A．l∥α
B．l⊥α
C．直線l與平面α相交但不垂直
D．無法確定
解析：選B ∵μ＝eq \f(1,4)a，∴μ∥a，∴l(xiāng)⊥α.
2．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
解析：選C ∵l⊥α，v與平面α平行，
∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，∴z＝－9.
3．[多選]在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論正確的是( )
A．平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)
B．平面B1CD的一個法向量為(1,1，1)
C．平面B1CD1的一個法向量為(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一個法向量為(0,1,1)
解析：選AC ∵eq \(AD,\s\up7(―→))＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正確；
∵eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·eq \(CD,\s\up7(―→))＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正確；
∵eq \(B1C,\s\up7(―→))＝(0,1，－1)，eq \(CD1,\s\up7(―→))＝(－1,0,1)，(1,1,1)·eq \(B1C,\s\up7(―→))＝0，(1,1,1)·eq \(CD1,\s\up7(―→))＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1,1,1)是平面B1CD1的一個法向量，∴C正確；
∵eq \(BC1,\s\up7(―→))＝(0,1,1)，而eq \(BC1,\s\up7(―→))·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正確．故選A、C.
4.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝eq \f(2,3)A1D，AF＝eq \f(1,3)AC，則( )
A．EF至多與A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF與BD1相交
D．EF與BD1異面
解析：選B 建立分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標系(圖略)，不妨設正方體的棱長為1，則eq \(DA1,\s\up7(―→))＝(1,0,1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，eq \(EF,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，－\f(1,3)))，eq \(BD1,\s\up7(―→))＝(－1，－1,1)＝－3eq \(EF,\s\up7(―→)).
∴eq \(EF,\s\up7(―→))·eq \(DA1,\s\up7(―→))＝0，eq \(EF,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，
∴EF⊥A1D，EF⊥AC，EF∥BD1.
5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為A1B，AC的中點，則MN與平面BB1C1C的位置關系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能確定
解析：選B 建系如圖，設正方體的棱長為2，
則A(2,2,2)，A1(2,2,0)，
C(0，0,2)，B(2,0,2)，
∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，
∴eq \(MN,\s\up7(―→))＝(－1,0,1)．
又平面BB1C1C的一個法向量為
n＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴eq \(MN,\s\up7(―→))⊥n，∴MN∥平面BB1C1C.
6．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有________對．
解析：∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意兩個都不垂直，即α，β，γ中任意兩個都不垂直．
答案：0
7．已知直線l∥平面ABC，且l的一個方向向量為a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，則實數(shù)m的值是________．
解析：∵l∥平面ABC，∴存在實數(shù)x，y，使a＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→)).∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,0，－1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(0,1，－1)，
∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)
＝(x，y，－x－y)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝x，,m＝y(tǒng)，,1＝－x－y，))∴m＝－3.
答案：－3
8．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點，點P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，則AP的長為________．
解析：建立以AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標系(圖略)，設AB＝a，點P坐標為(0,0，b)，則B1(a,0,1)，D(0,1,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))，eq \(AB1,\s\up7(―→))＝(a,0,1)，eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))，eq \(DP,\s\up7(―→))＝(0，－1，b)，
∵DP∥平面B1AE，
∴存在實數(shù)λ，μ，使eq \(DP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB1,\s\up7(―→))＋μeq \(AE,\s\up7(―→))，
即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λa＋\f(μa,2)，μ，λ)).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λa＋\f(μ,2)a＝0，,μ＝－1，,λ＝b，))∴b＝λ＝eq \f(1,2)，即AP＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是線段EF的中點．求證：AM⊥平面BDF.
證明：以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，B(0，eq \r(2)，0)，D(eq \r(2)，0,0)，F(xiàn)(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).
所以eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))，
eq \(DF,\s\up7(―→))＝(0，eq \r(2)，1)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝(eq \r(2)，－eq \r(2)，0)．
設n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，則n⊥eq \(BD,\s\up7(―→))，n⊥eq \(DF,\s\up7(―→))，所以
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(BD,\s\up7(―→))＝\r(2)x－\r(2)y＝0，,n·eq \(DF,\s\up7(―→))＝\r(2)y＋z＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝y(tǒng)，,z＝－\r(2)y，))
取y＝1，得x＝1，z＝－eq \r(2).
則n＝(1,1，－eq \r(2))．
因為eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))，
所以n＝－eq \r(2) eq \(AM,\s\up7(―→))，得n與eq \(AM,\s\up7(―→))共線．
所以AM⊥平面BDF.
10．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F(xiàn)，E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點．求證：CE∥平面C1E1F.
證明：以D為原點，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
設BC＝1，則C(0,1,0)，E(1,0,1)，
C1(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，E1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2)).
