還有諸如下列的很多函數(shù)，我們先做梳理，后續(xù)再慢慢展開：
1.（2017年全國3卷）.
2.（2018年全國1卷）.
3.（2017年全國2卷）.
4.（2014年山東文科）.
5.（2016四川卷）.
6.（2016全國2卷文科）.
7.（2016年山東理科）.
8.（2014年全國大綱卷）.
9.（2014年全國大綱卷）.
10.（2014湖南理科）
二．雙勾函數(shù)
1.對勾函數(shù)的定義：形如的函數(shù)，叫做對勾函數(shù)．
2.對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)
（1）定義域
（2）值域
當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）．[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]
當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）．
則：函數(shù)的值域為．
（3）奇偶性
由于雙勾函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，，則對勾函數(shù)為奇函數(shù)．
（4）單調(diào)性
函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．
（5）漸近線
當(dāng)時，，當(dāng)時，，說明函數(shù)的的圖象在第一、第三象限．
當(dāng)時，，說明函數(shù)在第一象限的圖象在直線的上方，當(dāng)時，，，說明函數(shù)在第三象限的圖象在直線的下方. 雙勾函數(shù)就是以軸和直線為漸近線的雙曲線．

三．分式函數(shù)
（1） 型.
對于形如的函數(shù)，總可以變換成轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)進行求解.
型.
對于形如（分子分母均為一次的分式）的函數(shù)，通過換元 ，可轉(zhuǎn)化為的形式，進而上述（1）中進行求解.
型.
形如的函數(shù)可通過分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，進而可依靠的圖像（即前面研究過的雙勾函數(shù)、偽勾函數(shù)來研究），再求出值域.
型.
形如可通過換元將問題轉(zhuǎn)化為（3），然后進行求解.
小結(jié)：總結(jié)一下我們所遇到的常見分式類型及一般處理方法：
① ：換元→分離常數(shù)→反比例函數(shù)模型.
② ：換元→分離常數(shù)→（雙勾函數(shù)、偽勾函數(shù)）模型.
③ ：同時除以分子：→②的模型.
④ ：分離常數(shù)→③的模型.
共同點：讓分式的分子變?yōu)槌?shù)
上述函數(shù)多出現(xiàn)在二次函數(shù)恒成立或者存在性問題中，利用分離參數(shù)法，經(jīng)常會得到上述分式函數(shù).
四．指數(shù)型函數(shù)
假設(shè)且.
（1）. 為偶函數(shù) （2）.為奇函數(shù)
（3）.為奇函數(shù) （4）.可轉(zhuǎn)化為（2）或（3）

五．對數(shù)型函數(shù)
（1）.都是奇函數(shù).
（2）.是奇函數(shù).
（3）.(且)是偶函數(shù).

典例分析
例1. 求函數(shù)的值域
解析：設(shè). 于是問題轉(zhuǎn)化為求
的值域，由對勾函數(shù)當(dāng)時取等號，即.
例2.設(shè)，函數(shù)．
（1）已知，求證：函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)；
（2）已知．
（i）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（ii）函數(shù)在區(qū)間上的值域是，求的取值范圍．
例3.已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1).并求實數(shù)的值；
(2).若方程有實數(shù)根，求的取值范圍；
(3).設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且僅有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.

例4．討論函數(shù)的零點個數(shù).
解析：，即.令，則得. 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 的圖像如圖所示.
①當(dāng)時，無零點；
②當(dāng)時，1個零點；
③當(dāng)時，2個零點；
④當(dāng)時，1個零點．
例5．討論函數(shù)的零點個數(shù).
解析：即.令，則得. 所以在
上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 的圖像如圖所示.
①當(dāng)時，無零點；
②當(dāng)時，1個零點；
③當(dāng)時，2個零點；
④當(dāng)時，1個零點．
例6．討論函數(shù)的零點個數(shù).
解析：，即. 令，則得. 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
①當(dāng)時，2個零點；
②當(dāng)時，1個零點；
③當(dāng)時，無零點；
④當(dāng)時，1個零點．
例8．討論函數(shù)的零點個數(shù).
解析：
，即.令，則得. 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的圖像如圖所示
①當(dāng)時，無零點；
②當(dāng)時，1個零點；
③當(dāng)時，2個零點；
④當(dāng)時，1個零點．
例9．討論函數(shù)的零點個數(shù).
解析：，即. 令，則得.
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.的圖像如圖所示.
= 1 \* GB3 ①當(dāng)時，個零點；
= 2 \* GB3 ②當(dāng)時，無零點；
= 3 \* GB3 ③當(dāng)時，個零點；
= 4 \* GB3 ④當(dāng)時，個零點.
例10．討論函數(shù)的零點個數(shù).
解析：，即.令，則得.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.的圖像如圖所示.
= 1 \* GB3 ①當(dāng)時，無零點；
= 2 \* GB3 ②當(dāng)時，個零點；
= 3 \* GB3 ③當(dāng)時，個零點；
= 4 \* GB3 ④當(dāng)時，個零點.
例題解析：
例2.解析：（1）證明：因為，所以，
由得函數(shù)的定義域為，
又
所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)
（2）當(dāng)時，因為，所以，
所以函數(shù)的定義域為．
（i）結(jié)論：函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)．
證明：設(shè)對任意的，，且，
因為，所以即
因為，所以，，
又，所以，即，
所以函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)
（ii）因為，所以，從而．
又由知，，所以，
因為，由（i）知，函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)．
因為函數(shù)在區(qū)間上的值域是，
所以，即
從而關(guān)于的方程有兩個互異實根．
令，所以方程有兩個互異正根．
所以，
解得.
例3.解析：（1）∵為偶函數(shù)，∴對任意，有，
∴ 對恒成立.
∴對恒成立，
∴對恒成立，∴
（2）由題意知有實數(shù)根，即：有解。
令，則函數(shù)的圖像與直線有交點。
∵，∴
∴的取值范圍是。
（3）由（1）知，
∴由題意知有且只有一個實數(shù)根。
令，則關(guān)于的方程有且只有一個正根。
若，則，不合題意，舍去；
若，則方程的兩根異號或方程有兩相等正根。
方程有兩相等正根等價于，解得.
方程的兩根異號等價于，解得。
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是。

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