課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二）  空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．[多選]下列各命題中，正確的命題是(　　)A．＝|a|B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)C．a(chǎn)·(b＋c)＝(b＋c)·aD．a(chǎn)2b＝b2a解析：選ABC　∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故A正確．m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正確．a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正確．a2·b＝|a|2·b，b2·a＝|b|2·a，故D不一定正確．2．已知e1，e2為單位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為(　　 )A．－6  B．6C．3  D．－3解析：選B　由題意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.3．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F分別是BC，AD的中點(diǎn)，則·的值為(　　 )A．a2   B．a2C．a2   D．a2解析：選C　·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2.4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱的長(zhǎng)度都為2，E，F分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是(　　 )A．2   B．C．   D． 解析：選C　由于＝＋＋，所以||＝＝＝，即EF的長(zhǎng)是.5.如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于(　　 )A．6  B．6C．12  D．144解析：選C　因?yàn)?/span>＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，則|a－b|＝________.解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.答案：227.如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E為棱C1D1的中點(diǎn)，則·＝________.解析：＝＋＋，·＝·＋·＋2＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14.答案：148．已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則a＝e1＋e2與b＝e1－2e2的夾角是________．解析：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，|a|＝＝＝＝＝，|b|＝＝＝＝＝.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝120°.答案：120°9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是C1D1，D1D的中點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為1.(1)求〈，〉的余弦值；(2)求證：BD1⊥EF.解：(1)＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－.因?yàn)?/span>·＝0，·＝0，·＝0，所以·＝·＝.又||＝||＝，所以cos〈，〉＝.(2)證明：因?yàn)?/span>＝＋＝－＋，＝＋＝－(＋)，所以·＝0，所以⊥.即BD1⊥EF.10.如圖，正四棱錐P-ABCD的各棱長(zhǎng)都為a.(1)用向量法證明：BD⊥PC；(2)求|＋|的值．解：(1)證明：∵＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||·cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.(2)∵＋＝＋＋，∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a.1．[多選]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，則下列命題正確的是(　　)A．(＋＋)2＝32B．·(－)＝0C．與的夾角為60°D．正方體的體積為|··|解析：選AB　如圖所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；與的夾角是與夾角的補(bǔ)角，而與的夾角為60°，故與的夾角為120°；正方體的體積為||||||.綜上可知，A、B正確．2．設(shè)空間上有四個(gè)互異的點(diǎn)A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，則△ABC是(　　 )A．直角三角形  B．等腰三角形C．等腰直角三角形  D．等邊三角形解析：選B　因?yàn)?/span>＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋)·(－)＝||2－||2＝0，所以||＝||，即△ABC是等腰三角形．3.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點(diǎn)，則與所成角的大小為_(kāi)_______，·＝________.解析：法一：連接A1D，則∠PA1D就是與所成角．連接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D為等邊三角形，從而∠PA1D＝60°，即與所成角的大小為60°.因此·＝××cos 60°＝1.法二：根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得·＝(＋)·＝2＝1. 由題意可得PA1＝B1C＝，則××cos〈，〉＝1，從而〈，〉＝60°.答案：60°　14.在四面體OABC中，各棱長(zhǎng)都相等，E，F分別為AB，OC的中點(diǎn)，求異面直線OE與BF所成角的余弦值．解：取＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·b＝b·c＝c·a＝.又∵＝(a＋b)，＝c－b，∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－.又||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝－，∵異面直線夾角的范圍為，∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為.5．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時(shí)B，D間的距離．解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0，同理可得·＝0.∵AB與CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．∴當(dāng)〈，〉＝60°時(shí)，||2＝4，此時(shí)B，D間的距離為2；當(dāng)〈，〉＝120°時(shí)，||2＝2，此時(shí)B，D間的距離為.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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