高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)第三章圓錐曲線的方程3.1 橢圓一課一練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．橢圓 B．直線 C．線段 D．點(diǎn)
解析：選C 由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知點(diǎn)C的軌跡是線段AB.
2．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過兩點(diǎn)(4,0)，(0,2)的橢圓方程為( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)＝1
C.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：選D 法一：驗(yàn)證排除，將點(diǎn)(4,0)代入驗(yàn)證可排除A，B，C，故選D.
法二：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16m＝1，,4n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,16)，,n＝\f(1,4)，))故選D.
3．已知橢圓eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于( )
A．4 B．5 C．7 D．8
解析：選D 焦距為4，則m－2－(10－m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))2，所以m＝8.
4．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓eq \f(x2,3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是( )
A．2eq \r(3) B．6 C．4eq \r(3) D．12
解析：選C 由于△ABC的周長(zhǎng)與焦點(diǎn)有關(guān)，設(shè)另一焦點(diǎn)為F，利用橢圓的定義，|BA|＋|BF|＝2eq \r(3)，|CA|＋|CF|＝2eq \r(3)，便可求得△ABC的周長(zhǎng)為4eq \r(3).
5．[多選]下列說法正確的是( )
A．橢圓 eq \f(x2,144)＋ eq \f(y2,169)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，0)，(5，0)
B．橢圓 eq \f(x2,m2)＋ eq \f(y2,m2＋1)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)，(0，1)
C．橢圓 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,7)＝1與橢圓 eq \f(x2,m－5)＋ eq \f(y2,m＋4)＝1(m＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同
D．已知△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，2|BC|＝|AB|＋|AC|，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,27)＝1(x≠±6)
解析：選BD 對(duì)于A，因?yàn)闄E圓方程為 eq \f(x2,144)＋ eq \f(y2,169)＝1，169＞144，所以焦點(diǎn)在y軸上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闄E圓方程為 eq \f(x2,m2)＋ eq \f(y2,m2＋1)＝1，m2＋1＞m2，所以焦點(diǎn)在y軸上，又c2＝m2＋1－m2＝1，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±1)，故B正確；對(duì)于C，橢圓 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,7)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3，0)，橢圓 eq \f(x2,m－5)＋ eq \f(y2,m＋4)＝1(m＞0)中m＋4＞m－5，所以橢圓 eq \f(x2,m－5)＋ eq \f(y2,m＋4)＝1(m＞0)的焦點(diǎn)在y軸上，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由條件可知|AB|＋|AC|＝2|BC|＝12＞|BC|＝6，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以頂點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12的橢圓去掉(±6，0)這兩個(gè)點(diǎn)，所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,27)＝1(x≠±6)，故D正確．故選B，D.
6．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
解析：由題意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝3，,a－c＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝1，))則b2＝a2－c2＝3，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
7．若方程eq \f(x2,7－m)＋eq \f(y2,m－1)＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________.
解析：根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，可知方程eq \f(x2,7－m)＋eq \f(y2,m－1)＝1表示橢圓的條件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7－m>0，,m－1>0，,7－m≠m－1，))解得10)．
法一：由橢圓的定義知2a＝eq \r(?4－0?2＋?3\r(2)＋2?2)＋eq \r(?4－0?2＋?3\r(2)－2?2)＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(2).
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.
法二：因?yàn)樗髾E圓過點(diǎn)(4,3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.
1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為( )
A．13 B．12 C．9 D．6
解析：選C 由橢圓的定義可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式，得|MF1|·|MF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝3時(shí)等號(hào)成立．故選C.
2．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1的焦點(diǎn)，在曲線C上滿足eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．2 C．3 D．4
解析：選B 因?yàn)閑q \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0，所以PF1⊥PF2，所以點(diǎn)P即為以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn)，且半徑為c＝eq \r(8－4)＝2.又因?yàn)閎＝2，所以點(diǎn)P為該橢圓與y軸的兩個(gè)端點(diǎn)．
3.如圖所示，∠OFB＝eq \f(π,6)，△ABF的面積為2－eq \r(3)，則以O(shè)A為長(zhǎng)半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓方程為________．
解析：設(shè)所求橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，
∴|BF|＝a.∵∠OFB＝eq \f(π,6)，∴eq \f(b,c)＝eq \f(\r(3),3)，a＝2b.
∴S△ABF＝eq \f(1,2)·|AF|·|BO|＝eq \f(1,2)(a－c)·b＝eq \f(1,2)(2b－eq \r(3)b)b＝2－eq \r(3)，
解得b2＝2，則a＝2b＝2eq \r(2).
∴所求橢圓的方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
答案：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1
4．已知橢圓eq \f(x2,5)＋y2＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為直角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0＝________；當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0的取值范圍是________．
解析：由橢圓的方程為eq \f(x2,5)＋y2＝1，得c＝2，所以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，eq \(PF1,\s\up7(―→))＝(－2－x0，－y0)，eq \(PF2,\s\up7(―→))＝(2－x0，－y0)．若∠F1PF2為直角，則eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0，
即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，①
又eq \f(x\\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，②
①②聯(lián)立消去yeq \\al(2,0)得xeq \\al(2,0)＝eq \f(15,4)，所以x0＝±eq \f(\r(15),2).
若∠F1PF2為鈍角，則eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))0)，
由已知條件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝5＋3，,?2c?2＝52－32，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2，))
所以b2＝a2－c2＝12.
于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
法二：設(shè)所求的橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.
由題意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.
在方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1中，令x＝±c，得|y|＝eq \f(b2,a)；
在方程eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1中，令y＝±c，得|x|＝eq \f(b2,a).
依題意有eq \f(b2,a)＝3，得b2＝12.
于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)．
(1)若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，求△PF1F2的面積；
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．
解：(1)由橢圓的定義可知，|PF1|＋|PF2|＝20，①
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，
即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2－②，整理得|PF1|·|PF2|＝eq \f(256,3).
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sineq \f(π,3)＝eq \f(64,3)eq \r(3).
(2)由eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1可知，a＝10，c＝6.
所以|PF1|＋|PF2|＝20，
所以|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝100，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝10時(shí)，等號(hào)成立．
所以|PF1|·|PF2|的最大值是100.

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