基本原理
函數(shù)凸凹性：
若函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù). 反之，稱為區(qū)間上的凹函數(shù).
切線不等式： 在上為凸函數(shù)，，有. 反之，若為區(qū)間上的凹函數(shù)，則，有.
證明：取定，令，則，再次求導(dǎo)可得. 故在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，故存在最小值，即，即證畢.
注：切線不等式是剪刀模型的理論依據(jù).
3.剪刀模型
已知函數(shù)為定義域上的凸函數(shù)，且圖象與交于兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，這樣如下圖所示，我們可以利用凸函數(shù)的切線與的交點(diǎn)將的范圍予以估計(jì)，這便是切線放縮的基本原理.

如圖，在函數(shù)圖象先減后增的情形下，兩條切線和兩條割線即可估計(jì)出零點(diǎn)的一個(gè)上下界，而切割線的方程均為一次函數(shù)，這樣我們就可以得到一個(gè)顯式解（精確解）的估計(jì)，下面我們通過(guò)例子予以分析.
二．應(yīng)用分析
例1.（2021新課標(biāo)1卷22題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
解析：注意到函數(shù)不含參數(shù)，那就求導(dǎo)分析凸凹性.，再求,,,在其定義域上分別是凹函數(shù)與凸函數(shù).另一方面，，即，若令，則原命題等價(jià)于，已知證明：.
證明③.由于，不妨假設(shè)這是函數(shù)假設(shè)的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，考慮到的圖象性質(zhì)可知.故而，即為方程的兩根，結(jié)合函數(shù)的凸凹性，我們使用切線放縮來(lái)證明③.觀察③的結(jié)構(gòu)及可得在點(diǎn)處切線為.由前文背景理論常用性質(zhì)（2）可知：.如圖所示，假設(shè)與，交于兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為.與切線交于點(diǎn)，其橫坐標(biāo).由圖1可知：
.顯然，再做函數(shù)圖象的割線：，則顯然：由圖象可知：，，故.證畢.
例2.（2020合肥?？迹┮阎瘮?shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在處的切線方程；
（2）設(shè)方程()有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：.
解：（1）曲線在處的切線方程為.曲線在處的切線方程為.
（2）
分別求出曲線在處的切線方程為.以及在處的切線方程.再分別求出上述兩條切線與的交點(diǎn)橫坐標(biāo).
,以及.
如上圖可知.證畢.
點(diǎn)評(píng)：如圖，我們用兩條切線與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)來(lái)估計(jì)出的兩零點(diǎn)差值的范圍.同時(shí)要注意，倘若我們選擇在處的切線方程為來(lái)放縮零點(diǎn)的話會(huì)得不到想要的結(jié)果，因?yàn)檫@條切線并沒(méi)有將包在其下方.
三．技術(shù)總結(jié)
1.觀察題干是否考察零點(diǎn)之差的不等式：型；
2.驗(yàn)證函數(shù)的凸凹性；
3.在步驟2的基礎(chǔ)上考察函數(shù)在關(guān)鍵特殊點(diǎn)處的切線，最終構(gòu)造出剪刀模型，完成證明.
四．練習(xí)題
習(xí)題1．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求；
（2）設(shè)曲線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有；
（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：.
習(xí)題2．設(shè)函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為，（），證明：．
習(xí)題1.解：；. . 設(shè)的根為，則.曲線在點(diǎn)處的切線方程為，有，設(shè)的根為，則.
由于.又，所以.
習(xí)題2.解：（1）由于，又，,故在點(diǎn)的切線斜率，因此所求切線方程，即．
（2）由于，故時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增，
由圖易知，，，由（1）可知，在點(diǎn)的切線方程為，設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且
即，下證．由于在單調(diào)遞減，故只需證明即可．設(shè)（）．，故，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，
即．又在處的切線方程為，設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，即，下證．由于在單調(diào)遞增，故只需證明即可，設(shè)，
，函數(shù)在單調(diào)遞減，，
即．綜上易知，，即．

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