例1. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
二．自主練習(xí)
1.已知函數(shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性；
若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
2. 已知函數(shù).
若函數(shù)在是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.
已知上的函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)為，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.
5．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.
（1）求的取值范圍；
（2）證明：.
6．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求證：，且.
4.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>令，則.
①當(dāng)時(shí)，，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
②當(dāng)時(shí)，，方程有兩根，，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.
的單調(diào)遞增區(qū)間為、，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，，
不妨設(shè)，則.
由于
，
且，所以，
則.
5.解：（1）∵，
∴有兩個(gè)不等正根，，
∴，
解得.
（2）由已知得，，，
，
，
，
，
令，則，，，，
∴是增函數(shù)，，
即.
6.解：（1），定義域?yàn)椋?
由題意可知，方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根、，
則，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）由題意可知，、為方程的兩個(gè)實(shí)根，
由于，則，
當(dāng)時(shí)，，，
由（1）可知，
，
，令，設(shè)，.
，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，因此，.
練習(xí)9【詳解】
計(jì)算導(dǎo)數(shù)得到，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)得到
要使得存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則要求有兩個(gè)不同的根，且，則，解得，而
，構(gòu)造新函數(shù)，計(jì)算導(dǎo)數(shù)得到，結(jié)合前面提到的a的范圍可知在單調(diào)遞增，故，因而，表示為區(qū)間則是，故選A。

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