|2＋2 eq \(BA,\s\up6(―→))· eq \(AC,\s\up6(―→))＋2 eq \(BA,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＋2 eq \(AC,\s\up6(―→))· eq \(CD,\s\up6(―→))＝3＋2×1×1×cs 〈 eq \(BA,\s\up6(―→))， eq \(CD,\s\up6(―→))〉．
∴當〈 eq \(BA,\s\up6(―→))， eq \(CD,\s\up6(―→))〉＝60°時，| eq \(BD,\s\up6(―→))|2＝4，
此時B，D間的距離為2；
當〈 eq \(BA,\s\up6(―→))， eq \(CD,\s\up6(―→))〉＝120°時，| eq \(BD,\s\up6(―→))|2＝2，
此時B，D間的距離為 eq \r(2).

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