設平面C1E1F的法向量為n＝(x，y，z)，
因為eq \(C1E1,\s\up7(――→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，0))，
eq \(FC1,\s\up7(―→))＝(－1,0,1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(C1E1,\s\up7(――→))＝0，,n·eq \(FC1,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)y，,x＝z，))取n＝(1,2,1)．
因為eq \(CE,\s\up7(―→))＝(1，－1,1)，n·eq \(CE,\s\up7(―→))＝1－2＋1＝0，
所以eq \(CE,\s\up7(―→))⊥n，且CE?平面C1E1F.
所以CE∥平面C1E1F.
1．[多選]如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，平行六面體的各棱長均相等．下列結(jié)論正確的有( )
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
解析：選ACD ∵eq \(A1M,\s\up7(―→))＝eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，
eq \(D1P,\s\up7(―→))＝eq \(D1D,\s\up7(―→))＋eq \(DP,\s\up7(―→))＝eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴eq \(A1M,\s\up7(―→))∥eq \(D1P,\s\up7(―→))，從而A1M∥D1P，可得A、C、D正確．
又B1Q與D1P不平行，故B不正確．
2．已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,5，－2)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(3,1，z)，若eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(BC,\s\up7(―→))，eq \(BP,\s\up7(―→))＝(x－1，y，－3)，且eq \(BP,\s\up7(―→))⊥平面ABC，則eq \(BP,\s\up7(―→))＝________.
解析：∵eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(BC,\s\up7(―→))，∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝0，∴3＋5－2z＝0，
∴z＝4.∵eq \(BP,\s\up7(―→))＝(x－1，y，－3)，
且eq \(BP,\s\up7(―→))⊥平面ABC，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(eq \(BP,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝0，,eq \(BP,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－3＋y－12＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7)，))故eq \(BP,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3))
3. 如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，則AE＝________.
解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B1(0,0,3a)，C(0，eq \r(2)a,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，3a)).設E(eq \r(2)a,0，z)(0≤z≤3a)，則eq \(CE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)a，－\r(2)a，z))，eq \(B1E,\s\up7(――→))＝(eq \r(2)a,0，z－3a)，eq \(B1D,\s\up7(――→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，0)).又eq \(CE,\s\up7(―→))·eq \(B1D,\s\up7(――→))＝a2－a2＋0＝0，故由題意得2a2＋z2－3az＝0，
解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.
答案：a或2a
4.如圖，在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求證：平面GEF⊥平面PBC；
(2)求證：EG與直線PG和BC都垂直．
證明：(1)如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以PA，PB，PC所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Pxyz.
則A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)．
于是eq \(EF,\s\up7(―→))＝(0，－1，－1)，eq \(EG,\s\up7(―→))＝(1，－1，－1)．
設平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n⊥eq \(EF,\s\up7(―→))，,n⊥eq \(EG,\s\up7(―→))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋z＝0，,x－y－z＝0，))可取n＝(0,1，－1)．
顯然eq \(PA,\s\up7(―→))＝(3,0,0)是平面PBC的一個法向量．
又n·eq \(PA,\s\up7(―→))＝0，∴n⊥eq \(PA,\s\up7(―→))，
即平面PBC的法向量與平面GEF的法向量垂直，
∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知，eq \(EG,\s\up7(―→))＝(1，－1，－1)，
eq \(PG,\s\up7(―→))＝(1,1,0)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(0，－3,3)，
∴eq \(EG,\s\up7(―→))·eq \(PG,\s\up7(―→))＝0，eq \(EG,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝0，
∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG與直線PG和BC都垂直．
5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD.
(1)求證：CD⊥平面PAC；
(2)側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明，若不存在，請說明理由．
解：因為∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因為∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP兩兩垂直．分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
設AD＝2，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
(1)證明：eq \(AP,\s\up7(―→))＝(0,0,1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(1,1,0)，eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－1,1,0)，可得eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，
所以AP⊥CD，AC⊥CD.
又因為AP∩AC＝A，AP?平面PAC，AC?平面PAC，
所以CD⊥平面PAC.
(2)設側(cè)棱PA的中點是E，則Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，
eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2))).
設平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，,n·eq \(PD,\s\up7(―→))＝0，))
因為eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－1,1,0)，eq \(PD,\s\up7(―→))＝(0,2，－1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,2y－z＝0，))取x＝1，則y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一個法向量為n＝(1,1,2)．
所以n·eq \(BE,\s\up7(―→))＝(1,1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))＝0，所以n⊥eq \(BE,\s\up7(―→)).
因為BE?平面PCD，所以BE∥平面PCD.
綜上所述，當E為PA的中點時，BE∥平面PCD.

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1.4 空間向量的應用

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